2020-2021学年江苏省常州市教学研究合作联盟高一下学期3月阶段调研数学试题解析版

试卷第=page22页，共=sectionpages44页第Page\*MergeFormat16页共NUMPAGES\*MergeFormat16页2020-2021学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高一下学期3月阶段调研数学试题一、单选题1．的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式以及两角差的正弦公式化简可得结果.【详解】，因此，.故选：C.2．已知向量，，，若，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出，再利用向量共线的坐标表示列方程即可求解.【详解】因为，，所以，因为，所以，解得：.故选：D3．已知，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角间的商数关系进行切化弦，化简整理后逆用两角差的正弦公式即可求出结果.【详解】因为，所以，则，，，，.故选：C.4．已知角的终边过点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的值，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式可求得结果.【详解】由三角函数的定义可得，则，因此，.故选：D.5．在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，则=（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据已知条件，由向量的加减运算法可得，的坐标，利用向量的数量积即可得到．【详解】在平行四边形中，，，，，则．故选C．【点睛】本题主要考查向量的加减运算以及向量数量积的运算，属于基础题．6．定义运算，若，则等于A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：由定义运算知，即，又，又，，．【解析】同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用7．若函数在区间内单调递减，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得解.【详解】当且时，，因为余弦函数的单调递减区间为，所以，，所以，，解得，由，可得，且，，.因此，的最大值为.故选：D.8．在边长为的正方形中，动点和分别在边和上，且，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的代数式，结合基本不等式可求得的最小值.【详解】如下图所示：，，由已知可得，，解得，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.二、多选题9．设、都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使成立的是（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】分析可知、方向相反，由此可出合适的选项.【详解】因为与同向的单位向量为，与同向的单位向量为，若，则、方向相反.故选：AD.10．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（）A．函数图象可以由函数的图象向左平移得到B．函数在上为增函数C．直线是函数图象的一条对称轴D．点是函数图象的一个对称中心【答案】BD【分析】先根据周期求出，得到，对四个选项一一验证：对于A：利用图像的相位变换进行验证；对于B：直接利用复合函数同增异减可以验证；对于C：用代入法进行验证；对于D：用代入法进行验证.【详解】，因为函数的最小正周期为π，所以，解得：.所以.对于A：函数的图象向左平移得到，即，故A错误；对于B：当时，，因为为增函数和在为增函数，所以函数在上为增函数.故B正确；对于C：当时，，所以直线不是函数图象的一条对称轴.故C错误；对于D：当时，，所以点是函数图象的一个对称中心.故D正确.故选：BD.11．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【详解】在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且．在A中，，故A正确；在B中，，故B错误；在C中，，故正确；在D中，，若，则，不合题意，故D错误．故选：AC12．已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由题意利用三角恒等变换化简的解析式，根据值域为，，求出定义域，作差判断即可．【详解】解：函数，的值域为，即，，所以，，故，，，，所以最大为；当最小时，，，此时，，综上，.故选：CD．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，二倍角公式，函数的定义域和值域，属于中档题．三、填空题13．若平面向量与的夹角为，，，则________.【答案】【分析】计算出，利用平面向量数量积可计算得出的值.【详解】由已知可得，由平面向量数量积的定义可得，因为.因此，.故答案为：.14．已知且，则的值为________.【答案】【分析】将变形为，构成齐次式，然后可解出，再将变形为，即可求解.【详解】因为，则，由于，所以，所以两边同除以，得，因为，解得，而，故答案为：.15．已知函数，将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，则的最小值为________.【答案】【分析】将函数转化为，再利用伸缩变换得到，根据求解.【详解】函数，，，由题意得：，所以时，，且，因为，所以同时对应函数的最大值点和最小值点，所以的最小值为，故答案为：四、双空题16．在四边形中，，，，，，则实数的值为_______，若是线段上的动点，且，则的最小值为________.【答案】【分析】（1）根据和向量的数量积定义式计算；（2）建立平面坐标系，设，用表示出，根据二次函数性质得出最小值．【详解】解：，，，，，；过作，垂足为，则，，，以为原点，以，所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：则，设，，，，，，当时，取得最小值．故答案为：；．【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．五、解答题17．已知、、，设，，，且，.（1）求满足的实数、；（2）求、的坐标及向量的坐标.【答案】（1）；（2）、，.【分析】（1）根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值；（2）利用平面向量的坐标运算求出点、的坐标，进而可求得向量的坐标.【详解】（1）由题意得，，，所以，，因为，所以，，解得；（2）设为坐标原点，，，所以点的坐标为，又，，所以，点的坐标为，故．18．已知函数.（1）求函数的单调减区间；（2）求函数的对称轴及对称中心.【答案】（1）；（2）对称轴为，对称中心为.【分析】（1）根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式可得出，然后解即可得出的单调减区间；（2）分别解，即可得出的对称轴及对称中心．【详解】解：（1），由解得：，所以的单调减区间为；（2）由，解得，所以函数的对称轴为，由，解得，所以函数的对称中心为.19．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.（1）用，表示，，（2）求与夹角的余弦值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.【详解】解法一：（1）由图可知.因为E是CD的中点，所以.（2）因为，为等边三角形，所以，，所以，所以，.设与的夹角为，则，所以在与夹角的余弦值为.解法二：（1）同解法一.（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，.因为E是CD的中点，所以，所以，，所以，.设与的夹角为，则，所以与夹角的余弦值为.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．20．如图，正方形ABCD边长为5，其中AEF是一个半径为4的扇形，在弧EF上有一个动点Q，过Q作正方形边长BC，CD的垂线分别交BC，CD于G，H，设，长方形QGCH的面积为S.（1）求关于的函数解析式；（2）求的最大值.【答案】（1），；（2）5.【分析】（1）先根据题意计算在竖直方向上和水平方向上的投影的长度，即可计算的长度，计算长方形QGCH的面积再化简即得结果；（2）先换元，确定新元的范围和函数，再根据二次函数求最值即得结果.【详解】解：⑴，则在竖直方向上的投影的长度为，在水平方向上的投影长度为，故，，，，整理得：，；（2），，令，即，平方可得，当时，可求得.，，根据二次函数对称性可知，当时，.【点睛】方法点睛：求含有正余弦函数的和（或差）及乘积的函数求最值（范围）时，常进行三角换元，令和（或差）为新变量，形成二次函数，求二次函数最值（范围）即可.21．函数的部分图象如图所示.（1）求的最小正周期；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由图象可求得最小正周期；（2）由图得最小正周期可求得，由，可求得，从而可得的解析式，由的取值范围及同角三角函数的基本关系可得，再利用诱导公式和两角差的正弦公式计算即可得解．【详解】（1）由的图象可得，即最小正周期为；（2）由，可得，所以，又由，可得，又因为，所以，所以，由，因为，可得，所以，则.22．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量.（1）设函数，试求的伴随向量；（2）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）根据辅助角公式进行化简，结合伴随向量的定义进行求解即可；（2）根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合向量垂直建立方程关系进行求解．【详解】（1）∵，∴，∴的伴随向量；（2）由（1）知：，将函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的