课题学习 最短路径问题 课件2023-2024学年人教版八年级数学上册

13.4课题学习最短路径问题八年级情景引入①

②③

情景1：如图所示，某部队从A地到B地有三条路可供选择，如果你是部队首长，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？解：两点之间，线段最短情景引入情景2：如图，某部队需由A地步行到B地，但是A、B之间有条河L(必须要过河），如果你是部队首长，你该如何选择线路？作法：连接A、B交直线L于点C，则点C即为所求。情景引入·AL·B·CB··AL

情景3：如图，部队需由A地步行到B地，但是必须先到河边（直线L)补充水源，如果你是部队首长，你该如何选择最短的线路？情景引入（1）在河边补给水源的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到补水地点，再回到B地的路程之和；

探索新知

情景3的问题分析探索新知

情景3的问题分析（2）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线L上的点．设C为直线L上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在L的什么位置时，AC与CB的和最小。（如右图）BALC追问1：对于上述问题，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·C·追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点C吗？探索新知问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·探索新知如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；B·lA·B′（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．C··证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′证明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′想想：证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′知识巩固如图，在等边△ABC中，边BC的高AD=5，点P是高AD上的一个动点，E是边AB的中点，在点P运动的过程中，PE+PB的最小值是多少？知识巩固问题分析（1）题目所求可转化为将军饮马问题（2）只需找到点E关于AD的对称点F，连接BF交AD的点，即使最小值得点P.线段BF的长度即为所求。解：过点E做关于AD的对称点F.,连结BF,如图所示∵E为AB的中点∴F为AC的中点∴BF为BC边的高又∵△ABC为等边三角形∴BF=AD=5知识巩固实战演练练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥实战演练基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC