8.5.3平面与平面平行

第八章立体几何初步8.5空间直线、平面的平行8.5.3平面与平面平行课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)设a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在一个平面γ,满足α∥γ,β∥γD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α答案CD解析对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交.若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β.所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;对于选项B,存在一条直线a,a⊂α,a∥β,则α∥β或α与β相交.若α∥β,则存在一条直线a,a⊂α,a∥β.所以选项B的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;对于选项C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的,故选项C的内容是α∥β的一个充分条件;对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面γ中,成为相交直线,由面面平行的判定定理可知γ∥α,γ∥β,则α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.2.在长方体ABCDA1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是()A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形答案C解析如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,得BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.3.如图,在三棱台A1B1C1ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是()A.平面 B.直线C.线段,但只含1个端点 D.圆答案C解析∵平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,∴DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略),则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).4.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有()A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1答案D解析易知GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误;易知EF∥A1B,与选项A类似可判断选项B错误;因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,选项C错误;因为EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1.5.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是()A.l∥β,l⊂α⇒α∥βB.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥βC.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥βD.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β答案D解析如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC,又EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.6.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是.

答案①②③④解析把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.7.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'B答案4解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',则∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',S△8.(2021吉林长春第二十九中学高一期中)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.(1)求证:GH∥平面ABC;(2)求证:平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)在三棱柱ABCA1B1C1中,因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH∥B1C1.又因为BC∥B1C1,所以GH∥BC.因为GH⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以GH∥平面ABC.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.又因为在三棱柱ABCA1B1C1中,G为A1B1的中点,所以A1G∥EB,A1G=EB,即四边形A1EBG为平行四边形.所以A1E∥BG.因为EF∥BC,EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因为A1E∥BG,A1E⊄平面BCHG,BG⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又因为EF,A1E⊂平面EFA1,且EF∩A1E=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.9.已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.证明在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,∴MQ∥AD.同理NQ∥BP.而BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,∴MQ∥BC,而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下.∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.∴D1B∥面PAO,QB∥面PAO.又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.关键能力提升练11.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为()A.22 B.23C.26 D.4答案C解析由题意作的截面如图所示,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,D1C1的中点.又因为正方体的棱长为2,所以A1E=CE=CF=FA1=5,所以四边形A1ECF为菱形.又因为A1C=23,EF=22,故截面面积为26.12.(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列命题中,正确的有()A.BM∥平面DEB.CN∥平面AFC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF答案ABCD解析展开图可以折成如图①所示的正方体.①②在正方体中,连接AN,如图②所示.∵AB∥MN,且AB=MN,∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,∴AB正确;③如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以CD正确.13.如图,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则()A.BF∥平面ACGDB.CF∥平面ABEDC.BC∥FGD.平面ABED∥平面CGF答案A解析如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,∴DE∥FM,且DE=FM.∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM.又AB=DE,∴AB=FM,∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.又BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD,∴BF∥平面ACGD.故选A.14.已知a和b是异面直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,a∥β,b∥α,则平面α与β的位置关系是.

答案平行解析在b上任取一点O,则直线a与点O确定一个平面γ.设γ∩β=l,则l⊂β.∵a∥β,∴a∥l,∴l∥α.又b∥α,∴根据面面平行的判定定理可得α∥β.15.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1棱长为3,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=1,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=.

答案22解析因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩平面PQNM=PQ,平面A1B1C1D1∩平面PQNM=MN,所以MN∥PQ,又因为MN∥AC,所以PQ∥AC.又因为AP=1,所以PDAD所以PQ=23AC=23×32=216.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O,连接GO,OB,易证OG∥B1C1,且OG=12B1C1因为BE∥B1C1,且BE=12B1C1,所以OG∥BE,且OG=BE,即四边形BEGO为平行四边形.所以OB∥GE因为OB⊂平面BDD1B1,GE⊄平面BDD1B1,所以GE∥平面BB1D1D.(2)由正方体的性质,易知B1D1∥BD,且易证BF∥D1H.因为B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,所以B1D1∥平面BDF.因为HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,所以HD1∥平面BDF.又B1D1∩HD1=D1,所以平面BDF∥平面B1D1H.学科素养创新练17.如图,在四棱锥PABCD中,AD∥BC,AD=2BC,F为AD的中点,E是线段PD上的一点.(1)若E为PD的中点,求证:平面CEF∥平面PAB;(2)当点E在什么位置时,PB∥平面ACE?(1)证明因为E,F分别为PD,AD的中点,所以EF∥PA.因为EF⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.又因为AD=2BC,F为AD