非参数升序统计

1/1非参数升序统计第一部分非参数升序统计的定义 2第二部分曼-惠特尼U检验 4第三部分威尔科克森秩和检验 6第四部分独立样本检验 8第五部分配对样本检验 10第六部分克鲁斯卡尔-沃利斯检验 13第七部分弗里德曼检验 16第八部分多重比较方法 20

第一部分非参数升序统计的定义关键词关键要点主题名称：非参数升序统计的范围

1.非参数升序统计是对未知总体分布进行统计推断的一种方法。

2.它基于对样本数据的观测值进行的相对次序或排名，而不是数值本身。

3.非参数升序统计适用于各种分布类型的数据，包括非正态分布和尾部较重的数据。

主题名称：非参数升序统计的秩和检验

非参数升序统计的定义

非参数升序统计是一种非参数统计方法，用于评估一群数据值相对于一个或多个已知参考值或特定假设的分布情况。与参数统计不同，非参数升序统计不需要数据服从特定的概率分布，而是基于数据的排序或排名。

在非参数升序统计中，升序统计用于构建统计量，这些统计量用于测试假设或进行比较。这些假设通常与数据的分布或变量之间的关系有关。常见的非参数升序统计测试包括：

*秩和检验（秩和检验）：用于比较两个独立样本的中位数或总体分布。

*符号检验：用于测试分类变量的分布是否相等。

*Kruskal-Wallis检验：用于比较多个独立样本的中位数或总体分布。

*弗里德曼检验：用于比较重复测量数据的多个相关样本的中位数或总体分布。

非参数升序统计的特点

*对数据分布无假设：非参数升序统计不需要数据服从特定的概率分布。

*基于排序或排名：它们基于对数据样本进行排序或排名，因此对异常值或极端值不敏感。

*非对称分布：非参数升序统计适用于非对称分布或偏态分布的数据。

*较小样本量：非参数升序统计通常适用于较小样本量，因为它们不依赖于正态分布或其他概率分布的假设。

非参数升序统计的优点

*鲁棒性：对异常值或极端值不敏感，因此适用于实际应用中常见的数据类型。

*简单易行：计算和解释相对简单，不需要复杂的参数估计。

*适用广泛：适用于各种类型的数据，包括序数、名义或连续数据。

非参数升序统计的局限性

*效率较低：与参数统计相比，效率较低，尤其是在样本量较大时。

*解释有限：只能提供有限的解释，例如无法估计效应量或置信区间。

*不正态分布：对于正态分布的数据，非参数升序统计的效率低于参数统计。

结论

非参数升序统计是一种有价值的统计方法，适用于无法或不需要假设数据服从特定概率分布的情况。它们具有鲁棒性、简单性和适用广泛的优点，但效率较低且解释有限。因此，在选择统计方法时，需要根据研究目标、数据类型和假设条件仔细权衡这些优点和局限性。第二部分曼-惠特尼U检验曼-惠特尼U检验

简介

曼-惠特尼U检验是一种非参数统计检验，用于比较两个独立样本的分布差异。它是一种秩和检验，依赖于将数据样本替换为秩，即确定每个数据点在合并数据集中的相对位置。

假设

曼-惠特尼U检验基于以下假设：

*两个样本是独立的。

*样本数据是连续的或有序的。

*两个样本服从相同的分布类型。

计算

曼-惠特尼U检验的计算步骤如下：

1.合并数据集：将两个样本合并成一个数据集。

2.分配秩：将合并数据集中的所有数据从小到大分配秩。

3.计算U统计量：对于每个样本，计算该样本中秩的和。U统计量为这两个和之间的差值。

4.确定临界值：根据样本大小和显著性水平，查表确定临界值。

公式

对于样本大小分别为n1和n2的两个样本，U统计量计算如下：

```

U1=n1*n2+n1*(n1+1)/2-ΣR1

U2=n1*n2+n2*(n2+1)/2-ΣR2

