2023年北京市重点校初三（上）期末数学试题汇编：二次函数和反比例函数章节综合

第1页/共1页2023北京重点校初三（上）期末数学汇编二次函数和反比例函数章节综合一、单选题1．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（

）A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系3．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（

）A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系4．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值65．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）已知二次函数，则下列说法正确的是（

）A．二次函数图象开口向上 B．当时，函数有最大值是3C．当时，函数有最小值是3 D．当时，y随x增大而增大6．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）将抛物线向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）是函数图象上两点，且，则的大小关系是（

）A． B． C． D．大小不确定二、填空题8．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为_________．9．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______．10．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，二次函数图象开口向上，且对称轴是直线，任写出一个满足条件的二次函数的表达式：_________．11．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）已知抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：x13y22点是抛物线上不同的两点，则_________．12．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围为______．13．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）二次函数的图象与x轴交点坐标是_____．14．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差___小时．三、解答题15．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）已知：一次函数，与反比例函数的图象交与点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)已知点过点P作垂直于y轴的直线，与反比例函数的图象交于点B，与一次函数的图象交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段、与反比例函数图象上之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出n的取值范围．16．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度．17．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）已知二次函数．(1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．(2)已知点都在该二次函数图象上，①请判断与的大小关系：（用“”“”“”填空）；②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．18．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度(单位：m)与水平距离(单位：m)近似满足函数关系．某位同学进行了两次投掷．(1)第一次投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m0246810竖直距离y/m根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；(2)第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离近似满足函数关系．记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点的距离为，则_____(填“＞”“＝”或“＜”)．19．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．（1）求b，c的值；（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；20．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）已知抛物线．(1)若抛物线经过点，求抛物线的对称轴；(2)已知抛物线上有四个点，且．比较的大小，并说明理由．21．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）实心球是北京市初中体育学业水平现场考试选考项目之一．某同学作了2次实心球训练．第一次训练中实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．(1)求y关于x的函数表达式；(2)该同学第二次训练实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：，记第一次实心球从起点到落地点的水平距离为，第二次实心球从起点到落地点的水平距离为，则_________．（填“>”“=”或“<”）．22．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）已知函数的图象上有两点．(1)求m，n的值．(2)已知直线与直线平行，且直线与线段总有公共点，直接写出k值及b的取值范围．23．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）已知二次函数．(1)求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标；(2)画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值时，自变量x的取值范围．24．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，已知反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，点．(1)求n和b的值；(2)观察图像，不等式的解集为________．25．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）已知双曲线与抛物线交于三点．(1)求m和n的值；(2)在平面直角坐标系中描出上述两个函数的草图，并根据图象直接写出：当时，x的取值范围？26．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）已知二次函数的图象经过两点，求这个二次函数的解析式．27．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围．28．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）已知二次函数．(1)求该二次函数的顶点坐标；(2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；(3)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；(4)结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围．29．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线，设抛物线的对称轴为．(1)当抛物线过点时，求t的值；(2)若点和在抛物线上，若，且，求t的取值范围．30．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系．现测量出x与y的几组数据如下：x（米）01234…y（米）…请解决以下问题：(1)求出满足条件的函数关系式；(2)身高米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为m米（），画出图象，结合图象回答，若小明被水枪淋到m的取值范围．

