必修二课件第一章立体几何初步1.2.4第3课时

第3课时两平面垂直的性质第1章

平面与平面的位置关系学习目标1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单的问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点平面与平面垂直的性质定理思考

黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画的直线必与地面垂直.答案梳理文字语言

如果两个平面互相垂直，那么在

垂直于它

们

的直线

于另一个平面符号语言α⊥β，α∩β＝l，

，

⇒a⊥β图形语言一个平面内交线垂直a⊂αa⊥l题型探究例1

如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.求证：(1)BG⊥平面PAD；类型一平面与平面垂直的性质定理证明证明由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.证明由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.证明当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理推导出线面垂直的条件，进而得到线线垂直的关系.因此见到面面垂直条件时要找准两平面的交线，有目的地在平面内找交线的垂线.反思与感悟跟踪训练1

如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明证明如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.例2

如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点.将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D—ABCE.类型二立体几何中的折叠问题证明求证：BE⊥平面ADE.证明在△ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝12＋12＝2，在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2＝12＋12＝2，故在△AEB中，∵AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE.又平面ADE⊥平面ABCE，且平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面ADE.(1)抓住折叠前后的不变量与变化量，同在半平面内的两个元素之间的关系保持不变，而位于两个半平面内的两个元素之间关系改变.(2)特别要有意识地注意折叠前后不变的垂直性和平行性.反思与感悟跟踪训练2

如图①所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠C＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图②所示.证明求证：平面ABD⊥平面BCD.证明∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.由已知得二面角B—AC—D是直二面角，过B作BO⊥AC，垂足为O，由AB＝BC知，O为AC的中点，作OE⊥AC交AD于E，则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.而OE∩AC＝O，∴BO⊥平面ACD.∵CD⊂平面ACD，∴BO⊥CD.又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥CD.由已知∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.证明因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.例3

如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)PA⊥底面ABCD；类型三线线、线面、面面垂直的综合应用证明(2)BE∥平面PAD；证明证明因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.证明因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.证明(1)线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化：反思与感悟(2)在运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.跟踪训练3

如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点.求证：(1)EF⊥CD；证明证明连结AC、AF、BF.∵SA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SA⊥AC.又∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB.而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA.又SA∩AB＝A.∴CB⊥平面SAB.∵SB⊂平面SAB，∴CB⊥SB，∴△AFB为等腰三角形，∵E为AB的中点，∴EF⊥AB.又CD∥AB，∴EF⊥CD.(2)平面SCD⊥平面SCE.证明证明由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，∴SE＝EC，即△SEC是等腰三角形，∴EF⊥SC.又∵EF⊥CD，且SC∩CD＝C，∴EF⊥平面SCD.又EF⊂平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.当堂训练1.给出下列四个说法：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中正确的是________.(填序号)答案2341②④5解析解析①中若两直线平行，则结论错误；②正确；在空间中③错误；④正确.234152.已知平面α⊥平面β，直线a∥α，则直线a与β的位置关系可能是________.(填序号)①a⊥β；②a∥β；③a与β相交.答案23415①②③3.若将边长为2的正方形ABCD沿AC折叠成直二面角，则B，D两点间的距离为______.答案2341254.如图，在三棱锥P—ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝___.2341答案解析5解析∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，5.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝

a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.2341证明5

求证：(1)AB⊥平面BCD；23415∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)平面ACD⊥平面ABD.23