二次根式知识点总结及习题带答案

【基础知识巩固】一、二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。二、取值范围1.

二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.

二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。三、二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，及绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则00；若，则00；若，则00。四、二次根式（）的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。六、及的异同点1、不同点：及表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但及都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，

，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.2、乘法法则：=·（a≥0，b≥0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则：（b≥0，a>0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.5、二次根式的加减（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。（2）步骤：如果有括号，根据去括号的法则去掉括号；把不是最简二次根式的二次根式化简；合并被开方数相同的二次根式。6、混合运算：及有理数的运算一致，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面。有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。 解：（1）要使有意义，必须，由得，当时，式子在实数范围内有意义。 （2）要使有意义，必须的范围内。当时，式子在实数范围内有意义。小练习：1、（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？（2）当x是多少时，+在实数范围内有意义？②（3）当x是多少时，2在实数范围内有意义？（4）当时，有意义。2.使式子有意义的未知数x有（）个．A．0B．1C．2D．无数3．已知5，求的值．4．若+有意义，则．5.若有意义，则的取值范围是。最简二次根式例2：把下列各根式化为最简二次根式：解：同类根式：例3：判断下列各组根式是否是同类根式： 分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。 解：分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化： 分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如及，均为有理化因式。 解：求值：例5：计算： 分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序及有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。 解：（1）原式化简：例6：化简： 分析：应注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。 解： 例7：化简练习： 解：化简求值： 例8：已知： 求：的值。 分析：如果把a，b的值直接代入计算的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到互为有理化因子可计算，然后将求值式子化为的形式。 解： 小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结及积累。例9：在实数范围内因式分解：[来源:学*科*网Z*X*X*K]1、2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】2（x＋）（x－）2、x4－2x2－3．【提示】先将x2看成整体，利用x2＋＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋）（x－）．例10、综合应用：如图所示的△中，∠90°，点P从点B开始沿边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△的面积为35平方厘米？的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。1、成立的条件是： A． B． C． D．2、把化成最简二次根式，结果为： A． B． C． D．3、下列根式中，最简二次根式为： A． B． C． D．4、已知t<1，化简得： A． B． C．2 D．05、下列各式中，正确的是： A． B． C． D．6、下列命题中假命题是： A．设 B．设 C．设 D．设7、及是同类根式的是： A． B． C． D．8、下列各式中正确的是： A． B． C． D．三、1、化简 2、已知： 求：【答案】：一、选择题： 1、B 2、C 3、B 4、D 5、B 6、C 7、D 8、D 9、C 10、B二、计算：三、二次根式测试题（一）1．下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．若，则（）A．b>3B．b<3C．b≥3D．b≤33．若有意义，则m能取的最小整数值是（）A．0B．1C．2D．34．若x<0，则的结果是（）A．0B．—2C．0或—2D．25．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．6．如果，则（）A．x≥0B．x≥6C．0≤x≤6D．x为一切实数7．小明的作业本上有以下四题：①；②；③；④。做错的题是（）A．①B．②C．③D．④8．化简的结果为（）A．B．C．D．9．若最简二次根式的被开方数相同，则a的值为（）A．B．C．1D．—110．化简得（）A．—2B．C．2D．11．①；②。12．二次根式有意义的条件是。13．若m<0，则=。14．成立的条件是。15．比较大小：。16．，。17．计算=。18．的关系是。19．若，则的值为。20．化简的结果是。21．求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）（2）（3）（4）22．化简：（1）（2）（3）（4）23．计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）24．若x，y是实数，且，求的值。二次根式（一）1．C2．D3．B4．D5．A6．B7．D8．C9．C10．A11．①0.3②12．x≥0且x≠913．—m