北师大版2024-2025学年八年级数学上册强化提分系列专题2.2立方根【十大题型】(学生版+解析)

专题2.2立方根【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1立方根概念理解】 1【题型2求一个数的立方根】 2【题型3求代数式的立方根】 2【题型4由立方根的概念解方程】 2【题型5由立方根求式子的值】 3【题型6立方根与数轴的综合】 3【题型7估算立方根的取值范围】 4【题型8立方根、平方根综合运算求值】 4【题型9立方根的实际应用】 5【题型10立方根的规律探究】 6知识点：立方根（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【题型1立方根概念理解】【例1】（23-24八年级·安徽阜阳·期中）（1）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是．（2）当2x+5=32x+5时，2x−5的值是【变式1-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）若3x−2有意义，则x【变式1-2】（23-24八年级·全国·单元测试）有下列说法：①负数没有立方根；②一个正数有两个立方根，它们互为相反数；③任何一个数有且只有一个立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；⑤一个数有立方根，就一定有算术平方根；⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的．其中正确的是（填序号）．【变式1-3】（23-24八年级·福建泉州·期末）已知31−2x与33x−7互为相反数，则x=【题型2求一个数的立方根】【例2】（23-24八年级·上海虹口·期中）如果ay=−64

，那么a=【变式2-1】（23-24八年级·吉林延边·期中）−8的立方根是．【变式2-2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）计算：3−27+2=【变式2-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第2020次输出的结果的算术平方根的立方根是（

）

A．2 B．4 C．2 D．3【题型3求代数式的立方根】【例3】（23-24八年级·河南商丘·期中）2a−1的平方根为±3，3a−b+1的立方根为2，则32a+2b+1的值为（

A．−3 B．3 C．±3 D．不确定【变式3-1】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）若某自然数的立方根为a，则它前面与其相邻的自然数的立方根是（

）A．a−1 B．3a−1 C．3a3【变式3-2】（23-24八年级·浙江宁波·期中）已知x+4与(y−16)2互为相反数，则x与y的积的立方根为（

A．4 B．−4 C．8 D．−【变式3-3】（23-24八年级·广西防城港·期中）若实数a，b满足a+1+|b−1|=0，则a2024+【题型4由立方根的概念解方程】【例4】（23-24八年级·广东惠州·期中）解方程：x−5【变式4-1】（23-24八年级·四川泸州·期末）解方程：8(x−1)【变式4-2】（23-24八年级·山东滨州·期中）（1）解方程：4（2）解方程：1【变式4-3】（23-24八年级·上海浦东新·期中）解方程：5x−13【题型5由立方根求式子的值】【例5】（23-24八年级·四川乐山·阶段练习）若32a和3b互为相反数，求a【变式5-1】（23-24春·山东济宁·八年级统考期中）如果3a+4=4，那么(a-67)3的值是【变式5-2】（23-24八年级·重庆·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则6n−4m＝．【变式5-3】（23-24八年级·云南曲靖·期中）若a=3，3b=-2，则ｂ-ａ的值是【题型6立方根与数轴的综合】【例6】（23-24·河北石家庄·一模）数轴上表示38+3A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段【变式6-1】（23-24八年级·河南平顶山·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a−2和a−7．如图，在数轴上表示3x+3a的点是（

A．点P B．点Q C．点M D．点N【变式6-2】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：a+b−a2【变式6-3】（23-24八年级·浙江·期中）如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影部分是一个正方形ABCD，把正方形ABCD放到数轴上，使得A与−1重合，那么D在数轴上表示的数为（

