《好题开练·中考模拟演练》数学

《好题开练·中考模拟演练》数学一、单选题1．将210000000用科学记数法表示为（）A．2.1×109B．0.21×109C．2.1×108D．21×1072．下列各项是一元二次方程的是（）A．x﹣x3＝1B．2x﹣1＝aC．x2﹣x+1＝0D．x2﹣＝53．如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（）A．70°B．100°C．110°D．120°4．下图中所示的几何体的主视图是（

）A．B．C．D．5．如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（

）A．随增大而增大 B．图象经过第三象限 C．当时， D．当时，6．下列运算正确的是（

）A．B．C．D．7．如图，抛物线经过点，与y轴交于点，抛物线的对称轴为直线．关于此题，甲、乙、丙三人的说法如下：甲：；乙：方程的解为和3；丙：．下列判断正确的是（

）A．甲对，乙错B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲、乙、丙都对8．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15~20次之间的频率是（

）A．0.1B．0.17C．0.33D．0.49．如图，内接于，，D是边BC的中点，连接OD并延长，交于点E，则的大小为（

）A．B．C．D．10．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（

）A．B．C．D．二、填空题11．分解因式：__________．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为_____．13．如图，将绕点旋转得到，若，，，则__________．14．方程的解为______．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数的图象上，已知菱形的周长是12，，则k的值是______．三、解答题16．（1）计算：；（2）已知的值．17．如图，在平行四边形中，平分，平分．(1)求证：；(2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请写出证明过程．18．如图，直角坐标系中，A（2，0），点在第一象限且为正三角形，的外接圆交y轴的正半轴于点，过点作圆的切线交x轴于点．(1)求、两点的坐标；(2)求直线的函数解析式；(3)设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长，试求当△AEF的面积取最大值时AE的长．19．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1，的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C．如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式．20．如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若BD＝8，CE＝12，求AC的长．21．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．(1)求证：DFAC；(2)连接DE、CF，若AB⊥BF，且点G是CD的中点，则四边形CFDE是什么样的特殊四边形？请证明你的结论；(3)在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，求证：AE＝2EC．22．如图，在东西方向海岸线l上有长为300米的码头AB，在A处测得轮船M在它的北偏东45°方向，同一时刻在C处测得轮船M在它的北偏东37°方向，点C在AB上，且AC＝50米．如果轮船M沿着南偏东22°的方向航行，那么轮船M能否行至码头AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°＝0.60，tan37°＝0.75，sin22°＝0.37，tan22°＝0.40）23．兴隆水果店第一次用2000元购进沃柑若干千克，并以8元/千克的价格全部销售完；第二次由于沃柑畅销，每千克的进价比第一次提高了20%，用2496元购进的沃柑比第一次多20千克，以9元/千克的价格卖出300千克后，因天气原因不易保鲜，便降价50%销售完剩余的沃柑．(1)第一次沃柑的进价是每千克多少元？(2)该店在这两次沃柑购销中共盈利多少元？24．如图，抛物线与x轴交于A、B(1,0)两点，与y轴交于，直线与抛物线交于B、C两点，其中(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作，抛物线上是否存在一点P使得线段PE最大，若存在，请求出点P的坐标和线段PE的最大值，若不存在，请说明理由．参考答案1．C【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，-n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．【详解】210000000一共9位，从而210000000=2.1×108．故选：C．【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的规则是解题的关键．2．C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义对四个选项逐一判断即可确定答案．【详解】解：选项方程中未知数的最高次数为3次，不满足一元二次方程的定义，故本选项不符合题意；选项方程中含有两个未知数，分别是与，且未知数与的最高次数均为1次，不满足一元二次方程的定义，故本选项不符合题意；选项方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次，这样的整式方程满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意；选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；故选：．【点睛】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．熟知一元二次方程定义的内涵是解得此类题目的关键．3．C【解析】【分析】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．【详解】∵直线AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵∠3＝70°，∠2+∠3=180°，∴∠2＝180°﹣∠3=180°﹣70°＝110°，∴∠1＝110°．