```

其中，ΣR1和ΣR2分别是样本1和样本2中秩的和。较小的U统计量成为观测U。

检验过程

1.提出假设：提出零假设（H0：两个样本来自同一分布）和备择假设（H1：两个样本来自不同分布）。

2.计算U统计量：根据上述步骤计算U统计量。

3.确定临界值：根据显著性水平和样本大小确定临界值。

4.比较U统计量和临界值：如果观测U小于或等于临界值，则拒绝零假设。

5.得出结论：如果零假设被拒绝，则得出结论两个样本来自不同分布。

优点

*对数据分布类型没有严格要求。

*对异常值不敏感。

*相对于参数检验，计算简单。

缺点

*对于小样本，检验能力较低。

*不提供样本均值差异的估计。

*随着样本量的增加，检验能力逐渐降低。

应用

曼-惠特尼U检验常用于以下场景：

*比较两个组的测量水平的中位数差异（例如，治疗组和对照组的治疗效果）。

*分析有序分类数据的差异（例如，教育水平或收入等级）。

*评估两组独立样本之间的非线性关系。第三部分威尔科克森秩和检验威尔科克森秩和检验

定义

威尔科克森秩和检验是一种非参数检验，用于比较两个独立样本的中位数是否相等。它基于对样本数据进行排序并计算每个样本的秩和（排名总和）。

假设

*独立性：两个样本必须是独立的，即一个样本中的观测值不会影响另一个样本中的观测值。

*连续数据：数据可以是序数或连续的，但必须可以排序。

*对称分布：两个样本的分布可以是对称的（接近正态分布），也可以是不对称的。

步骤

1.合并数据：将两个样本的数据合并为一个数据集。

2.排序数据：对合并后的数据集按升序或降序排序。

3.分配秩：给每个数据点分配一个秩，从1（最小值）到N（最大值），其中N是合并数据集中的观测值总数。如果有多个数据点具有相同的值，则将相应的秩求平均值。

4.计算秩和：分别计算每个样本的秩和：

-小样本秩和：W1=小样本中排名值的总和

-大样本秩和：W2=大样本中排名值的总和

5.计算检验统计量：检验统计量U定义为：

-U1=min(W1,W2,n1*n2)

