二次根式知识点总结和习题

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.

二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.

二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，及绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则00；若，则00；若，则00。知识点四：二次根式（）的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：及的异同点1、不同点：及表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但及都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，

，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移及内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，则，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数及的形式，则先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．新人教九级（上）第21章《二次根式》同步学习检测（一）（整章检测）（时间90分钟满分100分）一、选择题（共12分）1．在根式、、、、中，最简二次根式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．在二次根式，-，，及中，及是同类根式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．在下列各式中，等号不成立的是（）A．＝-B．2x＝(x＞0)C．＝aD．(2)÷(+)＝+4．在下列各式的化简中，化简正确的有（）①＝a②5＝4x③6a＝④+＝10A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知二条线段的长分别为、，则能及它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A．1B．C．5D．1或6．已知a＜0，化简：的结果是（）A．1B．-1C．0D．2a二、填空题（每题2分，共20分）7．的绝对值是，它的倒数8．当时，是二次根式．9．当时，有意义，若有意义，则。10．当m>n时，＝，当时，11．化简，。12．计算：．13．若最简二次根式及－是同类二次根式，则。14．把根式根号外的a移到根号内，得。15．二次根式及的及是一个二次根式，则正整数的最小值为；其及为。16．观察下列各式：；；；……则依次第四个式子是；用的等式表达你所观察得到的规律应是。三、解答题（共68分）17．（5分）计算：18．（5分）计算：19．（5分）解方程：20．（5分）解不等式：21．（5分）已知：，求的值．22．（5分）化简并求值其中23．（5分）已知实数a满足|2003－\R(－2004)，则a－20032的值是多少？24．（5分）已知正数及，有下列命题：（1）若，则≤1；（2）若，则≤；（3）若，则≤3；根据以上三个命题所提供的规律猜想：若，则≤。25．（6分）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。已知为实数，化简：解：原式＝26．（6分）如图，中，，，求斜边上的高．27．（8分）观察下列等式：①；②；③；……回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：28．（8分）水库大坝截面的迎水坡坡比（及的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高30米，坝顶宽10米，求大坝的截面的周长。AACBEDF新人教九级（上）第21章《二次根式》同步学习检测（二）一、选择题1、如果\R(,\F(－35))是二次根式，则x的取值范围是（）A、x≠－5B、x>－5C、x<－5D、x≤－52、等式\R(2－1)=\R(1)·\R(－1)成立的条件是（）A、x>1B、x<－1C、x≥1D、x≤－13、已知\F(1,\R(,5)－2)\F(1,\R(,5)+2)，则\R(22+7)的值为（）A、3B、4C、5D、64、下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是（）A、\R(,2－x)B、\R(2)C、\R(－2)D、\R(,\F(1－2))5、在下列根式中，不是最简二次根式的是（）A、\R(2+1)B、\R(,21)C、\F(\R(,2b),4)D、\R(,0.1y)6、下面的等式总能成立的是（）A、\R(2)B、a\R(2)2C、\R()·\R()=\R()D、\R()=\R()·\R()7、m为实数，则\R(2+45)的值一定是（）A、整数B、正整数C、正数D、负数8、已知>0,化简二次根式x\R(,－\F(2))的正确结果为（）A、\R()B、\R(,－y)C、－\R()D、－\R(,－y)9、若代数式\R(,(2－a)2)+\R(,(a－4)2)的值是常数2，则a的取值范围是（）A、a≥4B、a≤2C、2≤a≤4D、2或410、下列根式不能及\R(,48)合并的是（）A、\R(,0.12)B、\R(,18)C、\R(,1\F(1,3))D、－\R(,75)11、如果最简根式\R(,3a－8)及\R(,17－2a)是同类二次根式，则使\R(,4a－2x)有意义的x的范围是（）A、x≤10B、x≥10C、x<10D、x>1012、若实数x、y满足x22－4x－25=0,则\F(\R(),\R(,3y－2\R()))的值是（）A、1B、\F(3,2)+\R(,2)C、3+2\R(,2)D、3－2\R(,2)二、填空题1、要使\F(\R(－1),\R(,3－x))有意义，则x的取值范围是。2、若\R(4)+\R(2b－2)=0，则。3、若\R(,1－a2)及\R(2－1)都是二次根式，则\R(,1－a2)+\R(2－1)=。4、若\R(,1－2x)+\R(,2x－1)+\R(,(x－1)2)，则()2003=。5、若\R(,2)x>1+\R(,3)x，化简\R(,(2)2)－\R(3,(3)3)=。6、若\R(,(1)2)=\R(,(a－1)2)，则.7、比较大小：⑴3\R(,5)2\R(,6)⑵\R(,11)－\R(,10)\R(,14)－\R(,13)8、若最简根式\R(2－3)及\R(,53)是同类二次根式，则.9、已知\R(,2\F(2,3))=2\R(,\F(2,3)),\R(,3\F(3,8))=3\R(,\F(3,8)),\R(,4\F(4,15))=4\R(,\F(4,15)),…请你用含n的式子将其中蕴涵的规律表示出来：.10、若\R(,5)的整数部分是a，小数部分是b，则a－\F(1)=。11、已知\R()=\F(1,\R())－\R()，则\R(,42)=。12、已知\R(,3－\R(,5))－\R(,3+\R(,5))，则化简a得.三、计算及化简1、(\R(,3)+\R(,2))－1+\R(,(－2)2)+\R(3,－8)2、\F(1,\R(,3)+1)+\F(1,\R(,5)－\R(,3))+\F(1,\R(,5)+3)3、(1+\R(,2)－\R(,3))(1－\R(,2)+\R(,3))+2\R(,6)4、\R(,9a)+\F(a,3)\R(,\F(1))+\F(1,2a)\R(3)四、先化简再求值1、已知34，求[\F(4,(\R()+\R())(\R()－\R()))+\F(\R()+\R(),\R()(\R()－\R()))]÷\F(\R()－\R(),\R())的值。2、化简：\F(2+\R(2－4)2－\R(2－4))－\F(2－\R(2－4)2＋\R(2－4))取自己喜爱的a的值计算。3、当\F(\R(,3)+\R(,2),\R(,3)－\R(,2))，\F(\R(,3)－\R(,2),\R(,3)＋\R(,2))时，求\R(2－32)的值。4、当\F(2,1－\R(,3))时，求\F(a2－1－1)－\F(\R(2＋21)2＋a)－\F(1)的值。五、解答下列各题1、解方程：\R(,3)(x－1)=\R(,2)(1)2、解方程组：3、已知直角三角形两直角边长分别为\F(1,2\R(,3)－\R(,11))\F(1,2\R(,3)＋\R(,11)),求斜边的长。【参考答案】同步学习检测（一）一、选择题1．C2．B3．C4．B5．D6．B二、填空题7．8．＞9．≥，≤且10．，＜011．3，4512．13．14．15．61016.，三、解答题17．118．19．20．21．1822．23．200924．25．原式＝＝26．27．（1）；（2）928．米．同步学习检测（二）一、选择题1、C2、C3、C4、C5、D6、C7、C8、D9、C10、B11、A12、C二、填空题1、1≤x<32、－123、04、15、－2x－56、07、>>8、69、\R(\F(2－1))\R(,\F(2－1))(n≥2且n为整数)10、－\R(,5)11、\F(1)－a12、－\R(,2)三、计算及化