五年级上册数学培优奥数讲义-第18讲 不定方程的应用

第18讲不定方程的应用知识与方法不定方程在实际应用中十分广泛，当题目中所求问题多于1个，而等量关系式不足时，我们可以通过列不定方程来解决。解不定方程应用题的步骤：1、根据题意列出不定方程；2、确定结果的范围和特征；3、解不定方程。初级挑战1工程队要铺设28米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子。问：可以有多少种不同的取法？思路引领：题目中涉及两种不同长度的管道，我们不妨设3米长的管子有根,5米长的管子有根，根据题意、必须是整数，解不定方程得到的每一组解，即是其中的一种取法。答案：解:设3米的管子有根,5米的管子有根，那么列方程为：解得：，。即有2种不同的取法：3米长的管子1根，5米长的管子5根；或3米长的管子6根，5米长的管子2根。能力探索1三年级小朋友做投球游戏，把红、黄两种颜色的球投到5米外的小铁筐里，每投进一个红球得10分，投进一个黄球得9分。马小红一共得了64分，她投进了多少个红球？答案：解:设马小红投进个红球,投进个黄球，（、为自然数），那么列方程为：解得：，即投进1个红球。初级挑战2一个人的出生月份乘以45加上出生日期，和为100，这个人出生在几月几日？思路引领：根据题意，可以设这个人出生在月日，那么可根据题意列出方程。其中、均是非零自然数，且不大于12，不大于31。答案：解得：，。因为日期不大于31，所以只有一组解符合题意，即这个人出生在2月10日。能力探索2已知面包车可以载6个客人，小车可以载4个客人。现有38个客人，若要使每个客人都有座位且没有空位，要求面包车的辆数大于3辆，问小车和面包车各需几辆？答案：解：设面包车有辆，小车有辆，其中＞3。根据题意列出方程。因为＞3，所以解得：，即面包车有5辆，小车有2辆。中级挑战1小华和小强各自用6元4角买了若干支铅笔，他们买的铅笔都是5角一支和7角一支的，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来铅笔多少支？思路引领：因为两人用钱总数一样，铅笔单价也一样，所以列出一组题中的数量关系即可，注意单位的统一。根据题意列出不定方程，从不定方程解中分析，他们分别买了两种铅笔多少支。答案：6元4角＝64角解：设买7角的铅笔支，5角的铅笔支。（、为非零自然数）。列不定方程：解得：，。因为小华买来的铅笔比小强多，2＋10＞7＋3，所以小华买了2支7角铅笔，10支5角铅笔，共12支铅笔。小强买了7支7角铅笔，3支5角铅笔，共10支铅笔。小华比小强多买铅笔：12－10＝2（支）。能力探索3买每支5角的A种铅笔和每支3角的B种铅笔各若干支，每种铅笔都要买3支或3支以上，共花了4元5角。问两种铅笔各买了几支？答案：解：设A种铅笔买了支，B种铅笔买了支。、为非零自然数且最小都是3。依题意得：解得：，。、都大于等于3，都符合要求。答：A种铅笔买6支，B种铅笔买5支或A种铅笔买3支，B种铅笔买10支。中级挑战2篮球、排球、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，且篮球比排球少。求其中排球的个数。思路引领：本题中虽然有三个未知数，但已知篮球个数与足球个数的倍数关系，所以只需设两个未知数，再根据数量关系列出不定方程。答案：解：设足球有个，排球有个，则篮球有7个。根据题意列方程：＋7＋＝258＋＝25解得：，，。又因为篮球比排球少，所以只有符合题意。即排球的个数是17个。能力探索4甲、乙、丙三个同学共栽树55棵，甲栽的棵数是乙的2倍，丙栽得最少且只栽了十几棵，三人各栽了多少棵？答案解：设乙栽树棵，甲栽树2棵，丙栽树棵。即，因为10＜＜20，解得：，，。但只有第三组解满足丙栽得最少。只有符合要求。甲：2×14＝28（棵）。答：甲栽28棵，乙栽14棵，丙栽13棵。聪明泉数学家熊庆来熊庆来(1893—1969)，字迪之，云南弥勒人。中国古代数学领域曾有过许多极为辉煌的成就，而现代数学的发端则起始于一些留学生，熊庆来就是其中之一。他早年留学法国，毕生追求“科学救国、教育救国”的思想，以数学为终生专业，致力于为国家培育人材，华罗庚、陈省身等知名数学家皆出自他门下。熊庆来可称作“中国近代数学研究和教育的奠基人”。1926年，清华学校改办大学，又聘请熊庆来去创办算学系。他在任清华算学系系主任的九年间，又辛勤培养了一大批在国内外享有盛誉的优秀人才。1930年，他在清华大学当数学系主任时，偶然从学术杂志上发现了华罗庚的名字，了解到华罗庚的自学经历和数学才华以后，毅然打破常规，请只有初中文化程度的19岁的华罗庚到清华大学。在熊庆来的培养下，华罗庚后来成为著名的数学家。拓展挑战一个两位数除以5所得的商等于这个两位数各位数字之和，求这个两位数。思路引领：未知数为两位数，设为，即个位数字是a,十位数字是b。那么这个两位数用字母表示是：10b＋a。再根据题中数量关系，列出不定方程。5（a＋b）＝a＋10b5a＋5b＝a＋10b4a＝5b因为a、b都是整数且均小于或等于9，解得：a＝5，b＝4。所以这个两位数是45。能力探索5一个两位数等于它的各位数字之和的8倍，求这个两位数。答案：解：设这个两位数的个位为a,十位为b，两位数的值为a＋10b，则列方程为：8(a＋b)＝10b＋a8a＋8b＝10b＋a7a＝2b因为a、b都是整数且均小于等于9，解得：b＝7，a＝2，所以这个数是72。课堂小测：1、某商店卖出一些3元一支和7元一支的钢笔，共收入29元，求卖了钢笔多少支？答案：解:设3元的钢笔有支,7元的钢笔有支，那么列方程为：解得：。即卖了钢笔5＋2＝7（支）。2、一只箱中装有若干只蟋蟀（6只脚）与蜘蛛（8只脚），它们共有46只脚，且蟋蟀的只数大于3只，问蟋蟀和蜘蛛各有多少只？答案：解:设有只蟋蟀,有只蜘蛛，那么列方程为：解得：，。因为蟋蟀只数大于3只，所以只有符合要求。即有5只蟋蟀，2只蜘蛛。3、一个工人将零件装进两种盒子里，每个大盒装12个零件，每个小盒子装5个零件，恰好装完，如果零件一共是99个，盒子总个数大于10，那么需要大、小盒子各多少个？答案：设需要大盒子个，小盒子个。列不定方程：解得：，。因为盒子只数大于10，那么只有符合要求，即大盒子2个，小盒子15个。4、一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，问小明摸出的球中红球最多有多少个？答案：解：设有蓝球个，黄球个，则红球有（10――）个；根据题意，列方程：解得：，，，，因为红球有（10――）个，要红球最多，那么蓝球、黄球总数要最少，因此只有满足题意。当最小5＋1＝6时，红球最多为：10－6＝4（个）。答：小明摸出的球中，红球的个数最多4个。课后作业：1、商店卖出一些每支7元和每支8元的钢笔，共收入55元。问商店共卖出钢笔多少支？答案：解:设7元的钢笔有支,8元的钢笔有支，那么列方程为：解得：。共卖出钢笔1＋6＝7（支）。2、工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子。问：可以有多少种不同取法？（取5米长的管子要多于5根）答案：解:设3米的管子有根,5米的管子有根，（且y＞5