福建省厦门市2025届高三数学毕业班第二次质量检查试题文含解析

PAGE24-福建省厦门市2025届高三数学毕业班其次次质量检查试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】，则，又，因此，.故选：A.【点睛】本题考查交集和补集的混合运算，考查计算实力，属于基础题.2.已知复数（为虚数单位），则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据题意可求得，进而求得，得到答案.【详解】,所以，，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的学问点有复数的模，共轭复数，属于基础题目.3.已知向量，，且，则()A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求得，由此可求出答案．【详解】解：∵，，且，∴，则，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查平面对量垂直的坐标运算，考查向量的模，属于基础题．4.已知椭圆：的一个焦点为，则()A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程即得解.【详解】由题得，所以.因为，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查椭圆的简洁几何性质，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平，属于基础题目.5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依据题意得到，，再依据指数函数的单调性即可得到答案.【详解】，.因为在上为增函数，所以.即.故选：A【点睛】本题主要考查指数式比较大小，同时考查了指数函数的单调性，属于简洁题.6.内角，，的对边分别是，，，已知，，，则()A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】首先依据正弦定理边化角公式得到，再利用余弦定理即可得到答案.【详解】因为，所以.因为，所以.所以，即.整理得，解得.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，熟记公式为解题的关键，属于中档题.7.在数列中，，，，则()A.-4 B.-2 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】首先依据题意分别求出，，，，从而得到数列的周期为，再利用周期计算即可.【详解】由题知：当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，.所以得到，，，，，，……，即数列的周期为.所以.故选：D【点睛】本题主要考查数列的递推公式，通过递推公式得到数列的周期为解题的关键，属于中档题.8.如图，圆柱中，，，，则与下底面所成角的正切值为()A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作垂直于底面，连接、，可知即为与下底面所成角，结合线段长即可得解.【详解】由题意，作垂直于底面，连接，如下图所示：圆柱中，，，，则即为与下底面所成角，而，所以，所以，故选：B.【点睛】本题考查了直线与平面夹角的求法，圆柱结构特征及性质的应用，属于基础题.9.已知函数的图象如图，则()A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由图可知，，当时，，再结合解析式即可求出答案．【详解】解：∵，由图可知，；当时，，，但，则；故选：D．【点睛】本题主要考查函数图象的应用，考查数形结合思想，属于基础题．10.我国古代重要建筑室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的窟窿状装饰，这种装饰称为藻井.北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井（图1），全称为龙风角蝉云龙随瓣枋套方八角深金龙藻井.它展示出精致的装饰空间和造型艺术，是我国古代丰富文化的体现，从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最下层为方井，中为八角井，上为圆井.图2是由图1抽象出的平面图形，若在图2中随机取一点，则此点取自圆内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据图（2）正方形中各边中点分别为，可得四边形为正方形，图中的圆为该正方形的内切圆，即可得出该圆半径与正方形的边长关系，即可求出结论.【详解】设图（2）正方形边长为，分别为各边的中点，则四边形是边长为的正方形，圆为正方形的内切圆，其半径为，所以在图2中随机取一点，则此点取自圆内的概率为.故选：A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查面积型几何概型，留意图形的对称关系，属于基础题.11.已知函数在区间单调递增，下述三个结论：①的取值范围是；②在存在零点；③在至多有4个极值点.其中全部正确结论的编号是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】依据题意分析出，再由函数为增函数知，即可求出，推断①；作出取两个端点时和图象，数形结合即可推断②③.