2024-2025学年广东省佛山市南海区高三（上）摸底数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省佛山市南海区高三（上）摸底数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|3x2−4x+1≤0},B={x|0<x<12A.(−∞,1] B.[13,12)2.复数z=3−2i1−i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.等差数列{an}的首项为2，公差不为0.若a2，a4，A.25 B.−25 C.14.函数f(x)=sinx⋅cosx−3cos2A.4 B.2 C.2π D.π5.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为π3，则|AF|=A.2 B.3 C.4 D.56.已知函数y=f(x)的定义域为R，且f(−x)=f(x)，若函数y=f(x)的图象与函数y=log2(2xA.−1 B.0 C.1 D.27.已知点P在圆C：(x−2)2+(y−3)2=1上运动，点A(−2,0)A.[20,30] B.(20,30) C.[20,25] D.(20,25)8.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0,+∞)，f(2)=−1，且f(x)+xf′(x)=1对于x∈(0,+∞)恒成立，则(

)A.f(1)=0 B.f(3)=0 C.f(4)=0 D.f(6)=0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为2：1，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是(

)A.李明与甲组选手比赛且获胜的概率为25

B.李明获胜的概率为1730

C.若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为1217

10.已知函数f(x)=|x−2|ex−a，则A.f(x)在(1,2)上单调递增 B.x=1是函数f(x)的极大值点

C.f(x)既无最大值，也无最小值 D.当a∈(1,2)时，f(x)有三个零点11.如图，几何体的底面是边长为6的正方形A1B1C1D1，AA1⊥底面A1A.当λ=0时，该几何体的体积为45

B.当λ=13时，该几何体为台体

C.当λ=12时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为9π

D.当点B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x−113.在△ABC中，AB=2AC，点D在线段BC上，且AD=BD=2DC=2，则△ABC的面积为______．14.定义离心率e=53的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆C：x2m+y216=1(m>16)是“西瓜椭圆”，则m=______.若“西瓜椭圆”E：x2a2+y2b2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某区中考体育科目有必选项目和选考项目，其中篮球为一个选考项目.该区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：性别是否喜欢篮球合计喜欢不喜欢男生450150600女生150250400合计6004001000(1)依据α=0.001的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；

(2)用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的喜欢篮球的600名初中学生中抽取8名学生做进一步调查，将这8名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X表示随机抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．

附：参考数据

χ2=n(ad−bc)α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB=2，BC=DC=PD=1，∠ABC=90°，AB//CD，平面ADP⊥平面ABCD，PD⊥BC．

(1)证明：PD⊥平面ABCD；

(2)求平面PAB与平面PDC的夹角的余弦值．17.(本小题15分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为M(2m,m)(m≠0)．

(1)证明：直线AB的斜率k为定值；18.(本小题17分)

已知函数f(x)=(1x−a)ln(x−1)．

(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求a的值；

(2)若a=−1，证明：f(x)<x+1；

(3)若f(x)在(2,+∞)19.(本小题17分)

定义：一个正整数n称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列a1，a2，…，ak，满足①②：

①a1<a2<...<ak−1<ak=n(k≥2)；

②1a1+1a2+...+参考答案1.B

2.A

3.B

4.D

5.C

6.C

7.A

8.C

9.ABC

10.BD

11.ACD

12.70

13.314.36

±415.解：(1)零假设H0：该区初中学生的性别与喜欢篮球无关联，

则χ2=1000(450×250−150×150)2600×400×600×400=(45×25−15×15)26×40×6×4=140.625>10.828，

根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，

即认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；

(2)根据喜欢篮球的学生中男生与女生的比例可得抽取的8人中男生有6人，女生有2人，

所以X的为0，1，2X012P5153所以E(X)=0×51416.(1)证明：取AB的中点E，连接DE，BD，

∵∠ABC=90°，AB/​/CD，∴∠BCD=90°，

∵BC=DC=1，∴BD=BC2+DD2=2，

∵E为AB的中点，∴BE=CD，BE/​/CD，

∴四边形BCDE为平行四边形，

∵BC=BE=1，∠ABC=90°，

∴四边形BCDE为正方形，

∴∠AED=90°，AD=AE2+DE2=2，

∵AD2+BD2=4=AB2，∴AD⊥BD，

∵平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，

BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，∴BD⊥PD，

∵PD⊥BC，BC∩BD=B，BC，BD⊂平面ABCD，

∴PD⊥平面ABCD；

(2)解：由(1)可知DA、DB、DP两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则

P(0,0,1),A(2,0,0),B(0,2,0),C(−22,22,0)，

∴PA=(2,0,−1),PB=(0,2,−1)，

设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)，

则有n⋅17.解：(1)证明：由已知可得ca=2|bc|a2+b2=1a2+b2=c2，

解得a=b=1,c=2，

所以双曲线方程为x2−y2=1，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

所以x12−y12=1x22−y22=1，两式相减可得：

(x1+x2)(x1−x2)−(y1+y2)(y1−y2)=0，

又线段AB的中点为M(2m,m)(m≠0)，18.解：(1)由题意可知：y=f(x)的定义域为(1,+∞)，且f′(x)=−1x2ln(x−1)+(1x−a)1x−1，

则f(2)=0，f′(2)=12−a，

即切点坐标为(2,0)，切线斜率k=12−a，则切线方程为y=(12−a)(x−2)，

令x=0，可得y=2a−1，

可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×|2a−1|=|2a−1|=2，解得a=−12或a=32，

所以a的值为−12或32．

(2)证明：若a=−1，则f(x)=(1x+1)ln(x−1)=(x+1)ln(x−1)x,x>1，

若f(x)=(x+1)ln(x−1)x<x+1，等价于x−ln(x−1)>0，

设g(x)=x−ln(x−1)，x>1，则g′(x)=1−1x−1=x−2x−1，

令g′(x)>0，解得x>2；令g′(x)<0，解得0<x<2；

可知g(x)在(0,2)内单调递减，在(2,+∞)内单调递减，

则g(x)≥g(2)=2>0，即x>ln(x−1)，

所以f(x)<x+1．

(3)由(1)可知：f′(x)=−1x2ln(x−1)+(1x−a)119.解：(1)若n是“漂亮数”，设a1<a2<...<ak−1<ak=n(k≥2)满足1a1+1a2+...+1ak=1．

则1=1a1+1a2+...+1ak>1a1，∴a1>1，即a1≥2．

故a2>a1≥2，得a2≥3，从而1a1+1a2≤12+13<1，∴k≥3．

此时，假设ak=n≤5，则a1，a2，…，ak≤5．

但由于k≥3，故1a1+1a2+...+1ak的全部可能取值就是12+13+14，12+13+15，12+14+15，13+14+15，12+13+14+15，

计算可知它们都不等于1，不满足②；

∴n≥6．

∵1=12+13+16，∴6是“漂亮数”．

∴最小的“漂亮数”是6．

(2)若n是“漂亮数”，设a1<a2<...<ak−1<ak=n(k≥2)满足1a1+1a2+...+