参考答案1．A【分析】设点A的坐标为，将长和点C到的距离用a表示出来，最后根据三角形的面积公式即可求解．【详解】解：设点A的坐标为，∵轴，∴，∵点C在y轴上，∴点C到的距离为a，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义以及反比例函数的图象和性质．2．D【分析】根据题意，列出I与v的函数关系式，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：，整理得：，∴I与v的函数关系为二次函数关系；故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出正确的函数函数关系式．3．B【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案．【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为，∴，∴，∵，∴，∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选B．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．4．D【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），∴函数有最小值为6．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值．5．B【分析】根据二次函数顶点式的特点依次判断求解即可．【详解】解：二次函数，其中，开口向下，顶点坐标为，对称轴为，最大值为3，当时，y随x的增大而减小，∴只有选项B正确，符合题意；故选：B．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质和特点，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．6．B【分析】向右平移只需用x减去平移的数量即可，注意要加括号．【详解】解：抛物线向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是，故选B．【点睛】本题主要考查函数的平移，能够熟练运用左加右减的口诀是解题关键，要注意左右平移要加括号．7．C【分析】根据反比例函数图象的性质即可求解．【详解】∵∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∵是函数图象上两点，且∴故选：C【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象的性质．8．【分析】令，代入抛物线，得到点C的纵坐标，即可得解．【详解】解：依题意，令，得到，故抛物线与y轴交于点C的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与y轴交点问题，令，即可得到抛物线与y轴交点的纵坐标．9．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．【详解】解：抛物线，向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到即故答案为：．【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．10．（答案不唯一）【分析】由题意知，写出的解析式满足，，由此举例得出答案即可．【详解】设所求二次函数的解析式为∵图象的开口向上，∴，可取，∵对称轴是直线，∴，得，∵c可取任意数，∴函数解析式可以为：（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴，得出二次函数的表达式．11．4【分析】根据表格数据确定抛物线的对称轴，再由点是抛物线上不同的两点，且纵坐标相同，利用对称轴求解即可．【详解】解：根据表格可得：当与时的函数值相同，∴抛物线的对称轴为∵点是抛物线上不同的两点，且纵坐标相同，∴解得：故答案为：4．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及利用对称轴求解，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．12．【分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限，可以得到，然后求解即可．【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．13．【分析】设时，求方程的解即可．【详解】解：设时,解得所以，图象与x轴的交点坐标是故答案为【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点坐标，解题关键是理解二次函数图象与轴的交点坐标的意义．14．【分析】设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，把点代入求出函数表达式，即可求解．【详解】解：设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，把点代入得：，解得：，∴设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，当时，（小时），当时，（小时），（小时），故答案为：．【点睛】本题主要考查了求反比例函数的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．15．(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为(2)或【分析】（1）把点分别代入和求出k和m的值即可；（2）画出图形，分两种情况进行讨论即可．【详解】（1）解：把点代入得：，解得：，∴一次函数的表达式为：，把点代入得：，解得：，∴反比例函数的表达式为：；（2）如图所示，①当线段在点A上方时，点P在7和8之间时，恰有3个整点，此时；②当线段在点A下方时，点P在1和2之间时，恰有3个整点，此时；综上：当或时，恰有3个整点．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，会画函数图象．16．米【分析】以的中垂线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出坐标，设出抛物线的解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令，求出的值即可．【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系．此时，抛物线与x轴的交点为C(-100,0),

D(100,0)．设这条抛物线的解析式为∵抛物线经过点B(50,150)，)可得解得．

∴．顶点坐标是（0，200）∴拱门的最大高度为200米．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，解题关键是正确建立坐标轴和熟练掌握待定系数法求解析式．17．(1)抛物线与y轴交点的坐标为，对称轴(2)①；②【分析】（1），可得抛物线与y轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可求解；（2）①根据题意可得点关于直线对称，即可求解；②根据题意可得点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，然后分两种情况：当时，当时，即可求解．【详解】（1）解：令，则，∴抛物线与y轴交点的坐标为．对称轴．（2）解：①∵函数图象的对称轴为直线，∴点关于直线对称，∴，故答案为：；②∵函数图象的对称轴为直线，，∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧．当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴，不合题意．当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则，，，，四个函数值可以满足，∴，即当时，，当时，．解得．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．18．(1)，(2)＞【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，并利用待定系数法得到抛物线解析式；（2）设着陆点的纵坐标为0，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标即为和，然后进行比较即可．【详解】（1）解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为，所以实心球竖直高度的最大值为，设抛物线的解析式为：，将点代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）解：第一次抛物线解析式为，令，得到，（负值舍去），第二次抛物线的解析式为，令，得到，（负值舍去），，故答案为：>【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．19．（1），；（2）交点M的坐标为（2，-3）．【分析】（1）将点A、点B坐标代入函数解析式，求解方程组即可；（2）设直线AB的解析式为：，将点A、点B坐标代入函数解析式求解确定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M的坐标．【详解】解：（1）将点A、点B坐标代入函数解析式可得：，解得：，∴，；（2）设直线AB的解析式为：，将点A、点B坐标代入函数解析式可得：，解得：，∴一次函数解析式为：，由（1）得二次函数解析式为：，对称轴为：，直线与的交点为M，∴当时，，∴交点M的坐标为（2，-3）．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键．20．(1)直线(2)，理由见解析【分析】（1）由抛物线经过点得到，即可求得抛物线的对称轴；（2）根据抛物线过得，可得抛物线的对称轴为直线，再根据，，进而得出对称轴的范围是，可得离对称轴越远的点，函数值越大，再结合点的坐标即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，∴，即，∴，∴抛物线的对称轴为直线；（2）解：，理由如下∵抛物线过，∴，∵，∴，即，∴抛物线的对称轴为直线，∴，∵，∴抛物线开口向上，∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，即离对称轴越远的点，函数值越大，∵，∴．【点睛】此题考查了二次函数得图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴和增减性是解题的关键．21．(1)(2)【分析】（1）由图可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，得出，令第二次训练的函数解析式，且，解方程，得出，即可求解．【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，把代入解析式得，，解得，，∴关于的函数表达式为．（2）根据题意，令，且，∴，解得，，（舍去），解得，，（舍去），∴，∴．，故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用及待定系数法确定解析式，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．22．(1)(2)，b的取值范围为【分析】（1）把代入可求出m的值，即可得出反比例函数的解析式，根据A、B两点坐标，把代入可求出n值；（2）两直线平行，k值相等；再根据点A和点B坐标及k值为1可得答案．【详解】（1）将代入得，∴反比例函数为，把代入的，n，∴（2）∵直线平行于直线∴；∵与线段总有公共点∴当过点时，则，当过点时，则，∴，b的取值范围为．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、两平行直线的关系及直线与线段的交点个数问题，熟练掌握反比例函数图形上点的坐标特征是解题关键．23．(1)顶点坐标为与x轴的交点坐标为和；(2)图见解析；【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即得出其顶点坐标．令，求出x的值，即得出该二次函数图像与x轴的交点坐标；（2）根据五点法画出图像即可．由求时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图像在x轴下方时x的取值范围，再结合图像即可解答．【详解】（1）解：二次函数化为顶点式为：，∴该二次函数图像的顶点坐标为．令，则，解得：，∴该二次函数图像与x轴的交点坐标为和；（2）令，则；令，则；∴该二次函数还经过点和，∴在坐标系中画出图象如下：求时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴下方时x的取值范围，∵该二次函数图像与x轴的交点坐标为和，∴当时，二次函数图像在x轴下方，∴当时，自变量x的取值范围是．【点睛】本题考查二次函数一般式改为顶点式，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，画二次函数图象等知识．利用数形结合的思想是解题关键．24．(1)；(2)或【分析】（1）直接将点的坐标代入解析式中求解即可；（2）根据图像可知A点左边y轴右边或B点右边的图像均有，即可求解．【详解】（1）把代入得：，把代入，得：把代入得：．（2）不等式的解集为或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解题关键是会用待定系数法求出解析式中的字母，能根据图像得到不等式的解集．25．(1)，(2)图见解析；【分析】（1）首先把的坐标代入解析式即可求得反比例函数解析式，然后把和代入反比例函数解析式即可求得和的值；（2）作出函数图象，根据图象即可解答．【详解】（1）解：把代入线得，则反比例函数的解析式是把代入得，把代入得（2）解：如图所示：当时，则的范围是：．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及利用图象解不等式，，通过描点画图即能作出解答，解题关键是理解数形结合思想．26．【分析】利用待定系数法即可求解．【详解】将两点代入解析式得：解得∴二次函数解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题关键是将点的坐标代入解析式后解二元一次方程组．27．(1)(2)存在，(3)【分析】（1）先求得，然后将，代入，即可求函数的解析式；（2）设，根据是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解；（3）设点E的横坐标，分别求出，，，，当F点在抛物线上时，或，当G点在抛物线上时，或，结合图象可得时，四边形与抛物线有公共点．【详解】（1）解：由得，时，，∴．∵抛物线经过、D两点，∴，解得∴抛物线的解析式为．（2）解：由，令，，解得：，∴；∵，∴，∵是直线上的点，设，当为斜边时，,∴，解得：，∴当为直角时，,∴解得：（根据图形，不合题意舍去）∴综上所述，存在（3）解：∵点E的横坐标，∴，由题可知，，，，当F点在抛物线上时，，解得或，当G点在抛物线上时，，解得或，∴时，四边形与抛物线有公共点．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的