直线与圆的位置关系（第1课时） 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择必修

第二章

直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系（第1课时）教学目标学习目标数学素养1.掌握直线与圆的三种位置关系．1.直观想象素养和逻辑推理素养.2.能够利用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系.2.逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养.温故知新1.圆的标准方程

2.圆的一般方程圆心在原点的圆的标准方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2–4F>0）

知新引入

在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.

前面我们学习了直线的方程、圆的方程，用直线的方程研究了两条直线的位置关系.

本节课我们类比用直线的方程研究两直线位置关系的方法，运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系.知新探究

我们知道，直线和圆相交直线和圆相切

直线和圆相离

2个公共点

1个公共点没有公共点d<rd=rd>r新知探究

根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？

利用前面回顾的初中知识，类比用方程研究两条直线位置关系的方法.

1.交点个数；2.方程组解的个数；3.圆心到直线的距离与半径的关系知新探究【例1】已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.解：方法1：联立直线与圆的方程，得

∴直线l与圆C相交，有两个公共点.把x1=2，x2=1分别代入方程①，得y1=0，y2=3.消去y，得x2－3x＋2=0，解得x1=2，x2=1,分析：思路1:将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.∴直线l与圆C的两个交点是A(2，0)，B(1，3).

代数法联立方程组消元得一元二次方程求根，判断直线与圆的位置关系知新探究【例1】已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.解：方法2：圆C的方程x2＋y2－2y－4=0可化为x2＋(y－1)2=5，

∴直线l与圆C相交，有两个公共点.

分析：思路2:依据圆心到直线的距高与半径的关系，判断直线与圆的位置关系：若相交，则可利用勾股定理求得弦长.几何法确定圆心和半径计算圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小.知新探究判断直线与圆的位置关系方法1：通过上述解法我们发现

进而得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系，若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.代数法代数法的基本步骤：联立方程组消元(消x或y)计算△(或直接求根)判断符号(或根的个数)得出结论知新探究判断直线与圆的位置关系方法2

根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系.若相交，则可利用勾股定理求得弦长.几何法几何法的基本步骤：求圆心坐标和半径r计算弦心距d比较d，r得出结论．

适当的利用已知图形的性质，有助于简化计算.

与初中的方法比较，你认为用方程判定直线与圆的位置关系有什么优点？例1中两种解法的差异是什么？点睛：几何法更为简洁和常用.初试身手

解：

初试身手

解：

知新探究【例2】过点P(2，1)作圆O：x2＋y2=1的切线l，求切线l的方程.解：方法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1=k(x－2)，即kx－y＋1－2k=0.

由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1，得

分析：如图，容易知道，点P(2，1)位于圆O：x2＋y2=1外，经过圆外一点有两条直线与圆相切，我们设切线方程为y－1=k(x－2)，k为切线l的斜率，由直线与圆相切求出k的值.

因此，所求切线l的方程为y=1，或4x－3y－5=0.知新探究【例2】过点P(2，1)作圆O：x2＋y2=1的切线l，求切线l的方程.解：方法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1=k(x－2).

消元，得(k2＋1)x2＋(2k－4k2)x＋4k2－4k=0

①因此，所求切线l的方程为y=1，或4x－3y－5=0.因为方程①只有一个解，所以Δ=4k2(1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)=0，

初试身手

解：初试身手

化简整理，得2x2+2(m-5)x+m2-6m+5=0,解：

初试身手解：∵圆C:x2+y2=25的圆心为(0,0),半径为5,

则直线l的方程2x-y-5=0或x-2y+5=0．

设直线l的方程为y-5=k(x-5)，即kx-y-5k+5=0,

课堂小结

位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方