高考数学二轮复习 专题1 第3讲 基本初等函数Ⅰ素能训练（文、理）

【成才之路】届高考数学二轮复习专题1第3讲基本初等函数Ⅰ素能训练（文、理）一、选择题1．(·江西文，4)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·2x，x≥0,2－x，x<0))(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．2[答案]A[解析]∵f(－1)＝2－(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝4a＝1，∴a＝eq\f(1,4).2．(文)(·江西八校联考)已知实数a、b，则“2a>2b”是“log2a>log2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]由y＝2x为增函数知，2a>2b⇔a>b；由y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数知，log2a>log2b⇔a>b>0，∴a>b⇒/a>b>0，但a>b>0⇒a>(理)(·陕西文，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是()A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3xC．f(x)＝xeq\f(1,2) D．f(x)＝(eq\f(1,2))x[答案]B[解析]本题考查了基本初等函数概念及幂的运算性质．只有B选项中3x＋y＝3x·3y成立且f(x)＝3x是增函数．3．(·哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(－2，－eq\f(1,8))，则满足f(x)＝27的x的值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)[答案]B[解析]设f(x)＝xα，则－eq\f(1,8)＝(－2)α，∴α＝－3，∴f(x)＝x－3，由f(x)＝27得，x－3＝27，∴x＝eq\f(1,3).4．(文)(·霍邱二中模拟)设a＝log954，b＝log953，c＝log545，则()A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c[答案]D[解析]∵y＝log9x为增函数，∴log954>log953，∴a>b，又c＝log545＝1＋log59>2，a＝log954＝1＋log96<2，∴c>a>b，故选D.(理)(·新课标Ⅱ文，12)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)[答案]D[解析]由题意得，a>x－(eq\f(1,2))x(x>0)，令f(x)＝x－(eq\f(1,2))x，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)>f(0)＝－1，∴a>－1，故选D.5．(·重庆一中月考)下列函数图象中不正确的是()[答案]D[解析]由指数函数、对数函数的图象与性质知A、B正确，又C是B中函数图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，故C正确．∵y＝log2|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2xx>0,log2－xx<0))是偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误．6．(·南开中学月考)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(eq\f(1,3))＝0，则不等式f(logeq\f(1,8)x)>0的解集是()A．(0，eq\f(1,2)) B．(2，＋∞)C．(0，eq\f(1,2))∪(2，＋∞) D．(eq\f(1,2)，1)∪(2，＋∞)[答案]C[解析]解法1：∵偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数，又f(eq\f(1,3))＝0，∴f(－eq\f(1,3))＝0，由f(eqlog\s\do8(\f(1,8))x)>0得，eqlog\s\do8(\f(1,8))x>eq\f(1,3)或eqlog\s\do8(\f(1,8))x<－eq\f(1,3)，∴0<x<eq\f(1,2)或x>2，故选C.解法2：∵f(x)为偶函数，∴f(eqlog\s\do8(\f(1,8))x)>0化为f(|leqlog\s\do8(\f(1,8))x|)>0，∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f(eq\f(1,3))＝0，∴|eqlog\s\do8(\f(1,8))x|>eq\f(1,3)，∴|log8x|>eq\f(1,3)，∴log8x>eq\f(1,3)或log8x<－eq\f(1,3)，∴x>2或0<x<eq\f(1,2).二、填空题7．(文)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|－1，x≤1，,2－2x，x>1，))若f(x)＝1，则x＝________.[答案]－2[解析]当x≤1时，由|x|－1＝1，得x＝±2，故可得x＝－2；当x>1时，由2－2x＝1，得x＝0，不适合题意．故x＝－2.(理)(·大兴区模拟)已知函数f(x)＝在区间[－1，m]上的最大值是1，则m的取值范围是________．[答案](－1,1][解析]∵f(x)＝2－x－1＝(eq\f(1,2))x－1在[－1,0]上为减函数，∴在[－1,0]上f(x)的最大值为f(－1)＝1，又f(x)＝eqx\s\up10(\f(1,2))在[0，m]上为增函数，∴在[0，m]上f(x)的最大值为eq\r(m)，∵f(x)在区间[－1，m]上的最大值为1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,\r(m)≤1，))或－1<m≤0，∴－1<m≤1.8．已知x＋x－1＝3，则xeq\f(1,2)－x－eq\f(1,2)＝________.[答案]±1[解析](eqx\s\up10(\f(1,2))－eqx\s\up10(\f(-1,2)))2＝(eqx\s\up10(\f(1,2)))2－2eqx\s\up10(\f(1,2))·eqx\s\up10(\f(-1,2))＋(eqx\s\up10(\f(-1,2)))2＝x＋x－1－2＝3－2＝1，∴eqx\s\up10(\f(1,2))－eqx\s\up10(\f(-1,2))＝±1.9．计算(lgeq\f(1,4)－lg25)÷100－eq\f(1,2)＝________.[答案]－20[解析]原式＝lg0.01÷100－eq\f(1,2)＝－2×10＝－20.10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x＋1，x>0，,3－x，x≤0.))若f(m)>1，则m的取值范围是________．[答案](－∞，0)∪(2，＋∞)[解析]当m>0时，由f(m)>1得，log3(m＋1)>1，∴m＋1>3，∴m>2；当m≤0时，由f(m)>1得，3－m>1.∴－m>0，∴m<0.综上知m<0或m>2.一、选择题11．(·天津和平区质检)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x3＋x－2的零点分别为x1、x2、x3，则()A．x3<x1<x2 B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1 D．x1<x2<x3[答案]D[解析]x1＝－2x1<0，若x>1，则g(x)＝x＋lnx>1，∴0<x2<1，x3＝1，∴x1<x2<x3.12．