高考数学（文）一轮复习课时跟踪检测（五十一）古典概型（重点高中）

课时跟踪检测（五十一）古典概型(二)重点高中适用作业1．从两名男生和两名女生中任意选两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名女生、星期日安排一名男生的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)解析：选A两名男生分别记为A1，A2，两名女生分别记为B1，B2，任意选两人在星期六、星期日参加某公益活动有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1，共12种情况，而星期六安排一名女生、星期日安排一名男生有B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，共4种情况，故所求概率P＝eq\f(4,12)＝eq\2．已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(aπ,4)x))，a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f(x)在[0,4]上零点的个数不小于4的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)解析：选B依题意，函数f(x)在[0,4]上零点的个数不小于4等价于函数f(x)的周期的eq\f(7,4)倍不大于4，即eq\f(7,4)×eq\f(2π,\f(aπ,4))≤4，解得a≥eq\f(7,2)，故a＝4,5,6，而所有a的值共6个，所以函数f(x)在[0,4]上零点的个数不小于4的概率为eq\f(1,2).3．(2018·海口二模)已知集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＜0}，设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，则“a－b∈(A∪B)”的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)解析：选C由已知得A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以a∈{－2，－1,0}，b∈{－1,0,1,2}，a－b共有12个结果，即12个基本事件：－1，－2，－3，－4,0，－1，－2，－3,1,0，－1，－2，又A∪B＝(－3,3)，设事件E为“a－b∈(A∪B)”，则事件E包含9个基本事件，故事件E发生的概率P(E)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).4．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b,5能够构成等腰三角形的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,18) D.eq\f(2,3)解析：选C基本事件的总数是36，当a＝1时，b＝5符合要求，有1种情况；当a＝2时，b＝5符合要求，有1种情况；当a＝3时，b＝3,5符合要求，有2种情况；当a＝4时，b＝4,5符合要求，有2种情况；当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6均符合要求，有6种情况；当a＝6时，b＝5,6符合要求，有2种情况．所以能够构成等腰三角形的共有14种情况，故所求概率为eq\f(14,36)＝eq\f(7,18).5．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b|a∈M，b∈M))，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：选C易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).6．(2018·重庆适应性测试)从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为________．解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)7．将编号分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅编号不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其编号记为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其编号记为b，则不等式a－2b＋4<0成立的概率为________．解析：由题意知(a，b)的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个．故所求概率P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件eq\x\to(N)表示“A1和B1全被选中”，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)9．(2018·西安八校联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；(2)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45,65)内的概率．解：(1)设质量指标值落在区间[75,85]内的频率为x，则质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x,2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)由频率分布直方图及(1)得，质量指标值落在区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率分别为0.3,0.2,0.1.用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45,55)内应抽取6×eq\f(0.3,0.3＋0.2＋0.1)＝3件，记为A1，A2，A3；在区间[55,65)内应抽取6×eq\f(0.2,0.3＋0.2＋0.1)＝2件，记为B1，B2；在区间[65,75)内应抽取6×eq\f(0.1,0.3＋0.2＋0.1)＝1件，记为C.设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[45,65)内”为事件M，则所有的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共15种，事件M包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种，所以这2件产品都在区间[45,65)内的概率P(M)＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).10．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]总计频数b频率a0.25(1)求表中a，b的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．解：(1)∵由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a＝0.1，b＝3.∵成绩在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4，∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4＝8，估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为p＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共21个基本事件，设事件A＝“取出的两个样本中数字之差小于等于10”则A＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共10个基本事件，∴取出的两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率P(A)＝eq\f(10,21).B级——拔高题目稳做准做1．(2018·长沙二模)一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字0,1,2,2，现甲从中摸出1个球记下球上数字后放回，乙再从中摸出1个球，若谁摸出的球上的数字大则获胜(若数字相同则为平局)，则在甲获胜的条件下，乙摸出的球上的数字为1的概率为()A.eq\f(5,16) B.eq\f(9,16)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)解析：选D记甲摸出的球上的数字在前，乙摸出的球上的数字在后，则甲胜的情况有10,20,21,20,21，共5种，其中乙摸出的球上的数字为1的情况有2种，因此所求概率P＝eq\f(2,5).2．(2018·江南十校联考)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4)).定义映射f：M→N，则从中任取一个映射满足由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC的概率为()A.eq\f(3,32) B.eq\f(5,32)C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,4)解析：选C∵集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，∴映射f：M→N有43＝64种，∵由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4种选择，f(2)有3种选择，∴从中任取一个映射满足由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12种，∴所求概率为eq\f(12,64)＝eq\f(3,16).3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的6个面的中心分别为E，F，G，H，I，J，甲从这6个点中任选2个点连成直线l1，乙也从这6个点中选2个点连成与直线l1垂直的直线l2，则l1与l2解析：如图所示，因为正方体6个面的中心构成一个正八面体，所以甲、乙连成的两条直线互相垂直的情况有：IJ⊥EF，IJ⊥GH，IJ⊥GE，IJ⊥GF，IJ⊥EH，IJ⊥FH，EF⊥GH，EF⊥GI，EF⊥GJ，EF⊥HI，EF⊥HJ，GH⊥EI，GH⊥EJ，GH⊥FI，GH⊥FJ，共15组，其中异面的有：IJ⊥GE，IJ⊥GF，IJ⊥EH，IJ⊥FH，EF⊥GI，EF⊥GJ，EF⊥HI，EF⊥HJ，GH⊥EI，GH⊥EJ，GH⊥FI，GH⊥FJ，共12组，故所得的两条直线异面的概率P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)4．我们把形如“3241”形式的数称为“锯齿数”(即大小间隔的数)，由1,2,3,4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为________．解析：通过画树状图可知，由1,2,3,4四个数组成的没有重复数字的四位数共有24个，四位数为“锯齿数”的有1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231，共10个，所以四位数为“锯齿数”的概率为eq\f(10,24)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)5．(2018·合肥质检)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？解：用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．故所求概率P(A)＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个．则P(B)＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5)，所以P(C)＝1－P(B)＝eq\f(3,5).因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平．6．(2018·湖南长郡中学月考)从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm～195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)、第二组[160,165)、第三组[165,170)、……、第八组[