故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，求出∠2＝110°是解答本题的关键．4．D【解析】【详解】解：根据图示可得，主视图为下面三个正方形，上面最右边一个正方形．故选：D5．C【解析】【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得．【详解】解：A、随增大而减小，则此项错误，不符合题意；B、图象不经过第三象限，则此项错误，不符合题意；C、函数图象与轴的交点的纵坐标为，所以当时，，则此项正确，符合题意；D、当时，，则此项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．6．C【解析】【分析】直接利用积的乘方运算法则、合并同类项法则、平方差公式和多项式除以单项式运算法则分别判断得出答案．【详解】解：A．，故此选项不合题意；B．不能合并，故此选项不合题意；C．，故此选项符合题意；D．，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了积的乘方运算法则、合并同类项法则、平方差公式和多项式除以单项式运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．D【解析】【分析】甲：把，代入函数关系式即可求得；根据对称轴为，即可求出；乙：根据对称轴为，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），可以得出抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（3，0），即可得出方程的解为-1和3；丙：根据与y轴交于点(0，2)，得出，根据抛物线开口向下，可以得出，即可得出结果．【详解】解：∵函数图象与x轴交于点（-1，0），，∴，∵抛物线的对称轴为，∴，，故甲正确；∵抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴方程的解为-1和3，故乙正确；∵抛物线与y轴交于点(0，2)，∴，∵抛物线开口向下，∴，∴，故丙正确；综上分析可知，甲、乙、丙都对，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数图象和性质，对称轴公式，是解题的关键．8．A【解析】【分析】先计算出仰卧起座次数在15~20次之间的人数，根据频率＝计算即可【详解】解：仰卧起座次数在15~20次之间的人数为30－10－12－5＝3，∴仰卧起座次数在15~20次之间的频率是＝0.1，故选：A【点睛】此题考查了频率，熟练掌握频率的定义是解题的关键．9．C【解析】【分析】连接CE，根据圆内接四边形的性质得到∠BEC＝180°﹣∠A＝140°，根据垂径定理得到OE⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如下图，连接CD，∵∠A＝40°，∴∠BEC＝180°﹣∠A＝140°，∵D是边BC的中点，∴OE⊥BC，BD＝CD，∴BE=CE，∴．故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、垂径定理、等腰三角形的性质等知识，正确理解题意是解题的关键．10．A【解析】【分析】准确求解不等式组，在进行判断即可．【详解】解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，在数轴上表示为：故选：A．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．11．【解析】先提取公因式3，再利用完全平方式分解因式即可．【详解】原式．故答案为：．【点睛】本题考查分解因式．掌握提公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键．12．4【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．【详解】解：∵OA＝1，OB＝2，∴AC＝2，BD＝4，∴菱形ABCD的面积为×2×4＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查菱形的性质,关键在于熟练掌握基础知识.13．2【解析】【分析】先根据含角的直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质即可得．【详解】解：在中，，，，，由旋转的性质得：，故答案为：2．【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．14．x=-1【解析】【分析】解分式方程即可得出答案．【详解】方程两边同乘，得，解得，经检验，是原方程的解，故答案为：．15．【解析】菱形OABC的周长为12，可得边长为3，过C作x轴的垂线，构造直角三角形，解直角三角形，可以求出表示C点坐标的线段的长，从而确定点C的坐标，再依据点C在反比例函数的图象上，代入关系式可以求出k的值．【详解】解：过点C作CD⊥OA，垂足为D，∵∠COA=60°∴∠OCD=90°-60°=30°又∵菱形OABC的周长是12，∴OC=OA=AB=BC=3，在Rt△COD中，OD=OC=，CD=，∴C，∵顶点C在反比例函数y=的图象上，∴k=，故答案为：．【点睛】此题考查了菱形的性质，解直角三角形以及反比例函数图象上的点的坐标特征等知识，求得C的坐标是解题的关键．16．（1）6；（2）【解析】【分析】（1）根据零指数幂、绝对值及锐角三角函数的性质及运算法则进行求解即可；（2）把x2-y2写成（x-y）（x+y）的形式，然后把x、y的值代入即可．【详解】解（1）原式==6；(2)x2-y2，=（x+y）（x-y），=．17．(1)证明见解析(2)当满足时，四边形是矩形，证明见解析【解析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据三角形全等的判定即可得证；（2）当满足时，四边形是矩形．证明思路：先根据平行四边形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，最后根据矩形的判定即可得证．（1）证明：四边形是平行四边形，，，平分，平分，，，在和中，∵，．（2）解：当满足时，四边形是矩形，证明如下：四边形是平行四边形，，由（1）已证：，，，即，四边形是平行四边形，当满足时，则（等腰三角形的三线合一），四边形是矩形．18．(1)B（1，）；C（0，）(2)(3)【解析】(1)连接AC，作BG⊥OA于G，如图，根据等边三角形的性质得OA=AB=OB=2，∠ABO=60°，∠OBH=30°，根据含30°的直角三角形求出OH，BH，然后在Rt△OAC中求出OC的长，即可写出B、C坐标；（2）由∠AOC=90°，得出AC是圆的直径，再根据CD是圆的切线，得CD⊥AC，由∠OCD=30°，计算出得到D点坐标为（，0），然后用待定系数法求CD的函数解析式；（3）先求出AB、OA、OD、CD、BC、OC的长，得出四边形ABCD的周长，设AE=t，△AEF的面积为S，得出S的二次函数，根据点E、F分别在线段AB、AD上，求出t的取值范围，再利用二次函数的最值求取S的最大值时AE的长．（1）解：∵A（2，0），∴OA=2．连接AC，作BG⊥OA于G，∵△OAB为正三角形，∴OG=1，，∴B（1，），∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°，∴，∴C（0，）；（2）∵∠AOC=90°，∴AC是圆的直径，又∵CD是圆的切线，∴CD⊥AC，∴，，∴D（，0），设直线CD的函数解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，∴直线CD的解析式为；（3）∵AB=OA=2，，，，∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=．设AE=t，△AEF的面积为S，过点E作于点H，则，，，∵，又∵点E、F分别在线段AB、AD上，∴，∴，∴当时，，即当时，△AEF的面积取最大值．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、切线的性质定理、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用等知识，综合性强，解题关键是熟练掌握相关性质，并用数形结合的思想分析问题．19．【解析】【分析】根据，求得A点的坐标，待定系数法求解析式即可求解．【详解】解：，∴，∴点的坐标为∵点在一次函数的图像上，∴，解得：∴一次函数的关系式是：【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，待定系数法求一次解析式，掌握以上知识是解题的关键．20．(1)见解析(2)12【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED＝∠ODE，即可得出∠AOC＝∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可证得结论；（2）在Rt△ODB中，根据勾股定理求得BO，得到BC＝16，然后，在Rt△ACB中，根据勾股定理列出关于AC的方程，解方程即可．（1）证明：连接OD．∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵DE//OA，∴∠OED＝∠AOC，∠ODE＝∠AOD，∴∠AOC＝∠AOD．在△AOD和△AOC中，，∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACO．∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．（2）解：∵CE＝12，∴OE＝OD＝OC＝6，在Rt△ODB中，BD＝8，OD＝6，BD2＋OD2＝BO2，∴BO＝10，∴BC＝BO＋OC＝16．∵⊙O与AB和AC都相切，∴AD＝AC．在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，即：AC2＋162＝（AC＋8）2，解得：AC＝12．【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质、平行线的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理，熟练应用相关性质定理是解答本题的关键．21．(1)见解析(2)菱形，证明见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证出OE是△BDF的中位线，得OEDF，即DFAC；（2）先证△DFG≌△CEG（AAS），得FG＝EG，则四边形CFDE是平行四边形，再证CD⊥BF，即可得出结论；（3）先由正方形的性质得CDDE＝CE，再证出AEAB，则可得出结论．（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵BE＝EF，∴OE是△BDF的中位线，∴OEDF，即DFAC；（2）解：四边形CFDE是菱形．证明：如图所示：由（1）得：DFAC，∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，∵G是CD的中点，∴DG＝CG，∴△DFG≌△CEG（AAS），∴FG＝EG，∴四边形CFDE是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，又∵AB⊥BF，∴CD⊥BF，∴平行四边形CFDE是菱形；（3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，CD＝AB，∵四边形CFDE是正方形，∴CDDECE，BE＝EF＝CD，∴BE＝AB，∵AB⊥BF，∴∠ABE＝90°，∴AEAB，∴AE＝2CE．【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．能，理由见解析【解析】【分析】过点M作MD⊥AB交AB于D，设DM＝x，解直角三角形求出CD，然后根据AD＝AC＋CD列式求出x，作∠DMF＝22°交l于点F，解直角三角形求出DF，然后计算出AF的长即可得到结论．【详解】解：该轮船能行至码头靠岸，理由：过点M作MD⊥AB交AB于D，设DM＝x，由题意可知，∠AMD＝45°，∠CMD＝37°，∴在Rt△CDM中，CD＝DM·tan∠CMD＝x·tan37°，又∵在Rt△ADM中，∠AMD＝45°，∴AD＝DM＝x，∵AD＝AC＋CD＝50＋x·tan37°，∴50＋x•tan37°＝x，∴x200，∴DM＝200米，作∠DMF＝22°交l于点F，在Rt△DMF中，DF＝DM·tan∠FMD＝DM·tan22°≈200×0.40＝80（米），∴AF＝AC＋CD＋DF＝DM＋DF≈200＋80＝280米＜300米，∴该轮船能行至码头AB靠岸．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，读懂题目并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．23．(1)4元(2)3113元【解析】【分析】（1）设第一次沃柑的进价为每千克x元，则第二次沃柑的进价为每千克（1＋20%）x元，由题意：第一次用2000元购进沃柑若干千克，第二次用2496元购进的沃柑比第一次多20千克，列出分式方程，解方程即可；（2）分别求出两次的盈利，即可得出答案．（1）设第一次沃柑的进价为每千克x元，则第二次沃柑的进价为每千克（1＋20%）x元，依题意得：20，解得：x＝4，经检验，x＝4是方程的根，且符合题意，答：第一次沃柑的进价是每千克4元；（2）2000÷4＝500（千克），第一次售完沃柑的盈利为：（8﹣4）×500