2024-2025学年广东省高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知M={x|−12⩽sinx⩽12A.{−π6,0} B.{−π4,0}2.某公司购入了400根钢管拟切割打磨为其他产品，统计钢管口径后得以下频数分布表：钢管口径(cm)11.012.514.016.518.520.521.022.0频数26741004046523824则这批钢管口径的中位数为(

)A.14.00cm B.15.25cm C.16.25cm D.16.50cm3.已知直线l1：−m2x+y−1=0，直线l2：(2m−3)x+y−3=0，则m=−3A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.已知向量a=(2,1),b=(m−2,m)，若a//bA.5 B.3 C.5 D.5.在平面直角坐标系中，将圆C：x2+y2=1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短为原来的A.x29+4y2=1 B.96.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b(sin2A−sinBcosC)=csin2B，若点D在BC边上，且AD平分∠BAC，则AD=(

)A.b2+c2bc B.bc7.在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是23,45A.25 B.13 C.6138.当a≥e时，方程ex+x+lnx=lna+ax在[1,+∞)A.0 B.1 C.2 D.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若z在复平面内对应的点为A,z+2z−=3+A.z的实部为1 B.z的虚部为−3

C.|z|=4 D.直线OA10.已知O为坐标原点，点F(1,0)是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交C于M，N两点，P为C上的动点(与M，N均不重合)，且点P位于第一象限，过点P向y轴作垂线，垂足记为点Q，点A(2,5)，则(

)A.C：y2=4x B.∠OPQ+∠FON<180°

C.|PA|+|PQ|的最小值为26 D.11.已知函数f(x)的定义域为R，则(

)A.若f(2)>f(1)，则f(x)是R上的单调递增函数

B.若f(x2)=−f(−x2)，则f(x)是奇函数

C.若f(1−x)=f(1+x)，且f(2−x)=f(2+x)，则f(x+2)=f(x)

D.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若2m+5n=12，则log213.函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,π2<φ<3π2)，若f(x)的一个单调递增区间为[−14.已知圆台的上、下底半径分别为r和R，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是______；若R=2r=2，圆台的高为ℎ，且1⩽ℎ⩽2，则圆台外接球表面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c依次为等比数列{an}的前3项，设其公比为q，且a>1，q⩾1．

(1)若a=2,q∈{32,2}，求{an}的前n项和Sn；

(2)证明：当16.(本小题15分)

已知函数f(x)=13x3+a2x2+2x+bsinx(a,b∈R)．

(1)当b=0时，若f(x)存在极大值，且存在极小值，求a的取值范围；

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，CD=2AB=22，PA=BC=AD=1．

(1)求证：平面PBC⊥平面PAD；

(2)若EC=3DE，求平面PAE18.(本小题17分)

已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，焦距为23．

(1)求Γ的标准方程；

(2)若过点(0,−b)作直线l分别交Γ的左、右两支于19.(本小题17分)

将4个面上分别写有数字1，2，3，4的一个正四面体在桌面上连续独立地抛n次(n为正整数)，设X为与桌面接触的数字为偶数的次数，p为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率．

(1)当n=5时，若正四面体的质地是均匀的，求X的数学期望和方差；

(2)若正四面体有瑕疵，即p≠12．

①设pn是抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：pn=p+(1−2p)pn−1(n⩾2)；参考答案1.A

2.B

3.A

4.C

5.D

6.C

7.D

8.B

9.AB

10.ABD

11.BC

12.1213.−14.(0,R215.解：(1)因为q⩾1，所以0<a⩽b⩽c，

由题意可知，a+b>c，

所以a+aq>aq2，

所以q2−q−1<0，q≥1，

解得，1⩽q<1+52，

因为q∈{32,2}，

所以q=32，

所以Sn=a[1−(32)n]1−32=2a[(32)n−1]．

当a=2时，Sn=4×[(316.解：(1)当b=0时，f(x)=13x3+a2x2+2x，定义域为R，

所以f′(x)=x2+ax+2，

因为f(x)存在极大值，且存在极小值，

所以f′(x)必须有两个不同的零点，

所以Δ=a2−4×2>0，

所以a>22或a<−22，

即a的取值范围是(−∞,−22)∪(22,+∞)．

(2)证明：当a=2b=2时，f(x)=13x3+x17.解：(1)证明：如图，取CD的中点为G，连结AG，

因为CD=2AB=22，所以AB=CG，因为AB//CD，

所以四边形ABCG为平行四边形，

所以AG//BC，

在三角形AGD中，因为AG=BC=1,AD=1,GD=CD2=2，

所以AG2+AD2=DG2，所以AG⊥AD，

所以BC⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以PA⊥BC，因为PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BC⊥平面PAD，因为BC⊂平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PAD．

(2)由AG⊥AD，PA⊥平面ABCD，得AG，AD，AP两两垂直，

分别以AG，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则G(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，

C(2,−1,0)，B(1,−1,0)，

因为EC=3DE,CD=22，所以DE=22，又DG=2，所以E为DG的中点，

因为AD=AG，所以GD⊥AE，又PA⊥平面ABCD，GD⊂平面ABCD，

所以PA⊥GD，因为PA∩AE=A，PA，AE⊂平面PAE，

所以GD⊥平面PAE，

所以平面PAE的法向量为GD=(−1,1,0)，

又PC=(2,−1,−1),PB=(1,−1,−1)，

设平面PBC的一个法向量为18.解：(1)因为Γ：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，焦距为23，

所以ca=62,2c=23,

解得a=2，c=3，所以b=c2−a2=1，

所以Γ的标准方程为x22−y2=1．

(2)由题意可设直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx−1，双曲线Γ的渐近线方程为y=±x2，

不妨设C，D分别在左、右位置，

联立y=x2,y=kx−1,得xC=22k−119.解：(1)因为正四面体的质地是均匀的，p为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率，

所以p=24=12，

进一步得，X∼B(5,12)，

所以E(X)=np=5×12=52，D(X)=np(1−p)=5×12×12=54；

(2)证明：①因为pn是抛正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，

所以pn−1是抛正四面体n−1次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，

当n⩾2时，当在前n−1次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现奇数次时，第n次抛掷的结果必须出现奇数，才可以保证前