2024-2025学年北京市朝阳区日坛中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市朝阳区日坛中学高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|−3<x<1}，N={x|−1≤x<4}，则M∪N=(

)A.{x|−1≤x<1} B.{x|x>−3} C.{x|−3<x<4} D.{x|x<4}2.若命题p：∃x∈R，sinx≥1，则￢p为(

)A.∀x∈R，sinx≤1 B.∀x∈R，sinx<1

C.∃x∈R，sinx<1 D.∃x∈R，sinx≤13.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x，则f(−2)=A.−1 B.0 C.1 D.24.已知x，y是实数，则“x>y”是“x2>y2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.函数f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数，则满足f(2x−1)<f(13)的x的取值范围是A.(13,23) B.[6.若i(1−z)=1，则z+z−=A.−2 B.−1 C.1 D.27.已知(x2+x+a)(2x−1)6展开式中各项系数之和为3，则展开式中A.−10 B.−11 C.−13 D.−158.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升到A.10% B.20% C.30% D.50%9.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|PA+PB|的取值范围是

A.[6,4+43] B.[42,8]10.设集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}，则(

)A.对任意实数a，(2,1)∈A B.对任意实数a，(2,1)∉A

C.当且仅当a<0时，(2,1)∉A D.当且仅当a≤32二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.直线x−y+3=0被圆x2+y12.能使“cos(α+β)=cosα+cosβ”成立的一组α，β的值可以为______．13.若对任意正数x，不等式2x2+4≤2a+114.已知函数f(x)=mx2+1,x≥0(m215.已知函数fn(x)=sinnxsinx(n∈N∗)，关于此函数的说法正确的序号是

①fn(x)(n∈N三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知函数f(x)=2cosx(sinx+3cosx)−3．

(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ)若f(x)在区间[m,π17.(本小题14分)

在△ABC中，bsinA=acos(B−π6)．

(Ⅰ)求B；

(Ⅱ)若c=5，

求a．

从①b=7，②C=18.(本小题14分)

某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区(人数众多)随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如表：患者的检测结果人数阳性76阴性4非患者的检测结果人数阳性1阴性99(Ⅰ)从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；

(Ⅱ)从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用(Ⅰ)中所得概率，求X的分布列和数学期望；

(Ⅲ)假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由．19.(本小题15分)

已知曲线C：x2+2y2=8，设曲线C与y轴的交点为A、B(点A位于点B的上方)，直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A、20.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx，a∈R．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)当a≥1时，若f(x)>1在区间[1e21.(本小题14分)

设集合Sn={n,n+1,…,2n−1}，若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集．

(1)当n=3时，写出Sn的所有奇子集；

(2)求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的个数等于偶子集的个数；

(3)当n≥3参考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.D

6.D

7.B

8.C

9.C

10.D

11.212.α=−π3,β=13.[−114.(1,15.①②④

16.解：(Ⅰ)f(x)=2cosx(sinx+3cosx)−3=2cosx⋅sinx+23cos2x−3

=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3).

由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，求得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z．

所以f(x)的单调递增区间是[−17.解：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，得bsinA=asinB，

又bsinA=acos(B−π6)，∴asinB=acos(B−π6)，

即sinB=cos(B−π6)=cosBcosπ6+sinBsinπ6=32cosB+12sinB，

即sinB=3cosB，

∴tanB=3，

又B∈(0,π)，

∴B=π3．

(Ⅱ18.解：(Ⅰ)由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，

所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，

结果为阳性的概率估计为P=7680=1920．

(Ⅱ)由题意，可知X～B(3,1920)，

P(X=0)=C30(1

X

0

1

2

3

P

1

57

1083

6859E(X)=3×1920=5720．

(Ⅲ)此人患该疾病的概率未超过0.5．

理由如下：

由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，

那么结果为阳性的人数为99000×1100+1000×1920=1940，其中患者人数为95019.证明：曲线C：x2+2y2=8，

当x=0时，y=±2，

故A(0,2)，B(0,−2)

将直线y=kx+4代入椭圆方程x2+2y2=8得：(2k2+1)x2++16kx+24=0，

若y=kx+4与曲线C交于不同两点M，N，

则Δ=32(2k2−3)>0，解得：k2>32，

由韦达定理得：xm+xn=−16k1+2k2

①，

xm⋅xn=241+2k2

②，

设N(xN,kxN20.解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)=ax2−(a+1)x+1x2=(ax−1)(x−1)x2．

(1)当a≤0时，ax−1<0，令f′(x)>0，解得0<x<1，则函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，

令f′(x)<0，解得x>1，函数f(x)单调递减区间为(1,+∞)．

所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．

(2)当0<a<1，令f′(x)<0，解得1<x<1a，则函数f(x)的单调递减区间为(1,1a)；

令f′(x)>0，解得0<x<1或x>1a，则函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，(1a,+∞)；

(3)当a=1时，f′(x)≥0恒成立，则则函数f(x)的单调递增区间为R，

(4)当a>1时，1a<1，令f′(x)<0，解得1a<x<1，则函数f(x)的单调递减区间为(1a,1)；

令f′(x)>0，解得0<x<1a或x>1，则函数f(x)的单调递增区间为(0,1a)，(1,+∞)；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得当a=1时，函数f(x)在区间[1e,e]上单调递增，则f(x)min=f(1e)=1e−e−2<1，故不满足条件，

若a≥e，则由(Ⅰ)知，函数f(x)在(1,e)上单调递增，在(1e,1)单调递减，

f(x)min=f(1)=a−1>e−1>1，满足条件

当1<a<e时，由(Ⅰ)21.解：(1)当n=3时，Sn={3