【详解】当时，，∵在区间上单调递增，∴，∴，故①正确；作出和在的图象如下：由图可知②③正确故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的单调性，零点，极值点，数形结合的思想，属于中档题.12.已知双曲线的左、右焦点分别、，过的直线交双曲线右支于，两点.的平分线交于，若，则双曲线的离心率为()A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先取中点，连接，，利用平面对量加法的几何意义得到轴，，再依据勾股定理列出等式，计算离心率即可.【详解】取中点，连接，，如图所示：由，可知四边形为平行四边形.又∵为的平分线，∴四边形为菱形.∵，∴为中点，∵，∴为中点，由双曲线的对称性可知：轴，点在轴上.∴，由双曲线定义得：，所以，∴，即，整理得，所以故选：A【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，同时考查了平面对量加法的几何意义，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点,则=______．【答案】【解析】【分析】依据三角函数的定义，求出sinα，利用二倍角公式可得cos2α的值．【详解】由三角函数的定义，r，可得：sinα，可得：cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2．故答案为．【点睛】本题考查随意角的三角函数的定义，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.某地区中小微企业中，员工人数50人以下的企业占总数的，员工人数50～100人的企业占总数的，员工人数100～500人的企业占总数的，员工人数500人及以上的企业占总数的，现在用分层抽样的方式从中抽取40个企业调查生产状况，员工人数100～500人的企业应抽取的个数为______.【答案】6【解析】【分析】首先设某地区中小微企业共有个，从而得到抽样比，再利用分层抽样抽取员工人数100～500人的企业即可得到答案.【详解】由题知：设某地区中小微企业共有个，则抽样比为.因为员工人数100～500人的企业占总数的，所以员工人数100～500人的企业共有个，故员工人数100～500人的企业应抽取个.故答案为：【点睛】本题主要考查分层抽样，依据条件求出抽样比为解题的关键，属于简洁题.15.曲线在处的切线过原点，则实数_________.【答案】2【解析】【分析】首先对函数求导，分别求得，，依据曲线在处的切线过原点，列出等量关系式，求得结果.【详解】因为，所以，所以，，依据题意，有，解得，故答案为：2.【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的学问点有导数的几何意义，依据曲线在某个点处的切线过某点求参数的值，属于基础题目.16.已知四面体的全部顶点在球的表面上，平面，，，则球的表面积为_________.【答案】【解析】【分析】将四面体补成直三棱柱，依据题意画出图象，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，求出，在依据正弦定理，求出，依据勾股定理和球的表面积公式，即可求得答案.【详解】四面体的全部顶点在球的表面上，且平面，将四面体补成直三棱柱，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，依据直棱柱特征可得：面依据题意画出图象，如图：可得：，在依据正弦定理：(为三角形外接圆半径)依据为的外心，可得为外接圆半径即，面，面故为直角三角形在中，依据勾股定理可得：，.故答案为：.【点睛】本题主要考查了求四面体外接球表面积问题，解题关键是驾驭将四面体补成直三棱柱求外接球半径的方法和球的表面积公式，数形结合，考查了分析实力和空间想象实力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17.已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，其前项和为，证明.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得关于首项和公差的方程组，解之代入通项公式可得；（2）由（1）可知，由裂项相消法可得其和．【详解】解：（1）设数列的公差为，依题意得，∴，∴，∴.（2）由（1）得，∴，∴，∵，∴，∴.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及裂项相消法求数列的和，属于中档题．18.如图，四棱锥中，四边形为正方形，，分别为，中点.（1）证明：平面；（2）已知，，，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连接，，可证明四边形为平行四边形，得，即可证明；（2）依据等体积法可知，转化为计算，求底面积及高即可求解.【详解】（1）证明：取中点，连接，，∵为中点，∴∥，，又为中点，∴∥，∴∥，，∴四边形为平行四边形.∴，∵平面，平面，∴平面.（2）在正方形中，，又∵，∴，又，∴平面，∵，平面，平面，∴平面，∴到平面的距离等于到平面的距离，即为.∵，，∴，即，又为中点，∴.∴.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，三棱锥的体积，转化的思想，考查了运算实力，属于中档题.19.