2024-2025学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.3x2+y=0 B.ax2+bx+c=02.如果分式|x|−1x+1的值为0，那么x的值为(

)A.±1 B.−1 C.1 D.1或03.若a，b，b，c是成比例的线段，其中a=3，c=12，则线段b的长为(

)A.2 B.4 C.6 D.154.如图，在3×3方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于小正方形的格点上．从A、D、E、F四个点中任意选取两个不同的点，以所取得这两个点与点B、C为顶点画四边形，则所画四边形是平行四边形的概率为(

)A.12B.1C.14D.5.如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则OAOH等于(

)A.3 B.3C.2 D.6.若关于x的分式方程2xx−1−3=m1−x的解为正数，则mA.m<−2且m≠−3 B.m<2且m≠−3

C.m>−3且m≠−2 D.m>−3且m≠27.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=23，则矩形ABCD的周长是(

)A.163 B.83+4 8.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为26，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′(点A′与点C重合)，则点B′的坐标是(

)A.(36,32)

B.(39.如图，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，AC=AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB=13，BC=10，GF=5，则图中阴影部分的面积为(

)A.48 B.36 C.30 D.2410.如图，平面内三点A、B、C，AB=4，AC=3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是(

)A.5

B.7

C.72

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.已知：x−y13=y7，则x+y12.某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本.已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为______．13.用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是______．14.已知a、b是关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足115.如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD=3：1，AB+BE=33，则△ABC的周长为

．

16.如图，点E是菱形ABCD边AB的中点，点F为边AD上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得到△A′EF，连接A′D，A′C.已知BC=4，∠B=120°，当△A′CD为直角三角形时，线段AF的长为______．三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

解方程：

(1)2x2−4x−3=0；

(2)2xx−2−2=1x(x−2)；18.(本小题8分)

如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．19.(本小题6分)

一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为12．

(1)布袋里红球有多少个？

(2)先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．20.(本小题6分)如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB=4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC=2CD．

21.(本小题10分)

某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．

(1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率；

(2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件．为尽可能让利顾客，赢得市场、问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？22.(本小题12分)

定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，以菱形ABCD的一边CD为边向外作正方形CDEF，M、N分别是菱形和正方形的对角线交点，连结MN．

①求证：四边形DMCN是“直等补”四边形；

②若MN=2，求四边形DMCN的面积．

(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，其中AB=BC=5，CD>AB，过点B作BE⊥CD于点E且BE=4，连接BD，若点P是线段BD上的动点，请你直接写出△PEC周长的最小值．

参考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.B

6.C

7.D

8.B

9.C

10.D

11.27712.6

13.1314.3

15.516.23−217.解：(1)2x2−4x−3=0，

则(x−1)2=52，

解得：x=1±102；

(2)2xx−2−2=1x(x−2)，

方程两边同乘以x(x−2)得：2x2−2x(x−2)=1，

则4x=1，

解得：x=14，

经检验x=118.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，

∴∠ABE=∠CDF，

∵点E，F分别为OB，OD的中点，

∴BE=12OB，DF=12OD，

∴BE=DF，

在△ABE和△CDF中，

AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF,

∴△ABE≌△CDF(SAS)；

(2)解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；

理由如下：

∵AC=2OA，AC=2AB，

∴AB=OA，

∵E是OB的中点，

∴AG⊥OB，

∴∠OEG=90°，

同理：CF⊥OD，

∴AG//CF，

∴EG//CF，

由(1)得：△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵EG=AE，

∴EG=CF，

∴19.解：(1)设红球的个数为x，由题意可得：

22+1+x=12，

解得：x=1，经检验x=1是方程的根，

即红球的个数为1个；

(2)画树状图如下：

∴P(摸得两白20.证明：作CF//DE于DE，交AB于F，如图，

∵ME//CF，

∴AEEF=AMMC，

而M为AC边的中点，

∴AM=MC，

∴AE=EF，

∵AB=4AE，

∴EF=14AB，BF=12AB，

∴BF=2EF，21.解：(1)设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，

依题意得：64(1+x)2=100，

解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不符合题意，舍去)．

答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为25%．

(2)设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为(y−60)元，当月的销售量为100+5×80−y0.5=(900−10y)件，

依题意得：(y−60)(900−10y)=2160，

整理得：y2−150y+5616=0，

解得：y1=72，y222.(1)①证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DMC=90°，

∵四边形CDEF是正方形，

∴DN=CN，∠DNC=90°，

∴∠DMC+∠DNC=180°，

∴四边形DMCN是“直等补”四边形；

②解：如图1，延长AC至H，使CH=DM，连接NH，

∵∠DMC+∠DNC=180°，

∴∠NDM+∠NCM=180°，

∵∠MCN+∠NCH=180°，

∴∠MCH=∠NDM，

又∵DN=CN，DM=CH，

∴△DNM≌△CNH(SAS)，

∴S△DNM=S△CNH，∠DNM=∠CNH，MN=NH，

∴∠MNH=∠DNC=90°，S△MNH=四边形DMCN的面积，

∴四边形DMCN的面积=12MN2=1；

(2)如图2，过点B作BN⊥直线AD于N，连接CN，

∵∠ABC=∠ADC=90°