）【变式8-3】（23-24八年级·天津·期中）已知5a−1的算术平方根是2，b−9的立方根是2，c是12的整数部分．(1)求a+b+c的值；(2)若x是12的小数部分，求x−12【题型9立方根的实际应用】【例9】（23-24八年级·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为150cm2，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小A．36cm2 B．54cm2 C．96cm2【变式9-1】（23-24八年级·陕西渭南·期中）某金属冶炼厂将8个大小相同的正方体钢铁在炉火中熔化，重新铸成一个新的长方体钢铁，且此长方体的长、宽、高分别为4dm，9dm和【变式9-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期中）如图，把两个半径分别是1cm和2cm的铅球熔化后做成一个更大的铅球．（注：球的体积公式是V=4(1)这个大铅球的半径是多少？（结果保留准确值）(2)对于（1）中求出的半径值，试确定其整数部分和小数部分．【变式9-3】（23-24八年级·河北石家庄·期中）如图所示正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162cm(1)求正方形纸板的边长；(2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为216cm【题型10立方根的规律探究】【例10】（23-24八年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：3−0.001=−0.1，3−1=−1，3−1000=−10(1)则30.000001=；3106=(2)已知3x=1.587，若3y=−0.1587，用含x的代数式表示y(3)根据规律写出3a与a【变式10-1】（23-24八年级·河北沧州·阶段练习）第一个等式：312−1=−312；第二个等式：329−2=−2【变式10-2】（23-24八年级·云南昆明·阶段练习）按一定规律排列的式子：1+31，3+32，5+33，7A．2n−1+3nC．2n−1+3n+1【变式10-3】（23-24八年级·全国·专题练习）阅读理解，观察下列式子：①31②38③327④364……根据上述等式反映的规律，回答如下问题：(1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式：．(2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若，则专题2.2立方根【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1立方根概念理解】 1【题型2求一个数的立方根】 3【题型3求代数式的立方根】 5【题型4由立方根的概念解方程】 6【题型5由立方根求式子的值】 8【题型6立方根与数轴的综合】 9【题型7估算立方根的取值范围】 11【题型8立方根、平方根综合运算求值】 13【题型9立方根的实际应用】 16【题型10立方根的规律探究】 18知识点：立方根（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【题型1立方根概念理解】【例1】（23-24八年级·安徽阜阳·期中）（1）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是．（2）当2x+5=32x+5时，2x−5的值是【答案】−1,1−11,−10,−9【分析】本题考查立方根定义与性质，涉及解一元一次方程及代数式求值等知识，熟练掌握立方根定义与性质是解决问题的关键．（1）根据题意，结合立方根的性质求解即可得到答案；（2）由（1）中所得结论，列方程求解得到x=−3，x=−52，【详解】解：（1）设这个非零实数为m，∵一个非零实数的立方根等于这个数本身，∴m3=m，则m=−1故答案为：−1,1；（2）由（1）中结论可知，当2x+5=32x+5时，2x+5=−1或2x+5=0或2x+5=1，解得x=−3，x=−5∴2x−5=−11或−10或−9，故答案为：−11,−10,−9．【变式1-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）若3x−2有意义，则x【答案】全体实数【分析】根据使立方根有意义的条件解答即可．【详解】解：立方根的被开方数可以取一切实数，所以x可以取一切实数．故答案为：一切实数．【点睛】本题考查使立方根有意义的条件，理解掌握该知识点是解题关键．【变式1-2】（23-24八年级·全国·单元测试）有下列说法：①负数没有立方根；②一个正数有两个立方根，它们互为相反数；③任何一个数有且只有一个立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；⑤一个数有立方根，就一定有算术平方根；⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的．其中正确的是（填序号）．【答案】③④⑥【分析】根据算术平方根、平方根和立方根的意义求解即可．【详解】解：①负数有立方根，原说法错误；②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，原说法错误；③任何一个数有且只有一个立方根，说法正确；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，说法正确；⑤一个数有立方根，不一定有算术平方根，原说法错误；⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的，这个数是0，说法正确；综上，正确的是③④⑥．故答案为：③④⑥．【点睛】本题考查算术平方根、平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的意义是正确解答的前提．【变式1-3】（23-24八年级·福建泉州·期末）已知31−2x与33x−7互为相反数，则x=【答案】6【分析】直接利用相反数的定义得出x的值，进而代入计算得出答案．【详解】解：由题意可知：1−2x+3x−7=0，解得：x=6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了立方根的性质，正确得出x的值是解题关键．【题型2求一个数的立方根】【例2】（23-24八年级·上海虹口·期中）如果ay=−64

，那么a=【答案】−4【分析】本题考查了立方根，把原式变为ay【详解】解：∵ay∴y为奇数，∴ay∴a=−4，故答案为：−4．【变式2-1】（23-24八年级·吉林延边·期中）−8的立方根是．【答案】2【分析】本题考查了绝对值，立方根．熟练掌握立方根是解题的关键．根据−8的立方根为3−8【详解】解：由题意知，−8的立方根为3−8故答案为：2．【变式2-2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）计算：3−27+2=【答案】−1【分析】先求出立方根，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：3−27故答案为：−1．【变式2-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第2020次输出的结果的算术平方根的立方根是（

