高考总复习理数（北师大版）课件第11章第6节离散型随机变量的均值与方差

概率、随机变量及其分布列第十一章第六节离散型随机变量的均值与方差考点高考试题考查内容核心素养离散型随机变量的期望与方差2017·全国卷Ⅰ·T19·12分正态分布的期望公式、3σ原则数学运算2017·全国卷Ⅲ·T18·12分由频率分布表求出概率，列出分布列求出期望数学运算2016·全国卷Ⅰ·T19·12分频率代替概率以及利用互斥事件独立事件的概率公式求出概率，列出分布列求出期望数学运算2016·全国卷Ⅱ·T18·12分根据条件概率公式求解概率，写出分布列求出期望数学运算命题分析本节是高考的热点，一般以解答题形式出现，以实际问题为背景，考查离散型随机变量的期望与方差的实际应用，解题时要熟练应用公式，题目难度不大.02课堂·考点突破03课后·高效演练栏目导航01课前·回顾教材01课前·回顾教材1．离散型随机变量的均值与方差设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概率为pi(i＝1,2，…，r)，即X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)．(1)均值称EX＝________________________为随机变量X的均值或______________，均值EX刻画的是X取值的“_________________”．a1p1＋a2p2＋…＋arpr

数学期望中心位置E(X－EX)2集中分散2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝_______________.(2)D(aX＋b)＝________.3．两点分布与二项分布的期望与方差(1)若X服从两点分布，则EX＝_____，DX＝____________.(2)若X～B(n，p)，则EX＝________，DX＝_____________.aEX＋ba2DXpp(1－p)np

np(1－p)提醒：求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数学期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(

)(2)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量．(

)(3)随机变量的方差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差越小，则偏离均值的平均程度越小．(

)(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．(

)(5)在正态密度曲线中，当μ一定时，σ越大，图象越瘦高；σ越小，图象越低矮．(

)(6)正态密度曲线与x轴围成的面积为1.(

)答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√答案：A4．设随机变量X～B(8，p)，且DX＝1.28，则概率p的值是(

)A．0.2

B．0.8C．0.2或0.8

D．0.16C

解析：由DX＝8p(1－p)＝1.28，∴p＝0.2或p＝0.8.[析考情]离散型随机变量的期望与方差是近几年高考的主要的概率题型，一般是计算量较大，特别是分布列一定不能出错．02课堂·考点突破离散型随机变量的均值与方差[提能力]【典例】

(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n＜300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．[悟技法]求离散型随机变量的均值和方差的两个步骤(1)定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；(2)定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．[刷好题]1．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望EX及方差DX.解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.[析考情]利用离散型随机变量的均值与方差，对现实生活中的问题进行分析、作出决策是高考考查离散型随机变量分布列、均值与方差的一个重要考向，常与古典概型、二项分布、相互独立事件概率等知识综合，以解答题的形式出现．均值与方差的应用[提能力]【典例】

(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；[悟技法]利用均值、方差进行决策的2个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．[刷好题](2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)二项分布的均值与方差[明技法]与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析