辽宁省葫芦岛一中高三下学期周考（三）数学（文）试卷

葫芦岛市一高中20172018学年度下学期高三周考（三）数学（文科）试题考试时间：120分钟；一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，)1．已知集合A＝{y|y＝eq\r(4x－x2)}，B＝{x||x|≤2}，则A∪B＝()A．[－2,2]B．[－2,4]C．[0,2]D．[0,4]2.“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3.若存在正数x使2x(xa)<1成立，则a的取值范围是()A.(∞,+∞)B.(2,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)4．如果圆x2＋y2＝n2至少覆盖曲线f(x)＝eq\r(3)sineq\f(πx,n)(x∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为()A．1B．2C．3 D．45．运行如图所示的程序框图，则输出的S值为()A.eq\f(29－1,29)B.eq\f(29＋1,29)C.eq\f(210－1,210)D.eq\f(210,210＋1)6．如图，在矩形ABCD中，M是BC的中点，N是CD的中点，若eq\o(AC,\s\up16(→))＝λeq\o(AM,\s\up16(→))＋μeq\o(BN,\s\up16(→))，则λ＋μ＝()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(6,5) D.eq\f(8,5)7．已知a=2eq\s\up15(－eq\f(1,3))，b＝(2log23)eq\s\up15(－eq\f(1,2))，c＝cos50°·cos10°＋cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是()A．a>c>bB．b>a>cC．a>b>c D．c>b>a8．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－3y＋4≥0))中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝()A．2eq\r(2)B．4C．3eq\r(2) D．69．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．24＋6πB．12πC．24＋12π D．16π10．已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝2eq\r(7)，PB＝BC＝2eq\r(3)，PA⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．4eq\r(2) D．4eq\r(3)11．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若eq\f(S12－S6,S6)－7·eq\f(S6－S3,S3)－8＝0，且正整数m，n满足a1ama2n＝2aeq\o\al(3,5)，则eq\f(1,m)＋eq\f(8,n)的最小值是()A.eq\f(15,7)B.eq\f(9,5)C.eq\f(5,3) D.eq\f(7,5)12．设过曲线f(x)＝－ex－x＋3a(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝(x－1)a＋2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－1,2]D．[－2,1]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．14．若函数f(x)＝4sin5ax－4eq\r(3)cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq\f(π,3)，则实数a的值为________．15.已知数列{an}，{bn}满足a1＝eq\f(1,2)，an＋bn＝1，bn＋1＝eq\f(bn,1－a\o\al(2,n))，n∈N*，则b2017＝________.16．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x＋1|，x<1，,x2－4x＋2，x≥1，))则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为______个．三、解答题(共6小题，共70分，写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离．123418.某儿童乐园推出一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图的转盘两次，每次转动后待转盘停止转动时记录指针所指区域中的数，设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下：（1）若xy≤1234求小亮获得玩具的概率。请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由。(本小题满分12分)在如图所示的三棱锥D－ABC中，AD⊥DC，AB＝4，AD＝CD＝2，∠BAC＝45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC上，且BE＝2ED，BC＝2BF.(1)求证：BC⊥AD；(2)求平面AEF将三棱锥D－ABC分成的四棱锥A－EFCD与三棱锥E－ABF的体积之比．20.已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋ax2－2x，a∈R，a≠0.(1)若函数f(x)的图象在x＝1处的切线与x轴平行，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤ax在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上恒成立，求a的取值范围．四、请在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。22.选修4一4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线的方程是，直线的参数方程为（为参数，），设，直线与曲线交于两点．（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围．23.选修4一5：不等式选讲已知函数，．（1）解关于的不等式（）；（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围．