）

A．2 B．4 C．2 D．3【答案】D【分析】根据题意和题目中的数值转换器可以写出前几次输出的结果，从而可以发现数字的变化规律，进而求得第2020次输出的结果，再计算算术平方根的立方根即可．【详解】解：由题意可得，当x=1时，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，第六次输出的结果是1，第七次输出的结果是4，第八次输出的结果是2，……，∵2020÷3=673…1，则第2020次输出的结果是4，4的算术平方根是2，2的立方根是32故选：D．【点睛】本题考查数字的变化类，程序图，算术平方根和立方根，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的数字．【题型3求代数式的立方根】【例3】（23-24八年级·河南商丘·期中）2a−1的平方根为±3，3a−b+1的立方根为2，则32a+2b+1的值为（

A．−3 B．3 C．±3 D．不确定【答案】B【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出a，b，代入求解即可得到答案；【详解】解：∵2a−1的平方根为±3，3a−b+1的立方根为2，∴2a−1=(±3)2=9解得：a=5，b=8，∴32a+2b+1故选B；【点睛】本题考查平方根的定义，立方根的定义，解题的关键是根据定义列式求解．【变式3-1】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）若某自然数的立方根为a，则它前面与其相邻的自然数的立方根是（

）A．a−1 B．3a−1 C．3a3【答案】C【分析】先求出该自然数，再求出与其相邻的自然数的立方根即可．【详解】解：∵某自然数的立方根为a，∴该自然为a3∴它前面与其相邻的自然数的立方根是3a故选C．【点睛】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握立方根的定义：一个数x的立方为a，则x叫做a的立方根，是解题的关键．【变式3-2】（23-24八年级·浙江宁波·期中）已知x+4与(y−16)2互为相反数，则x与y的积的立方根为（

A．4 B．−4 C．8 D．−【答案】B【分析】本题考查了相反数，算术平方根的非负性，立方根．熟练掌握a的立方根为3a由题意知，x+4+(y−16)2=0，即x+4=0，y−16=0，解得x=−4，【详解】解：由题意知，x+4+∴x+4=0，解得x=−4，∴xy=−64，∴x与y的积的立方根为3xy故选：A．【变式3-3】（23-24八年级·广西防城港·期中）若实数a，b满足a+1+|b−1|=0，则a2024+【答案】3【分析】本题考查算术平方根、绝对值的非负性及立方根，根据算术平方根，绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算求立方根即可．【详解】解：∵a+1+|b−1|=0，而a+1∴a+1=0,b−1=0，即a=−1,b=1，∴a∴a2024+b故答案为：32【题型4由立方根的概念解方程】【例4】（23-24八年级·广东惠州·期中）解方程：x−5【答案】x=3【分析】本题考查了求一个数的立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据立方根的性质求解即可．【详解】解：x−53x−53x−5=−2，x=3．【变式4-1】（23-24八年级·四川泸州·期末）解方程：8(x−1)【答案】x=−【分析】首先等式两边同时除以8，然后再求x−1的立方根，进而可得x的值．【详解】解：8(x−1)(x−1)3x−1=−5∴x=−1【点睛】此题主要考查了立方根，关键是掌握立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．【变式4-2】（23-24八年级·山东滨州·期中）（1）解方程：4（2）解方程：1【答案】（1）x=7或x=−1；（2）【分析】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握立方根，以及平方根的概念是解本题的关键．（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程变形后，利用立方根定义开方即可求出解．【详解】解：（1）4x−3x−3=±4x=3+4或x=3−4x=7或x=−1（2）1x−1x−1=3x=4．【变式4-3】（23-24八年级·上海浦东新·期中）解方程：5x−13【答案】x=0.14【分析】本题考查的是利用立方根的含义解方程，由立方根的含义可得5x−1=−0.3，再解一次方程即可．【详解】解：∵5x−13∴5x−1=−0.3，∴5x=0.7，∴x=0.14【题型5由立方根求式子的值】【例5】（23-24八年级·四川乐山·阶段练习）若32a和3b互为相反数，求a【答案】−【分析】由32a和3b互为相反数，可得出2a=−b，进而可得出【详解】解：∵32a和∴2a=−b，∴a故答案为−1【点睛】本题考查了实数的性质以及立方根，由两数互为相反数找出2a=−b是解题的关键．【变式5-1】（23-24春·山东济宁·八年级统考期中）如果3a+4=4，那么(a-67)3的值是【答案】－343【分析】利用立方根的定义及已知等式求出a的值，代入所求式子计算即可求出值．【详解】∵3a∴a+4=43，即a+4=64，∴a=60，则（a-67）3=（60-67）3=（-7）3=-343，故答案为-343.【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．【变式5-2】（23-24八年级·重庆·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则6n−4m＝．【答案】4【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．【详解】由题意可得：4m+15=9，2−6n=−8，解得：m=−32，∴6n−4m=故答案为：4．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根，．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．【变式5-3】（23-24八年级·云南曲靖·期中）若a=3，3b=-2，则ｂ-ａ的值是【答案】-17.【分析】由已知条件求出a，b的值，然后再代入计算即可得解.【详解】∵a=3，3b∴a=9，b=-8，∴b-a=-8-9=-17.故答案为-17.【点睛】本题主要考查了求代数式的值，根据算术平方根和立方根的意义分别求出a和b的值是解此题的关键.【题型6立方根与数轴的综合】【例6】（23-24·河北石家庄·一模）数轴上表示38+3A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段【答案】B【分析】根据立方根的性质将38【详解】38∴在数轴上的第②段，故选：A．【点睛】本题考查了立方根的性质及利用数轴表示数，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式6-1】（23-24八年级·河南平顶山·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a−2和a−7．如图，在数轴上表示3x+3a的点是（