(文)(·榆林一中模拟)命题p：函数f(x)＝ax－2(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，－2)；命题q：函数f(x)＝lg|x|(x≠0)有两个零点．则下列说法正确的是()A．“p或q”是真命题 B．“p且q”是真命题C．¬p为假命题 D．¬q为真命题[答案]A[解析]∵f(0)＝a0－2＝－1，∴p为假命题；令lg|x|＝0得，|x|＝1，∴x＝±1，故q为真命题，∴p∨q为真，p∧q为假，¬p为真，¬q为假，故选A.(理)(·德阳市二诊)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(1,2)，x≤0,log2x，x>0))(其中a∈R)，函数g(x)＝f[f(x)]＋1.下列关于函数g(x)的零点个数的判断，正确的是()A．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有2个零点，当a＝0时，有无数个零点B．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有3个零点，当a＝0时，有2个零点C．当a>0时，有2个零点；当a≤0时，有1个零点D．当a≠0时，有2个零点；当a＝0时，有1个零点[答案]A[解析]取a＝1，令x＋eq\f(1,2)＝－1得x＝－eq\f(3,2)，令log2x＝－1得，x＝eq\f(1,2).令x＋eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2)得x＝－2，令log2x＝－eq\f(3,2)得x＝2－eq\f(3,2)，令log2x＝eq\f(1,2)得x＝eq\r(2)，令x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)得x＝0，由此可排除C、D；令a＝0，得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x≤0，,log2xx>0.))由log2x＝－1得x＝eq\f(1,2)，由f(x)＝eq\f(1,2)知，对任意x≤0，有f(x)＝eq\f(1,2)，故a＝0时，g(x)有无数个零点．13．(文)(·天津市六校联考)设a＝30.5，b＝log32，c＝cos2，则()A．c<b<a B．c<a<bC．a<b<c D．b<c<a[答案]A[解析]a＝30.5>1，b＝log32∈(0,1)，c＝cos2<0，∴c<b<a，故选A.(理)(·天津南开中学月考)设a＝(eq\f(3,4))eq\f(2,3)，b＝(eq\f(2,3))eq\f(3,4)，c＝logeq\f(2,3)eq\f(4,3)，则a、b、c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>b>a D．b>c>a[答案]B[解析]∵y＝xeq\f(2,3)在(0，＋∞)上为增函数，eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，∴(eq\f(3,4))eq\f(2,3)>(eq\f(2,3))eq\f(2,3).又y＝(eq\f(2,3))x在R上为减函数，eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，∴0<(eq\f(2,3))eq\f(3,4)<(eq\f(2,3))eq\f(2,3)，∴a>b>0，又y＝logeq\f(2,3)x在(0，＋∞)上为减函数，∴eqlog\s\do5(\f(2,3))eq\f(4,3)<eqlog\s\do5(\f(2,3))1＝0，∴a>b>c.14．(·衡水中学模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式x1f(x1)＋x2f(x2)<x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则不等式A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)[答案]C[解析]由条件式得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，∴x1<x2时，f(x1)>f(x2)，x1>x2时，f(x1)<f(x2)，∴f(x)为减函数，又f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴不等式f(1－x)<0化为f(1－x)<f(0)，∴1－x>0，∴x<1，故选C.15．(·中原名校第二次联考)函数y＝f(x＋eq\f(π,2))为定义在R上的偶函数，且当x≥eq\f(π,2)时，f(x)＝(eq\f(1,2))x＋sinx，则下列选项正确的是()A．f(3)<f(1)<f(2) B．f(2)<f(1)<f(3)C．f(2)<f(3)<f(1) D．f(3)<f(2)<f(1)[答案]A[解析]由条件知f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称，∴f(1)＝f(π－1)，当eq\f(π,2)≤x≤eq\f(3π,2)时，f′(x)＝－(eq\f(1,2))x·ln2＋cosx<0，∴f(x)在[eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]上单调递减，∵eq\f(π,2)<2<π－1<3<eq\f(3π,2)，∴f(2)>f(π－1)>f(3)，∴f(2)>f(1)>f(3)，故选A.16．(·新课标Ⅱ文，11)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0[答案]C[解析]本题考查函数的图象与性质及导数的应用．由题意得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，该函数图象开口向上，若x0为极小值点，如图，f′(x)的图象应为：故f(x)在区间(－∞，x0)不单调递减，C错，故选C.二、填空题17．(·吉林省吉大附中模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x>0，,－x2－2x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．[答案](0,1)[解析]函数f(x)的图象如图所示：当0<m<1时，直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点．三、解答题18．(文)已知函数f(x)＝eq\f(1,x)＋alnx(a≠0，a∈R)．(1)若a＝1，求实数f(x)的极值和单调区间；(2)若a<0且在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．[解析](1)因为f′(x)＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(a,x)＝eq\f(ax－1,x2)，当a＝1时，f′(x)＝eq\f(x－1,x2)，令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以x＝1时，f(x)的极小值为1.f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)因为f′(x)＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(a,x)＝eq\f(ax－1,x2)，且a≠0，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,a)，若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，其充要条件是f(x)在区间(0，e]上的最小