-U2=n1*n2+U1-W1

其中，n1和n2是两个样本的大小。

6.确定临界值：利用秩和分布表或软件获得指定显著性水平下的临界值。

决策规则

*如果U1或U2小于临界值，则拒绝原假设（中位数相等）。

*如果U1或U2大于或等于临界值，则接受原假设。

优点

*对分布类型没有严格要求。

*适用于样本大小较小的情况（n1+n2<20）。

*可以处理非正态分布的数据。

缺点

*仅测试中位数的差异，而不测试样本均值的差异。

*对于大样本，计算可能很耗时。

*对极端值敏感。第四部分独立样本检验关键词关键要点【独立样本检验】

1.独立样本检验用于比较两个或多个独立样本的分布。

2.常见的独立样本检验方法包括：曼-惠特尼U检验、秩总和检验和Kruskal-Wallis检验。

3.选择检验方法取决于样本数据的分布和研究假设。

【Wilcoxon带符号秩和检验】

独立样本检验

非参数独立样本检验是用于比较两个或多个独立样本分布差异的一种统计方法。它们不假设正态分布或相等方差，因此可以应用于各种类型的数据。

常见的非参数独立样本检验：

1.曼-惠特尼U检验（WilcoxonRank-SumTest）

*适用情况：比较两个独立群体的中位数。

*假设：数据为连续型，样本容量相等或不相等，分布类型无特殊限制。

2.秩和检验（WilcoxonRank-SumTestforTiedRanks）

*适用情况：与曼-惠特尼U检验类似，但数据中存在相等值（重复值）。

*假设：相同于曼-惠特尼U检验。

3.克鲁斯卡尔-沃利斯检验（Kruskal-WallisTest）

*适用情况：比较三个或多个独立群体的中位数。

*假设：数据为连续型或序数型，分布类型无特殊限制。

4.弗里德曼检验（FriedmanTest）

*适用情况：比较多个相关组内变量的中位数。

*假设：数据为序数型，样本容量相等，重复测量数据。

5.科尔莫哥罗夫-斯米诺夫检验（Kolmogorov-SmirnovTest）

*适用情况：比较两个独立样本的分布函数。

*假设：数据为连续型，分布类型无特殊限制。

6.安德森-达林检验（Anderson-DarlingTest）

*适用情况：与科尔莫哥罗夫-斯米诺夫检验类似，但对不同分布形状的敏感性更高。

*假设：数据为连续型，分布类型无特殊限制。

独立样本检验步骤：

1.陈述假设：提出零假设（H0：样本分布相同）和备择假设（H1：样本分布不同）。

2.选择检验方法：根据数据的类型和研究问题选择合适的检验方法。

3.计算检验统计量：应用所选检验方法计算相应统计量。

4.确定临界值：根据自由度和显著性水平查找统计量分布的临界值。

5.做出决定：比较检验统计量和临界值，如果检验统计量大于临界值，则拒绝零假设，表明样本分布不同；否则，接受零假设。

优缺点：

优点：

*不受正态分布或相等方差的假设限制。

*适用于各种类型的数据，包括序数型数据。

*简单易懂，计算方便。

缺点：

*检验效力可能低于参数检验（假设正态分布）。

*当样本容量较大时，可能缺乏灵敏性。

*某些检验（如曼-惠特尼U检验）对相等值敏感。第五部分配对样本检验关键词关键要点【配对样本检验】：

1.配对样本检验是用于比较配对样本之间差异的非参数检验。

2.配对样本是指两个相关样本中，每个样本中的个体之间具有某种联系或配对关系。

3.配对样本检验的优点在于，它消除了配对个体之间的差异对检验结果的影响，从而提高了检验的灵敏度。

【威尔科克森符号秩检验】：

配对样本检验

当研究者无法随机分配受试者或对相同个体进行多次测量时，配对样本检验被用于比较两组相关变量。配对样本检验利用成对观测值之间的差异，从而消除了个体差异的影响。

威尔科克森符号秩检验

威尔科克森符号秩检验是一种非参数配对样本检验，用于比较两个相关样本的中位数。该检验基于符号秩和，符号秩是指将成对差异有序后，分配给正负差异的秩。

计算步骤：

1.计算每个样本对之间的差异。

2.将差异从小到大排序，并对正负差异分配符号秩。

3.分别计算正负符号秩的和。

假设检验：

假设检验的零假设是两组变量的中位数相等。检验统计量为符号秩和的较小值，其分布在已知分布下。

决策规则：

*如果检验统计量低于临界值（通常为0.05），则拒绝原假设，表明两组变量的中位数存在差异。

*否则，接受原假设，表明两组变量的中位数没有差异。

曼-惠特尼U检验

曼-惠特尼U检验是一种非参数配对样本检验，用于比较两个相关样本的分布。该检验基于两个样本观测值合并后的秩和。

计算步骤：

1.将两个样本观测值合并成一个样本。

2.对合并样本进行排序，并分配秩。

3.分别计算每个原始样本中观测值的秩和。

假设检验：

假设检验的零假设是两个样本来自具有相同分布的总体。检验统计量为较小的秩和，其分布在已知分布下。

决策规则：

*如果检验统计量低于临界值（通常为0.05），则拒绝原假设，表明两个样本来自不同分布的总体。

*否则，接受原假设，表明两个样本来自具有相同分布的总体。

麦克尼马尔检验

麦克尼马尔检验是一种非参数配对样本检验，用于比较分类数据的两个相关样本。该检验基于频率表，其中包含两组样本中观测值的分类情况。

计算步骤：

1.创建一个2x2频率表，其中包含两组样本中观测值的分类情况。

2.计算对角线元素的差值（a-d）。

假设检验：

假设检验的零假设是两个样本之间的分类情况没有差异。检验统计量是Chi平方分布的平方和，其公式为：

```

χ²=(a-d)²/(a+b)+(a-d)²/(a+c)