A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】B【分析】本题考查了平方根的概念,根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得2a−2+a−7=0，x=(2a−2)2，得出a=3,x=16表示出【详解】∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a−2和a−7，∴2a−2+a−7=0，x=(2a−2)解得a=3,x=16，∴3∵2∴38<故选：A．【变式6-2】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：a+b−a2【答案】−a−2b/−2b−a【分析】先通过数轴表示确定a，b的大小、符号和绝对值的大小，再进行化简、计算．【详解】解：由题意得，a>0>b，且a<∴a+b<0，b−a<0，∴=−=−a−b−a−b+a=−a−2b，故答案为：−a−2b．【点睛】此题考查了利用数轴进行实数平方根、立方根、绝对值等方面的化简能力，关键是能准确理解并运用以上知识．【变式6-3】（23-24八年级·浙江·期中）如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影部分是一个正方形ABCD，把正方形ABCD放到数轴上，使得A与−1重合，那么D在数轴上表示的数为（

）

A．−3.5 B．−8 C．−8+1【答案】D【分析】根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长为4，根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长，根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数．【详解】解：∵364∴这个魔方的棱长为4，∴小正方体的棱长为2，∴阴影部分的面积为：12∴小正方形ABCD的边长为：8，∴点D在数轴上表示的数为−1−8故选：D．【点睛】本题考查的是立方根、平方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长．【题型7估算立方根的取值范围】【例7】（23-24八年级·安徽合肥·期末）已知m<3100<n，且m，n是两个连续的整数，则【答案】9【分析】本题考查无理数的估算、立方根、代数式求值，先根据43=64，53=125，结合立方根定义和已知求得【详解】解：∵43=64，∴364=4，∵64<100<125，∴4=3∵m<3100<n，且m∴m=4，n=5，∴m+n=9，故答案为：9．【变式7-1】（23-24·四川成都·二模）在数轴上，与328最接近的整数是【答案】3【分析】根据无理数的意义和三次根式的性质得出3<3【详解】解：∵327∴3<3∴与328故答案为：3．【点睛】本题考查了三次根式的性质和估计无理数的大小，计算出328【变式7-2】（23-24八年级·浙江宁波·期中）若整数x满足3+365≤x≤65+2【答案】8或9或10【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算65和365的大小，进而得出3+365【详解】解：∵43=64，5∴4<3∴7<3+3又：∵82=64，9∴8<65∴10<65又∵整数x满足3+3∴x=8或x=9或x=10，故答案为：8或9或10．【点睛】本题考查算术平方根、立方根的性质．【变式7-3】（23-24八年级·四川德阳·期末）我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奧妙．解：∵103∴359319∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有93=729的末位数字是∴359319又∵划去59319的后面三位319得到59，而3<3∴359319的十位数字是3∴359319=39请根据以上解题思路解方程：3(2x+1)3+59049=0【答案】−14【分析】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可．【详解】解∵3(2x+1)∴(2x+1)3∵103∴319683∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有73∴319683又∵划去19683的后面三位683得到19，而2<3∴319683∴319683∴2x+1=−27，解得x=−14，故答案为：−14【题型8立方根、平方根综合运算求值】【例8】（23-24八年级·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是2x−3和1−x，且31+2b与33b−5相等，求【答案】13【分析】本题主要考查了平方根和立方根，算术平方根，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义和性质．