2024-2025学年湖南省常德市临澧一中高三（上）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省常德市临澧一中高三（上）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“∃x0>0，exA.∀x>0，ex−1>x B.∀x<0，ex−1>x

C.∀x>0，ex2.已知全集U=R，集合A={x∈Z|x−3x+1≤0},B={x|x>2}，则A∩A.{0,1,2} B.{−1,0,1,2} C.{x|−1≤x≤2} D.{x|−1<x≤2}3.若函数ℎ(x)=lnx−12ax2−2在[1,2]A.(−∞,1] B.(−∞,14] C.(−∞,1)4.函数f(x)=x2−sinA. B.

C. D.5.函数fx是定义在R上的偶函数，且f1+x=f1−x，若x∈0,1，fA.4 B.2 C.1 D.06.已知函数f(x)=ax+1−a,0≤x≤12x2−ax,1<x≤2，若∀x1，x1∈[0,2]A.(0,2] B.(−∞,1] C.(0,1] D.(0,+∞)7.若命题：“∃a，b∈R，使得a−cosb≤b−cosa”为假命题，则a，b的大小关系为(

)A.a<b B.a>b C.a≤b D.a≥b8.若正实数x0是方程ex+1=aln(ax−1)的根，则eA.−1 B.1 C.2 D.−2二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>0，b>0且a+b=2，则下列不等式恒成立的是(

)A.a2+b2的最小值为2 B.1a+2b的最小值为3+2210.给出下列命题，其中正确的命题有(

)A.

函数f(x)=x−3+log3x的零点所在区间为(2,3)；

B.

若关于x的方程12x−m=0有解，则实数m的取值范围是(011.关于函数f(x)=1x+2lnx，下列判断正确的是A.x=12是f(x)的极大值点

B.函数y=f(x)−x有且只有1个零点

C.对k>1不等式f(x)<kx在[1,+∞)上恒成立

D.对任意两个正实数x1，x2，且x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=log2(x+4),−4<x<1,x2+ax,x≥1,13.已知命题p：|x−a|<4，命题q：(x−1)(2−x)>0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______．14.设定义在D上的函数y=ℎ(x)在点P(x0,ℎ(x0))处的切线方程为l：y=g(x)，当x≠x0时，若ℎ(x)−g(x)x−x0四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，△ABC的面积为

12(1)求A；(2)若a=2，且△ABC的周长为5，设D为边BC中点，求AD．16.(本小题12分)

已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4−a3=2．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{17.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB//CD，且AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2．(1)证明：平面PAC⊥平面PBC；(2)求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值．18.(本小题12分)已知M为圆x2+y2=9上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N，O(1)求点G的轨迹方程；(2)记(1)中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于A、B两点，点Q(0,1)，若点H(3,0)恰好是△ABQ的垂心，求直线19.(本小题12分)已知函数f(x)=2ln(1)讨论函数g(x)=xf(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1，x ①求a的取值范围; ②证明：a(x1+参考答案1.C

2.A

3.B

4.D

5.B

6.C

7.B

8.A

9.AC

10.ABD

11.BCD

12.2

13.[−2,5]

14.(e,315.解：(1)依题意，12所以csin由正弦定理可得，c2由余弦定理，c2+b2因为A∈(0,π)，所以

A=π(2)依题意，b+c=5−a=3，因为c2+b因为AD=所以AD2所以AD=

16.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则d=a4−a3=2，

又a1+a2=10，∴2a1+d=2a1+2=10，得a1=4，

∴an=4+2(n−1)=2n+2；

(2)设等比数列{bn}的公比为q，

∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴q=2，

∴b1=4，bn=4⋅2n−1=2n+1．

∴cn=5a17.解：(1)证明：由题意可知AB=2CD=2AD=2BC=2，则∠ABC=60∘，

因为BC=1，AB=2，所以∠ACB=90∘，AC⊥BC，

因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，且PA⊥AB，PA⊂平面PAB，

所以PA⊥平面ABCD，

因为BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，

且AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面PBC，

所以平面PAC⊥平面PBC．

(2)如图，以A为原点，AP，AB分别为x轴，y轴正方向，过A点且垂直于平面APB的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，P(1,0,0)，B(0,2,0)，D(0,12,32)，C(0,32,32)，

所以AP=(1,0,0)，AD=(0,12,32)，PB=(−1,2,0)，BC=(0,−12,32)，

设平面PAD的法向量n1=(x,y,z)，

则n1⋅AP=x=0n18.解：(1)设G(x,y)，M(x0,y0)，则N(x0,0)，

因G为△OMN的重心，故有：x=2x03y=y03，解得x0=3x2，y0=3y，

代入x02+y02=9，化简得x24+y2=1，

又x0y0≠0，故xy≠0，

所以G的轨迹方程为x24+y2=1(xy≠0)．

(2)因H为△ABQ的垂心，故有AB⊥HQ，AH⊥BQ，

又kHQ=−33，

故可设直线l的方程为y=3x+m(m≠1)，

19.解：(1)∵x>0，g(x)=2lnx+1−ax2，g′(x)=2x−2ax=21−ax2x，

 ①若a≤0，g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，

 ②若a>0，g′(x)=0，x=aa，g(x)在(0,aa)上单调递增，在(aa,+∞)上单调递减，

综上所述：若a≤0，g(x)在(0,+∞)单调递增，

若a>0，g(x)在(0,aa)上单调递增，在(a