广东省惠州市博罗县杨侨中学、石湾中学两校2025届高三上学期8月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省博罗县杨侨中学、石湾中学两校2025届高三上学期8月联考数学试卷一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2+i，则zz−1=A.1 B.72 C.102.已知a和b的夹角为150∘，且a=2,b=A.−9 B.−3 C.3 D.93.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5A.5 B.6 C.7 D.84.为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中AB=2CE=2EF=40cm，AC=102cm，则该石墩的体积为(

)

A.10000π3cm3 B.11000π3c5.已知sinα+π3−sinA.−59 B.−19 C.6.已知函数fx=−14x−4,x≤34A.0,1 B.1,3 C.1,7.函数f(x)=2sinπx−3x−x2A.6 B.7.5 C.9 D.12二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。8.下列说法中，正确的是(

)A.数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32

B.已知随机变量ξ服从正态分布N2,δ2，Pξ<4=0.84；则P2<ξ<4=0.34

C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=a+bx；若b=2，x=19.已知函数f(x)=13x3A.若f(x)是R上的增函数，则a∈[−1,1]

B.当a>1时，函数f(x)有两个极值

C.当a>1时，函数f(x)有两零点

D.当a=1时，f(x)在点(0,f(0))处的切线与f(x)只有唯一个公共点10.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线C:x2+y22A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过7个整点(横、纵坐标均为整数的点)

C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3

D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(−∞,−1]∪[1,+∞)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11.设F1,F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P12.若曲线fx=mx2+ln2x存在垂直于y13.第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．某田径运动员准备参加100米、200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为12，200米比赛未能站上领奖台的概率为310，两项比赛都未能站上领奖台的概率为110.若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题12分)记▵ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c.已知ba(1)求A的大小；(2)若22sinB=3sinC，再从下列条件条件①：asinC=2；条件②：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．15.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C

的

标准方程；(2)直线l:y=kx+2交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为−23.16.(本小题12分)如图，AB是圆的直径，平面PAC⊥面ACB，且AP⊥AC．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若AB=2,AC=1,AP=1，求直线AC与面PBC所成角的正弦值．17.(本小题12分)

已知函数f(x)=xeax−ex．

(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;

(2)当x>0时，f(x)<−1，求实数a的取值范围;

(3)设n∈18.(本小题12分)对任意正整数n，定义n的丰度指数In=Snn(1)求I8(2)若an=I2n，求数列n(3)对互不相等的质数p,m,n，证明：Ip3mn=Ip参考答案1.C

2.C

3.C

4.D

5.B

6.B

7.C

8.BC

9.AB

10.ACD

11.3

12.−∞,0

13.3514.解：(1)∵b由正弦定理知sinBsinA在▵ABC中，由B=π−A+C∴sin B=sin∴cos Asin C=∴sin∵A∈0,π(2)若选择条件①，由正弦定理asinA=∴c=2又22sin∴b=3．∴S若选择条件②，由22sin设c=2则a2由ac=210，得∴a=∴S

15.【小问1详解】由椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，可得a=所以2又F1,0，所以2b所以a=所以椭圆C的标准方程为x2【小问2详解】设Ax1,由x22+则x1+x因为线段AB中点的横坐标为−2所以x1解得k2=1所以直线l的方程为y=±1

16.【小问1详解】因为平面PAC⊥面ACB，且AP⊥AC．，平面PAC∩面ACB=AC，AP⊂平面PAC，所以PA⊥面ACB，又因为BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC，又因为AB是圆的直径，所以AC⊥BC，因为AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC；【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系，因为

AC⊥BC，所以BC=所以C0,0,0,A0,1,0设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，则而AC=0,−1,0，设直线AC与面PBC所成角为则sinθ=所以直线AC与面PBC所成角的正弦值为2

17.解：(1) a=1⇒f(x)=xex−ex=(x−1)ex⇒f′(x)=xex

当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减;

当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

(2)令g(x)=f(x)+1=xeax−ex+1(x≥0)⇒g(x)≤g(0)=0对∀x≥0恒成立

又g′(x)=eax+axeax−ex⇒g′(0)=0

令ℎ(x)=g′(x)⇒ℎ′(x)=aeax+a(eax+axeax)−ex=a(2eax+axeax)−ex，则ℎ′(0)=2a−1

 ①若ℎ18.【小问1详解】因为8的所有正因数为1,2,4,8，所以S8=1+2+4+8=15，得到【小问2详解】因为2n共有n+1个正因数，它们为1,2,所