山东省烟台市部分校2025届高三上学期摸底联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东省烟台市部分校2025届高三上学期摸底联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|4x−4∈Z}，B={x∈N|x2A.[−1,2] B.[0,2] C.{0,2,3} D.{1,2}2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的75%分位数为(

)A.93 B.93.5 C.94 D.94.53.安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家公司实习的概率为(

)A.15 B.310 C.3254.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，AA.5 B.7 C.21 D.255.设a=ln22，b=1e，c=2+ln33eA.c>b>a B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b6.若函数f(x)=ax2−2x+blnA.a<0，b<0 B.a<0，b>0 C.ab<12 7.若sin(α−20∘)=sinA.18 B.−18 C.−8.已知实数a，b，c构成公差为d的等差数列，若abc=2，b<0，则d的取值范围为(

)A.(−∞,−3]∪[3,+∞) B.(−∞,−2]∪[2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，令g(x)=f(x)−cosA.g(x)的一个对称中心是(π12,0)

B.g(x)的对称轴方程为x=−π6+kπ2(k∈Z)

C.g(x)在10.已知复数z，z1，z2，则下列结论正确的有(

)A.|z1z2|=|z1||z2|

B.若z满足z2∈R，则z∈R

C.若z11.若函数f(x)=x3−3xA.f(x)的极大值点为2

B.f(x)有且仅有2个零点

C.点(1,−2)是f(x)的对称中心

D.f(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知△ABC，AB=BC=1，∠B=120∘，点E是BC边上一点，若BE=2CE，则AE⋅CE13.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束).根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是p(0<p<1)，且各局比赛结果相互独立.若甲以3:0获胜的概率不低于甲以3:1获胜的概率，则p的取值范围为

．14.如图，D为△ABC的边AC上一点，AD=2DC，∠ABC=90∘，AB+2BC=4，则BD的最小值为

．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰.已知甲、乙、丙三人参与考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为12，乙过关的概率为23，丙过关的概率为(1)若三人中有两人过关，求丙过关的概率;(2)记甲、乙、丙三人中过关的人数为X，求X的分布列与数学期望．16.(本小题12分)已知函数f(x)=ln(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明：当a<0时，f(x)≤−2a17.(本小题12分)如图，矩形ABCD中，AB=2BC=22，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，且点F满足DF//CE，且(1)求直线CF与平面ADE所成角的正切值;(2)求几何体ADE−BFC的体积．18.(本小题12分)抛物线C:x2=4y的焦点为F，准线为l，斜率分别为k1，k2(k1>k2≥0)的直线l1，l2均过点F，且分别与C交于A，B和D，E(其中A，D在第一象限)，T，S分别为AB，(1)求直线TS的斜率(用k1，k2(2)证明：△SPQ的面积大于2．19.(本小题12分)定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列1，4，3，8，5;第二次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3，11，8，13，5.设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn，所有项的和为S(1)若已知数列3，4，5，求P2，(2)求不等式Pn≥2049(3)是否存在不全为0的数列a，b，c(a,b,c∈R)，使得数列{Sn}为等差数列?参考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.C

6.C

7.C

8.A

9.ABD

10.AC

11.BCD

12.−713.[214.215.解：(1)记甲、乙、丙三人过关分别为事件A，B，C，

记三人中恰有两人过关为事件D，

则P(D) = P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=12×23×14+12×13×34+12×23×34=1124，

又P(CD) = P(ABC)+P(ABC)

=12×23×34+1X0123P11111故E(X)=0×124+1×14+2×112416.解：(1)∵f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+a，x∈0,+∞

∴f′(x)=1x+2ax+a+2

=(ax+1)(2x+1)x，x>0，

①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，

此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，

②当a<0时，令f′(x)=0，解得x=−1a，

当x∈(0,−1a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

当x∈(−1a,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

综上所述当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，

当a<0时，函数f(x)在(0,−1a)上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减；

(2)证明：由(1)可得，当a<0时，

f(x)max=f−1a=ln−1a+1a−a+2a+a

=ln(−17.解：(1)取AE中点O，AB中点G，连接DO、OG，

由题易得AD=DE=2，

∴DO⊥AE，DO=AO=1，

∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，DO⊂平面ADE，

∴DO⊥平面ABCE，

又∵G为AB中点，∴在矩形ABCD中，四边形AGED为正方形，

∴GO⊥AE，

∴OA，OG，OD两两垂直，且OA=OG=OD=1．

以O为坐标原点，以OA，OG，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，E(−1,0,0)，D(0,0,1)，G(0,1,0)，B(−1,2,0)，C(−2,1,0)，F(−3,3,1)，

∴CF=(−1,2,1)，平面ADE的一个法向量为OG=(0,1,0)．

∴CF⋅OG=2，|CF|=6，|OG|=1．

设直线CF与平面ADE所成角为θ，

∴sinθ=|cosCF,OG|=|CF⋅OG||CF|⋅|OG|=26=63，

18.解：(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，l1:y=k1x+1，

联立y=k1x+1x2=4y得x2−4k1x−4=0，

故x1+x2=4k1，y1+y2=k1(x1+x2)+2=4k12+2，

故AB中点T的坐标为(2k1,2k12+1)，

同理可得S(2k2,2k22+1)，

故kTS=(2k22+1)−(2k12+1)2k2−2k1=k2+k1．

(2)设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，

则有tanα=k1，tanβ=k2，α∈(0,19.解：(1)第一次“和扩充”:3，7，4，9，5;

第二次“和扩充”:3，10，7，11，4，13，9，14，5;

故P2=9，S2=76．

(2)数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，

数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数