```

决策规则：

*如果检验统计量大于临界值（通常为0.05），则拒绝原假设，表明两组样本之间的分类情况存在差异。

*否则，接受原假设，表明两组样本之间的分类情况没有差异。

优势

*配对样本检验不需要对数据分布做出假设。

*配对样本检验消除了个体差异的影响，提高了检验的灵敏度。

*麦克尼马尔检验适用于分类数据，不需要对观测值进行排序。

局限性

*配对样本检验的前提是成对观测值之间存在依赖关系。

*配对样本检验对缺失数据敏感，缺失数据可能会降低检验的灵敏度。

*麦克尼马尔检验只能用于2x2频率表，无法处理更多分类的情况。第六部分克鲁斯卡尔-沃利斯检验关键词关键要点克鲁斯卡尔-沃利斯检验的假设

1.独立性假设：观测值在不同处理组之间相互独立。

2.顺序性假设：观测值可以按照某一序次性变量进行排序。

3.分布假设：各处理组的分布相同，仅中位数存在差异。

克鲁斯卡尔-沃利斯检验的检验统计量

1.计算方法：首先将观测值按序次性变量从小到大排列，然后计算各处理组的秩和。检验统计量H为组间秩和的平方和与总秩和的比值。

2.分布：H服从近似于卡方分布的自由度为处理组数减1的分布。

3.检验过程：比较H值与临界值，若H大于临界值，则拒绝原假设，认为处理组之间存在中位数差异。克鲁斯卡尔-沃利斯检验

简介

克鲁斯卡尔-沃利斯检验（Kruskal-Wallistest），也称为秩和检验，是一种非参数检验，用于比较三个或更多独立组之间中位数的差异。它类似于单向方差分析（ANOVA），但适用于序数数据，即数据只能按大小顺序排列，而不是间隔或比率数据。

假设

*数据是序数数据。

*组是独立的。

*每个组的分布形状相同。

统计量

克鲁斯卡尔-沃利斯检验统计量H定义为：

```

H=(12/N(N+1))*ΣRi²-3(N+1)