高三周考三数学（文科）答案答案：112AADBADCCAACC13162或3；±eq\f(3,5)；eq\f(2017,2018)；2个17.解(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.58＝x－12.(2分)在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2PA·AB)＝eq\f(x2＋202－x－122,2x·20)＝eq\f(3x＋32,5x)，同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝eq\f(PA2＋AC2－PC2,2PA·AC)＝eq\f(x2＋502－x2,2x·50)＝eq\f(25,x).(4分)∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴eq\f(3x＋32,5x)＝eq\f(25,x)，解得x＝31.(6分)(2)作PD⊥AC于点D，在△ADP中，由cos∠PAD＝eq\f(25,31)，得sin∠PAD＝eq\r(1－cos2∠PAD)＝eq\f(4\r(21),31)，(9分)∴PD＝PAsin∠PAD＝31eq\f(4\r(21),31)＝4eq\r(21).故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4eq\r(21)千米．(12分)18.(1)eq\f(5,16)(2)eq\f(3,8)>eq\f(5,16)小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率19解(1)证明：∵AD＝CD＝2，AD⊥DC，∴△ACD是等腰直角三角形，AC＝2eq\r(2)，如图，取AC的中点O，连接OD，则OD⊥AC.(2分)∵平面ACD⊥平面ABC，∴OD⊥平面ABC，则OD⊥BC.∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BC＝2eq\r(2)，(4分)即△ACB是等腰直角三角形，且BC⊥AC.∵OD∩AC＝O，∴BC⊥平面ACD.∵AD⊂平面ACD，∴BC⊥AD.(6分)(2)解法一：由(1)得OD＝eq\r(2)，过E作EH⊥平面ABC交OB于点H，则eq\f(EH,OD)＝eq\f(BE,BD).∵BE＝2ED，∴eq\f(BE,BD)＝eq\f(2,3)，则eq\f(EH,OD)＝eq\f(BE,BD)＝eq\f(2,3)，则EH＝eq\f(2,3)OD＝eq\f(2\r(2),3).(8分)∵BC＝2BF，∴F是BC的中点，则BF＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)2eq\r(2)＝eq\r(2)，则△ABF的面积S＝eq\f(1,2)BFAC＝eq\f(1,2)eq\r(2)2eq\r(2)＝2，则三棱锥D－ABC的体积V＝eq\f(1,3)eq\f(1,2)ACBCOD＝eq\f(1,3)eq\f(1,2)2eq\r(2)2eq\r(2)eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3)，三棱锥E－ABF的体积V1＝eq\f(1,3)2eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(4\r(2),9)，则四棱锥A－EFCD的体积V2＝eq\f(4\r(2),3)－eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(12\r(2),9)－eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(8\r(2),9)，则平面AEF将三棱锥D－ABC分成的四棱锥A－EFCD与三棱锥E－ABF的体积之比为eq\f(8\r(2),9)∶eq\f(4\r(2),9)＝2∶1.(12分)解法二：∵VE－ABF＝VA－BEF，∴VA－EFCD∶VE－ABF＝VA－EFCD∶VA－BEF＝S四边形EFCD∶S△BEF.(8分)又S△BEF＝eq\f(1,2)BEBFsin∠EBF，S△BCD＝eq\f(1,2)BCBDsin∠CBD＝eq\f(1,2)2BFeq\f(3,2)BEsin∠EBF，∴S四边形EFCE＝S△BCD－S△BEF＝BEBFsin∠EBF，∴S四边形EFCD∶S△BEF＝2∶1,(11分)即平面AEF将三棱锥D－ABC分成的四棱锥A－EFCD与三棱锥E－ABF的体积之比为2∶1.(12分)2021解(1)函数f(x)＝lnx＋ax2－2x，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax－2.(2分)由已知f′(1)＝1＋2a－2＝0，解得a＝eq\f(1,2)，于是f′(x)＝eq\f(x2－2x＋1,x)≥0恒成立，从而f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(5分)(2)f(x)≤ax转化为lnx＋ax2－2x－ax≤0，设g(x)＝lnx＋ax2－2x－ax，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，则g′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax－2－a＝eq\f(ax－12x－1,x).(7分)①当a<0时，g(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，因而geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝lneq\f(1,2)＋eq\f(1,4)a－1－eq\f(1,2)a≤0，故－4－4ln2≤a<0；(8分)②当0<a<2时，eq\f(1,a)>eq\f(1,2)，g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,a)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递增，因而g(x)∈e