年是打赢蓝天保卫战三年行动安排的決胜之年，近年来，在各地各部门共同努力下，蓝天保卫战各项任务措施稳步推动，取得了主动成效，某学生随机收集了甲城市近两年上半年中各天的空气量指数，得到频数分布表如下：年上半年中天的频数分布表的分组天数年上半年中天的频数分布表的分组天数（1）估计年上半年甲城市空气质量优良天数的比例；（2）求年上半年甲城市的平均数和标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（精确到）（3）用所学的統计学问，比较年上半年与年上半年甲城市的空气质量状况.附：的分组空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严峻污染.【答案】（1）；（2）平均数为，标准差为；（3）年上半年空气质量优于年上半年.【解析】【分析】（1）依据城市空气质量优良的值的范围可得出年上半年甲城市空气质量优良天数，进而可计算出甲城市空气质量优良天数的比例；（2）将每组的中点值乘以对应组的频率，相加可得出平均数，然后利用标准差公式可求得年上半年甲城市的标准差；（3）依据年上半年和年上半年天中空气质量优良天数的比例的大小关系或的平均数的估计值的大小关系或未达到空气质量优良天数的比例的估计值的大小关系来比较年上半年与年上半年甲城市的空气质量状况.【详解】（1）依题可知，所调查的年上半年中的天里，甲城市空气质量优的天数为，空气质量良的天数为，甲城市空气质量优良天数的频率为.用样本频率估计总体得，年上半年甲城市空气质量优良大数的比例为；（2）年上半年甲城市的平均数的估计值为.年上半年甲城市的标准差的估计值为.所以，年上半年甲城市的平均数和标准差的估计值分别为、；（3）能从统计学问的角度分析问题，参考示例，酌情给分.示例1：年上半年空气质量优良天数的比例的估计值为，年上半年空气质量优良天数的比例的估计值为，故年上半年空气质量优于年上半年.示例2：年上半年甲城市的平均数的估计值为，年上半年甲城市的平均数的估计值为，越小，空气质量越好，故年上半年空气质量优于年上半年.示例3：年上半年未达到空气质量优良天数的比例的估计值为，年上半年未达到空气质量优良天数的比例的估计值为，故年上半年空气质量优于年上半年.【点睛】本题考查利用频率分布表计算平均数、标准差以及频率，同时也考查了利用样本的数字特征来分析实际问题，考查计算实力与数据分析实力，属于中等题.20.已知函数在处取得极值.（1）求，并求的单调区间；（2）证明：当，时，.【答案】（1），在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.【解析】【分析】

（1）依据极值点可求出，依据导函数的正负求出单调区间；

（2）法一，由函数单调性可得变形可得，利用不等式的性质可放缩得到，构造函数可利用导数求最小值为0，即可得证；法二由函数单调性可得变形可得，由不等式性质可得，令，由导数可求出即可得证.【详解】（1），由是极值点得，∴，∴，∴，由得，∴单调递增区间为；由得，∴的单调递减区间为.（2）法一：由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，故，即，故.∴，当且仅当时取等号，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，令，∴，由得，∴在上单调递增；由得，∴在上单调递减，∴，即在处取等号，∴，由于取等条件不同，∴.法二：由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，故，即，∴，当且仅当时取等号，∵，，∴，令，，由得，∴在上单调递增；由得，∴在上单调递减，∴，∴，由于取等条件不同，故，整理得.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，极值，最值，利用导数证明不等式，不等式的性质，考查了逻辑推理实力、运算实力，属于难题.21.已知抛物线：的焦点为，过作斜率为的直线交于，两点，以线段为直径的圆.当时，圆的半径为2.（1）求的方程；（2）已知点，对随意的斜率，圆上是否总存在点满意，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）依题意，不妨设在第一象限，当时，，，由圆的直径可求得，可得抛物线方程.（2）设直线：，，，联立得，可得出圆的方程，假设存在点满意，则在以为直径的圆上.由圆与圆的位置关系可得解.【详解】（1）依题意，不妨设在第一象限，当时，，，∴，∴，∴抛物线方程为.（2）设直线：，，，由得，∴，，∴，∴圆的半径.又，，∴.∴圆的方程为.即，假设存在点满意，则在以为直径的圆上.∴，圆的半径.法一：（i）若，圆心距，∵，∴圆与圆内切，有一个交点；（ii）当时，，重合，，所以对随意的，圆上存在点，使得.法二：（i）当时，圆：，即.联立，①-②得：即，代入②得：.，所以两圆相切，有一个交点.（ii）当时，，重合，，即对随意的，圆上存在点，使得.【点睛】本题考查求抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，圆与圆的位置关系，圆的性质，属于难度题.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，的方程为，的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正