```

其中：

*N是总样本量。

*Ri是第i组的秩和。

检验程序

1.分配秩值：将所有数据合并并按升序排列。对每个数据点分配其秩值（从1到N）。

2.计算秩和：对于每个组，计算所有秩值的总和，得到秩和Ri。

3.计算H统计量：使用上述公式计算H统计量。

4.计算p值：在卡方分布自由度为k-1（其中k是组数）下查找H统计量的p值。

解释结果

*如果p值小于显著性水平（通常为0.05）：这表明组之间存在中位数的统计学差异。

*如果p值大于显著性水平：则没有证据表明组之间存在中位数的差异。

优点

*适用于序数数据。

*对数据的分布形状不敏感。

*操作简单，不需要正态分布或等方差性假设。

缺点

*对小样本量不太灵敏。

*不能提供组间差异的具体位置信息。

*如果数据分布存在明显偏差，可能不准确。

应用

克鲁斯卡尔-沃利斯检验可用于各种应用，包括：

*比较不同治疗组的中位数有效性。

*比较不同条件下的中位数反应时间。

*比较不同类别中位数的收入差异。

*识别影响中位数结果的关键因素。

附录：示例计算

假设有三个独立组，每个组有5个数据点：

|组|数据|秩|

||||

|A|2,4,6,8,10|3,5,7,9,11|

|B|1,3,5,7,9|1,2,4,6,8|

|C|0,2,4,6,8|0,3,5,7,9|

秩和：

*组A：Ri=3+5+7+9+11=35

*组B：Ri=1+2+4+6+8=21

*组C：Ri=0+3+5+7+9=24

H统计量：

```

H=(12/20(20+1))*(35²+21²+24²)-3(20+1)=5.83

```

自由度：k-1=3-1=2

p值：卡方分布自由度为2，H统计量为5.83，p值=0.054

结论：在显著性水平0.05下，没有证据表明三个组之间存在中位数的差异。第七部分弗里德曼检验关键词关键要点弗里德曼检验

1.弗里德曼检验是一种非参数升序检验，用于确定多个相关样本的中心位置是否存在差异。

2.该检验假设样本在时间序列或其他有序条件下是相关的，并且排名是相同的。

3.弗里德曼检验基于威廉-弗里德曼统计量，该统计量度量样本排名差异。

威廉-弗里德曼统计量

1.威廉-弗里德曼统计量是弗里德曼检验的核心，其值为样本排名方差与总方差的比值。

2.统计量服从卡方分布，自由度等于样本数减一。

3.大的统计量值表示样本排名差异大，表明中心位置可能存在差异。

弗里德曼检验的假设

1.弗里德曼检验有两个假设：

-原假设（H0）：样本中心位置相同。

-备择假设（Ha）：样本中心位置存在差异。

2.检验程序涉及计算威廉-弗里德曼统计量并将其与临界值进行比较。

3.如果统计量大于临界值，则拒绝原假设并得出结论认为样本中心位置存在差异。

弗里德曼检验的应用

1.弗里德曼检验广泛应用于多种领域，包括心理学、社会学和医学。

2.它可以用于分析受试者对不同处理方法的反应，评估小组内随着时间的推移的差异，或确定不同年龄组之间的态度差异。

3.弗里德曼检验为研究人员提供了一种可靠的方法，用于确定多个相关样本之间中心位置是否存在的差异。

弗里德曼检验的局限性

1.弗里德曼检验是一种非参数检验，这意味着它不假设数据服从任何特定的分布。

2.然而，它对样本规模敏感，大样本中可能会发现小的差异。

3.此外，弗里德曼检验不能确定哪些样本之间的中心位置存在差异。

弗里德曼检验的扩展

1.弗里德曼检验已扩展为用于分析更复杂的数据结构，例如阻塞设计。

2.排列检验和非参数多重比较程序可以用于进一步探索弗里德曼检验的结果。

3.研究人员不断开发新的方法来提高弗里德曼检验的准确性和灵活性。弗里德曼检验

弗里德曼检验是一种非参数秩和检验，用于比较k个相关样本组之间的差异，每个样本组内有多个观测值。它适用于k≥3的情况，且假设观测值是独立同分布的。

检验过程

1.秩变换：对每个样本组内的数据进行秩变换，即将观测值从小到大排序，并将其替换为相应的秩值。

2.秩和计算：计算每个样本组的秩和，即各个秩值的总和。

3.弗里德曼统计量：计算弗里德曼统计量：

```

χ²=12N/(k(k+1))*(ΣR²-3N(k+1)/2)

```

其中：

*N：样本数量

*k：组数

*R：每个组的秩和

4.临界值：根据自由度（df=k-1）和显著性水平（α）从χ²分布表中查找临界值。

5.假设检验：如果弗里德曼统计量大于临界值，则拒绝零假设（H0），即认为组间存在差异。

优势

*不受数据分布形式的限制，适用于各种数据类型。

*适用于小样本量的情况（与ANOVA相比）。

*易于理解和计算。

局限性

*秩变换会丢失原始数据信息，导致检验结果的效率降低。

*如果组内存在大量重复值，可能会降低检验的灵敏性。

*对于组数较多（k>10）的情况，检验的准确性会下降。

应用

弗里德曼检验广泛应用于各种领域，包括：

*心理学：比较不同治疗方法的有效性。

*医学：比较不同药物的疗效。

*商业：比较不同营销策略的成效。

*农业：比较不同作物品种的产量。

示例

假设我们有一组数据，其中三个小组（A、B、C）分别接受了不同类型的治疗。我们希望检验不同治疗方法之间是否有差异。

|小组|观测值|秩|秩和|

|||||

|A|12|2|6|

|A|10|1|7|

|A|15|3|10|

|B|11|1|3|

|B|13|2|5|

|B|14|3|8|

|C|8|1|3|

|C|9|2|5|

|C|7|3|8|

弗里德曼统计量：

```

χ²=12N/(k(k+1))*(ΣR²-3N(k+1)/2)

=12*9/(3*(3+1))*(36-3*9*(3+1)/2)

=36

```

自由度：2

显著性水平：0.05

临界值：5.991

由于弗里德曼统计量（36）大于临界值（5.991），因此我们拒绝零假设，即认为不同的治疗方法之间存在差异。第八部分多重比较方法关键词关键要点多元方差分析的TukeyHSD检验

