湖南省娄底市双峰一中2024-2025学年高一数学下学期第二次月考试题含解析

PAGE22-湖南省娄底市双峰一中2024-2025学年高一数学下学期其次次月考试题（含解析）一、单选题1.已知向量，，若，则实数a的值为A. B.2或 C.或1 D.【答案】C【解析】【分析】依据题意，由向量平行的坐标表示公式可得，解可得a的值，即可得答案．【详解】依据题意，向量，，若，则有，解可得或1；故选C．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示方法，熟记平行的坐标表示公式得到关于a的方程是关键，是基础题2.设，，，若，则与的夹角余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据，，表示的坐标，再由建立方程求得k，得到的坐标，然后利用夹角公式求解.【详解】因为，，所以，因为，所以，解得，所以，因为，所以，所以与的夹角余弦值为.故选：B【点睛】本题主要考查平面对量的数量积运算及应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.3.将函数的图像沿轴向右平移个单位长度，所得函数的图像关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用协助角公式将函数化为，然后利用三角函数的平移变换原则即可求解.【详解】，将函数的图像沿轴向右平移个单位长度，可得，此函数图像关于轴对称，则，解得，因为，则当时，取得最小值.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、协助角公式、诱导公式，属于基础题.4.从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为A. B. C. D.【答案】C【解析】此题为几何概型．数对落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为，所以．故选C．5.某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育熬炼的时间（单位：min），依据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】从题设中供应的频率分布直方图可算得在区间内各有个，答案A被解除；在区间内有个；在区间内有个；在区间内有个；在区间内各有个，答案C被解除；在区间内有个，答案D被解除；依据这些数据信息可推知，应选答案B．点睛：解答本题的方法是依据题设中所供应的频率分布直方图供应的信息，先算出在不同区间内的个体的频数，再分别结合所给的茎叶图，对每个答案逐一进行分析推断，从而解除不合题设的答案，选出正确答案，使得问题获解．6.从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事务①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④至少有1个黄球与都是白球．其中互斥而不对立的事务共有（）A.0组 B.1组 C.2组 D.3组【答案】A【解析】【分析】依据互斥事务和对立事务的概念逐一推断即可.【详解】对于①，至少有1个白球与至少有1个黄球可以同时发生，两个事务不互斥对于②，至少有1个黄球与都是黄球可以同时发生，两个事务不互斥对于③，恰有1个白球与恰有1个黄球都表示的是取出的两个球中，一个白球，一个黄球，故不是互斥事务对于④，两事务不能同时发生，但必有一个发生，因此两事务是互斥事务，也是对立事务故选：A【点睛】本题考查的是对互斥事务和对立事务的理解，较简洁.7.若，，均为实数，则下面三个结论均是正确的：①；②；③若，，则；对向量，，，用类比的思想可得到以下四个结论：①；②；③若，，则；其中结论正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.0个【答案】A【解析】【分析】依据平面对量的数量积的定义和运算性质，推断选项中的命题是否正确，即可求解.【详解】对于①中，依据平面对量的数量积的定义，可得所以是正确的；对于②中，，依据平面对量的数量积不满意结合律，所以是错误的；对于③中，，，则；，依据平面对量的数量积的运算不满意消去律，所以不正确.综上可得，只有①是正确的.故选：A.【点睛】本题主要考查了平面对量的数量积的定义及运算性质的应用，其中解答中熟记平面对量的运算性质是解答的关键，着重考查分析、判定实力.8.《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求出p，则π可求．【详解】圆形钱币的半径为rcm，面积为S圆＝π•r2；正方形边长为acm，面积为S正方形＝a2．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是p1，所以π．故选：A．【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法及应用，还考查了运算求解的实力，属于基础题.9.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成果对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成果的数字特征推断不正确的是（）A.平均数相同 B.中位数相同 C.众数不完全相同 D.丁的方差最大【答案】D【解析】【分析】视察四名同学的统计图的特征，四位同学的直方图都关于5环对称，因此它们的平均数都是5，中位数相同，众数明显不完全相同，依据方差的定义分别计算四名同学的方差即可得出结论.【详解】解：由图的对称性可知，平均数都为；由图易知，四组数据的众数不完全相同，中位数相同；记甲、乙、丙、丁图所对应的方差分别为，则，，，，所以丙的方差最大．故选：D．【点睛】本小题考查统计图表、数字特征的概念等基础学问；考查运算求解实力；考查数形结合思想、统计与概率思想；考查直观想象、数据处理、数学运算等核心素养，体现基础性、应用性．10.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.函数的最小正周期是B.函数在区间上是减函数C.函数的图象关于对称D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到【答案】B【解析】【分析】先将化简为，再逐个选项推断即可．【详解】A选项，因为，则的最小正周期，结论错误；B选项，当时，，则在区间上是减函数，结论正确；C选项，因为，则的图象不关于直线对称，结论错误；D选项，设，则，结论错误．故选：B【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.11.已知A是函数的最大值，若存在实数使得对随意实数x，总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过两角和与差的正弦公式化简函数为，再由存在实数使得对随意实数x，总有成立，得到再求解.【详解】依据题意，A=3又因为存在实数使得对随意实数x，总有成立所以所以故选：C【点睛】本题主要考查了两角和与差三角函数及三角函数图象与性质的应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.12.如图，在半径为1的扇形AOB中（O为原点），．点P（x，y）是上随意一点，则xy+x+y的最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα利用三角函数有关公式化简，即可求解最大值．【详解】由题意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα，设t=sinα+cosα，则t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=，则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=t=sinα+cosα=sin（α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴.