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文档简介
【基础知识巩固】一、二次根式的概念形如()的式子叫做二次根式。注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。二、取值范围1.
二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。2.
二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。三、二次根式()的非负性()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,及绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则00;若,则00;若,则00。四、二次根式()的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,.五、二次根式的性质:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数,即;2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。六、及的异同点1、不同点:及表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但及都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,
,而2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件(1)被开方数不含分母,即被开方的因式必须是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.2、乘法法则:=·(a≥0,b≥0);积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则:(b≥0,a>0);商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则:系数相加减,字母的指数不变.5、二次根式的加减(1)二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并。(2)步骤:如果有括号,根据去括号的法则去掉括号;把不是最简二次根式的二次根式化简;合并被开方数相同的二次根式。6、混合运算:及有理数的运算一致,先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号先算括号里面。有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.二次根式有意义的条件:例1:求下列各式有意义的所有x的取值范围。 解:(1)要使有意义,必须,由得,当时,式子在实数范围内有意义。 (2)要使有意义,必须的范围内。当时,式子在实数范围内有意义。小练习:1、(1)当x是多少时,在实数范围内有意义?(2)当x是多少时,+在实数范围内有意义?②(3)当x是多少时,2在实数范围内有意义?(4)当时,有意义。2.使式子有意义的未知数x有()个.A.0B.1C.2D.无数3.已知5,求的值.4.若+有意义,则.5.若有意义,则的取值范围是。最简二次根式例2:把下列各根式化为最简二次根式:解:同类根式:例3:判断下列各组根式是否是同类根式: 分析:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,则这几个二次根式就叫做同类二次根式,所以判断几个二次根式是否为同类二次根式,首先要将其化为最简二次根式。 解:分母有理化:例4:把下列各式的分母有理化: 分析:把分母中的根号化去,叫做分母有理化,两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们说,这两个代数式互为有理化因子,如及,均为有理化因式。 解:求值:例5:计算: 分析:迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容,必须掌握,要特别注意运算顺序及有意识的使用运算律,寻求合理的运算步骤,得到正确的运算结果。 解:(1)原式化简:例6:化简: 分析:应注意(1)式,(2),所以,可看作可利用乘法公式来进行化简,使运算变得简单。 解: 例7:化简练习: 解:化简求值: 例8:已知: 求:的值。 分析:如果把a,b的值直接代入计算的计算都较为繁琐,应另辟蹊径,考虑到互为有理化因子可计算,然后将求值式子化为的形式。 解: 小结:显然上面的解法非常简捷,在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径,提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用,大家应有意识的总结及积累。例9:在实数范围内因式分解:[来源:学*科*网Z*X*X*K]1、2x2-4;【提示】先提取2,再用平方差公式.【答案】2(x+)(x-)2、x4-2x2-3.【提示】先将x2看成整体,利用x2++q=(x+a)(x+b)其中a+b=p,=q分解.再用平方差公式分解x2-3.【答案】(x2+1)(x+)(x-).例10、综合应用:如图所示的△中,∠90°,点P从点B开始沿边以1厘米/秒的速度向点A移动;同时,点Q也从点B开始沿边以2厘米/秒的速度向点C移动.问:几秒后△的面积为35平方厘米?的距离是多少厘米?(结果用最简二次根式表示)一、选择题:在以下所给出的四个选择支中,只有一个是正确的。1、成立的条件是: A. B. C. D.2、把化成最简二次根式,结果为: A. B. C. D.3、下列根式中,最简二次根式为: A. B. C. D.4、已知t<1,化简得: A. B. C.2 D.05、下列各式中,正确的是: A. B. C. D.6、下列命题中假命题是: A.设 B.设 C.设 D.设7、及是同类根式的是: A. B. C. D.8、下列各式中正确的是: A. B. C. D.三、1、化简 2、已知: 求:【答案】:一、选择题: 1、B 2、C 3、B 4、D 5、B 6、C 7、D 8、D 9、C 10、B二、计算:三、二次根式测试题(一)1.下列式子一定是二次根式的是()A.B.C.D.2.若,则()A.b>3B.b<3C.b≥3D.b≤33.若有意义,则m能取的最小整数值是()A.0B.1C.2D.34.若x<0,则的结果是()A.0B.—2C.0或—2D.25.下列二次根式中属于最简二次根式的是()A.B.C.D.6.如果,则()A.x≥0B.x≥6C.0≤x≤6D.x为一切实数7.小明的作业本上有以下四题:①;②;③;④。做错的题是()A.①B.②C.③D.④8.化简的结果为()A.B.C.D.9.若最简二次根式的被开方数相同,则a的值为()A.B.C.1D.—110.化简得()A.—2B.C.2D.11.①;②。12.二次根式有意义的条件是。13.若m<0,则=。14.成立的条件是。15.比较大小:。16.,。17.计算=。18.的关系是。19.若,则的值为。20.化简的结果是。21.求使下列各式有意义的字母的取值范围:(1)(2)(3)(4)22.化简:(1)(2)(3)(4)23.计算:(1)(2)(3)(4)(5)(6)24.若x,y是实数,且,求的值。二次根式(一)1.C2.D3.B4.D5.A6.B7.D8.C9.C10.A11.①0.3②12.x≥0且x≠913.—m
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