1.TukeyHSD检验是多元方差分析中的一项多重比较方法，用于检验同一因变量对不同组均值差别的显著性。

2.该检验采用了honestlysignificantdifference（HSD）原理，通过计算组间均值差的标准误差和临界范围，判断均值差是否具有统计学意义。

3.TukeyHSD检验在组数较少（<6）时具有较好的控制错误率，但随着组数增加，其保守性增加。

多元方差分析的Scheffé检验

1.Scheffé检验是多元方差分析中另一种多重比较方法，其假设为组均值呈正态分布且方差齐。

2.该检验采用最大比较数方法，计算所有可能的组间比较的检验统计量，然后与临界值进行比较。

3.Scheffé检验对组数较多时控制错误率较好，但其严格性较高，可能导致一些有显著差别的组均值无法被检出。

Dunnett检验

1.Dunnett检验是专为单组与多组之间的多重比较而设计的，其中单组为对照组。

2.该检验采用控制总体错误率（FWE）的方法，通过计算所有比较的t值和调整的临界值来判断差异的显著性。

3.Dunnett检验可以控制错误率，但其依赖正态分布和方差齐假设，并且在组数较多时会较保守。

Bonferroni检验

1.Bonferroni检验是一种保守的多重比较方法，适用于任何数量组的均值比较。

2.该检验将α值（总体错误率）除以所有可能的比较数，得到每个比较的调整后的临界值。

3.Bonferroni检验虽然简单易用，但其控制错误率的方式过于保守，可能导致一些有意义的差异无法被检出。

Holm-Bonferroni检验

1.Holm-Bonferroni检验是对Bonferroni检验的改进，它采用了逐步修正临界值的方法。

2.该检验计算每个比较的调整后的临界值，并从最大临界值开始逐个比较。

3.Holm-Bonferroni检验比Bonferroni检验控制错误率更严格，但它允许更多有意义的差异被检出。

Benjamini-Hochberg检验

1.Benjamini-Hochberg检验是一种控制错误发现率（FDR）的多重比较方法，适用于大量比较的情况。

2.该检验计算每个比较的q值，并将其与预先设定的FDR阈值相比较。

3.Benjamini-Hochberg检验可以控制FDR，并且在大量比较时比其他方法更灵敏，但它可能导致更多的假阳性。非参数升序统计中的多重比较方法

引言

非参数升序统计用于分析定序数据，即只能排列顺序但无法进行精确度量的数据。在非参数升序统计中，多重比较方法用于比较多个处理组之间的差异。本文将详细介绍非参数升序统计中的多重比较方法，包括其原则、常用的方法和应用。

多重比较的原则

多重比较涉及同时对多个假设进行检验，这会增加I型错误（错误拒绝原假设）的风险。为了控制I型错误率，需要使用多重比较方法。这些方法通过调整检验的临界值或p值来减少犯I型错误的风险。

常用的多重比较方法

1.Bonferroni校正

最简单的多重比较方法是Bonferroni校正。它将每个假设的显著性水平除以比较的次数（k）。例如，如果进行5次比较，则每个假设的校正后的显著性水平为0.05/5=0.01。

2.Sidak校正

Sidak校正是一种更强大的校正方法，它考虑了比较中的相互依赖性。它将每个假设的显著性水平乘以(1-α)^k-1，其中α是总体显著性水平。例如，对于总体显著性水平为0.05和5次比较，每个假设的校正后的显著性水平为0.05*(1-0.05)^4=0.0063。

3.Holm-Bonferroni方法

Holm-Bonferroni方法是一种分步程序，更有效地控制了I型错误率。它按递增顺序对p值进行排序，并从最小的p值开始比较。每个比较的p值都与调整后的显著性水平进行比较，该显著性水平由总体显著性水平除以未进行比较的假设数量确定。

4.Hochberg方法

Hochberg方法是Holm-Bonferroni方法的一个变体，它提供了更强大的控制。它使用相同的分步程序，但使用不同的调整因子，从而导致更低的I型错误率。

5.Benjamini-Hochber