∴当t=时，xy+x+y取得最大值为：．故选D．【点睛】本题考查了三角函数的性质和转换思想的应用，由t=sinα+cosα，则t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=，将xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=+t=（t-1）2，转化为二次函数问题，属于中档题；二、填空题13.已知，则________.【答案】【解析】【分析】设,再换元得,再利用和差角公式求解即可.【详解】设,则,所以,又故答案为【点睛】本题主要考查换元法,将已知角设成,再反解求出所求三角函数的角,再利用和差角公式化简计算.14.从某单位45名职工中随机抽取6名职工参与一项社区服务活动，用随机数法确定这6名职工.选取方法是先将45名职工编号，分别为01，02，03，…，45，然后从下面的随机数表第一行的第5列的数字7起先由左到右依次选取两个数字，从而确定6个个体的编号，则选出的第6个职工的编号为______________.【答案】35【解析】【分析】由随机数表法的读数方法，求解即可.【详解】采纳随机数表法在读数中出现的相同数据只取一次，不在编号01，02，03，…，45范围的数据要剔除，则选出的6个职工的编号分别为：，即选出的第6个职工的编号为故答案为：【点睛】本题主要考查了随机数表法的应用，属于基础题.15.如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一半为半径在正方形内作圆弧得到的.现等可能地在该正方形内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为______.【答案】【解析】【分析】依据题意，设正方形的边长为，计算阴影部分的面积，与正方形面积作比，即为几何概型的概率.【详解】设正方形的边长为，则空白部分的面积为，因此所求概率为.故答案为：【点睛】本题考查面积型几何概型，属于基础题.16.关于函数有下列四个结论：①是偶函数②在区间单调递减③在区间上的值域为④当时，恒成立其中正确结论的编号是____________（填入全部正确结论的序号）．【答案】①③④【解析】【分析】，所以是偶函数；，所以在区间不是单调函数；依据是偶函数求出的值域即的值域；分类探讨时，再探讨时，求的范围.【详解】①，，所以偶函数；②，即，所以在区间不是单调递减；③是偶函数，在区间上的值域即的值域，此时，，所以在区间上的值域为；④当时，，，，当时，，，，综上：当时，恒成立.故答案为：①③④【点睛】此题考查探讨三角函数的奇偶性、单调性，以及依据已知条件求值域，涉及分类探讨的思想.三、解答题17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根三角函数的定义，即可求解，得到答案；（2）利用三角函数的诱导公式，化简得到原式，代入求解.【详解】（1）由题意角的终边经过点，可得，依据三角函数的定义，可得.（2）由三角函数的诱导公式，可得.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式，精确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.18.设两个向量，，满意，.(1)若，求、的夹角；(2)若、夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)且.【解析】【分析】(1)依据可求出，再利用向量夹角公式，即可求出、的夹角；(2)向量与的夹角为钝角，等价转化为且向量与不反向共线，求解即可.【详解】(1)因为，所以，即，又，，所以，所以，又，所以向量、的夹角是.(2)因为向量与的夹角为钝角，所以，且向量与不反向共线，即，又、夹角为，所以，所以，解得，又向量与不反向共线，所以，解得，所以的取值范围是且.【点睛】本题主要考查向量的数量积，向量的夹角公式及共线定理，属于基础题.19.某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：月份12345销量（百台）0.60.81.21.61.8（1）经分析发觉1月到5月的销售量可用线性回来模型拟合该商场空调的月销量（百件）与月份之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回来方程，并预料6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体非常浩大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采纳分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.参考公式与数据：线性回来方程，其中，.【答案】（1）；2.16（百台）；（2）【解析】【分析】（1）由题意计算平均数与回来系数，写出线性回来方程，再利用回来方程计算对应的函数值；（2）利用分层抽样法求得抽取的对应人数，用列举法求得基本领件数，再计算所求的概率值．【详解】（1）因为，所以，则，于是关于的回来直线方程为.当时，（百台）.（2）现采纳分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为，，，，购买意愿为12月份的抽2人记为，，从这6人中随机抽取3人的全部状况为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有、、、，共4种，故所求概率为.【点睛】本题考查了线性回来方程与列举法求古典概型的概率问题，是中档题．20.某学校为担当班主任的老师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采纳随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.（1）求图中的值；（2）估计该校担当班主任的老师月平均通话时长的中位数；（3）在，这两组中采纳分层抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率.【答案】(1)(2)390分钟.(3)【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图中全部矩形的面积和为1，列出方程，即可求解；（2）设该校担当班主任的老师月平均通话时长的中位数为，依据频率分布直方图的中位数的计算方法，即可求解.（3）依据分层抽样，可得在内抽取人，分别记为，在内抽取2人，记为，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】（1）依题意，依据频率分布直方图的性质，可得：，解得.（2）设该校担当班主任的老师月平均通话时长的中位数为.因为前2组的频率之和为，前3组的频率之和为，所以，由，得.所以该校担当班主任的老师月平均通话时长的中位数为390分钟.（3）由题意，可得在内抽取人，分别记为，在内抽取2人，记为，则6人中抽取2人的取法有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种等可能的取法.其中抽取的2人恰在同一组的有，，，，，，，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中熟记频率分布直方图的相关性质，合理利用古典概型及其概率的计算公式，精确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于基础题.21.已知函数，（其中，，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．（1）求的解析式；（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函