根据平方根的性质可得x的值，代入1−x可得a的值；根据立方根的性质和相反数的性质即可求得b，然后代入a+2b求解即可．【详解】解：因为正数a的两个平方根分别是2x−3和1−x，所以2x−3+1−x=0所以x=2所以a=因为31+2b与3所以1+2b=3b−5所以b=6所以a+2b=1+2×6=13．所以a+2b的算术平方根是13．【变式8-1】（23-24八年级·安徽淮北·期末）若M,N都是实数，且M=3x−6，N=6−x，则M,NA．M≤N B．M≥N C．M<N D．M>N【答案】A【分析】由算术平方根的意义可知6-x≥0,则x-6≤0,从而M=3x−6≤0，【详解】∵6-x≥0,∴x-6≤0,∴M=3x−6≤0，∴M≤N.故选A.【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握负数没有算术平方根是解答本题的关键.【变式8-2】（23-24八年级·四川成都·期中）已知x+4的平方根是±3，3x+y−1的立方根是3，则y2−x【答案】12【分析】本题考查了立方根与平方根，先根据平方根求出x的值，再根据立方根求出y的值，然后代入求值即可求出答案．【详解】解：由题意可知：x+4=9，解得：x=5，3x+y−1=27，解得y=13，∴y2−x∵12∴y2−x故答案为：12．【变式8-3】（23-24八年级·天津·期中）已知5a−1的算术平方根是2，b−9的立方根是2，c是12的整数部分．(1)求a+b+c的值；(2)若x是12的小数部分，求x−12【答案】(1)21(2)±5【分析】本题考查了平方根，立方根概念，（1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的a，b，c的值，代入计算即可得出答案；（2）先得出x的值，即可得出结果；【详解】（1）∵5a−1的算术平方根是2，∴5a−1=4，解得：a=1∵b−9的立方根是2∴b−9=8，解得：b=17∵c是12的整数部分，而3<12∴c=3，∴a+b+c=1+17+3=21；（2）由（1）可知，12的整数部分是3，∵x是12的小数部分，∴x=12∴x−12∴x−12+28的平方根是【题型9立方根的实际应用】【例9】（23-24八年级·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为150cm2，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小A．36cm2 B．54cm2 C．96cm2【答案】C【分析】本题考查立方根的实际应用；设小康制作的正方体礼盒的边长为a，根据表面积公式先求出a=5，从而求出小康制作的正方体礼盒的体积，再根据小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61cm3【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为a，则6a2∴小康制作的正方体礼盒的体积为：a∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61cm∴小明制作的正方体礼盒的体积为125−61=64∴小明制作的正方体礼盒的边长为3∴小明制作的正方体礼盒的表面积为6×故选：D．【变式9-1】（23-24八年级·陕西渭南·期中）某金属冶炼厂将8个大小相同的正方体钢铁在炉火中熔化，重新铸成一个新的长方体钢铁，且此长方体的长、宽、高分别为4dm，9dm和【答案】原来每个正方体钢铁的棱长为3dm【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设原来每个正方体钢铁的棱长为xdm【详解】解：设原来每个正方体钢铁的棱长为xdm由题意得，8x解得x=3，答：原来每个正方体钢铁的棱长为3dm【变式9-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期中）如图，把两个半径分别是1cm和2cm的铅球熔化后做成一个更大的铅球．（注：球的体积公式是V=4(1)这个大铅球的半径是多少？（结果保留准确值）(2)对于（1）中求出的半径值，试确定其整数部分和小数部分．【答案】(1)3(2)整数部分是2，小数部分是3【分析】本题考查立方根及无理数的估算，（1）设大铅球的半径为