高考理科数学（人教A版）一轮复习课件111分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2-知识梳理考点自诊1.两个计数原理

n类不同方案

n个步骤

-3-知识梳理考点自诊2.两个计数原理的区别与联系

-4-知识梳理考点自诊×√√√√-5-知识梳理考点自诊2.(2019北京西城区模拟,6)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如图:表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如图:如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为(

)A.46 B-6-知识梳理考点自诊解析:按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下:(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),2根以上的算筹可以表示两个数字,运用分布乘法计数原理,则上列情况能表示的三位数字个数分别为2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2.根据分步加法计数原理,5根算筹能表示的三位数字个数为2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.故选B.-7-知识梳理考点自诊3.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

)

B解析:由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B.-8-知识梳理考点自诊4.(2019广东东莞模拟,6)高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案有(

)种种种种C

解析:根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有4种选择,共有4×4×4=64种情况,其中工厂甲没有班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有3种选择,共有3×3×3=27种方案.则符合条件的有64-27=37种.故选C.-9-知识梳理考点自诊5.(2019辽宁葫芦岛模拟,14)某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜,甲、乙两人每人在该窗口打2种菜,且每人至多打1种荤菜,则两人打菜方法的种数为

.

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-10-考点1考点2考点3分类加法计数原理例1(1)(2019浙江丽水模拟,13)若一个三位自然数的十位上的数字最大,则称该数为“凸数”(如231,132).由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数,其中凸数的个数为

个.

(2)已知椭圆

的焦点在y轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为

.

820-11-考点1考点2考点3解析:当中间数字为“3”时,此时有两个(132,231),当中间数字为“4”时,从123中任取两个放在4的两边,有

=6种,则凸数的个数为2+6=8个.(2)焦点在y轴上的椭圆满足m<n,因此将m分类计数.以m的值为标准分类,分为五类,第一类:当m=1时,使n>m的n有6种选择;第二类:当m=2时,使n>m的n有5种选择;第三类:当m=3时,使n>m的n有4种选择;第四类:当m=4时,使n>m的n有3种选择;第五类:当m=5时,使n>m的n有2种选择.由分类加法计数原理知,符合条件的椭圆共有20个.-12-考点1考点2考点3思考使用分类加法计数原理应遵循的原则是什么?解题心得使用分类加法计数原理应遵循的原则:分类的标准可能有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则,且完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,不能同时属于两类.-13-考点1考点2考点3C-14-考点1考点2考点3B2592

-15-考点1考点2考点3解析:(1)分步来完成此事.第1张有10种分法,第2张有9种分法,第3张有8种分法,共有10×9×8=720种分法.故选B.-16-考点1考点2考点3思考应用分步乘法计数原理解决问题时,如何分步?对分步有何要求?解题心得利用分步乘法计数原理解决问题时,要按事件发生的过程合理分步,并且分步必须满足两个条件:一是完成一件事的各个步骤是相互依存的,二是只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.-17-考点1考点2考点3对点训练2(1)(2019山东淄博模拟,14)工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时,需要固定六个位置上的螺丝,首先随意拧紧一个螺丝,接着拧紧距离它最远的第二个螺丝,再随意拧紧第三个螺丝,接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝,第五个和第六个以此类推,则不同的固定方式有

种.

48-18-考点1考点2考点3420-19-考点1考点2考点3(2)对于新疆有5种涂色的方法,对于青海有4种涂色方法,对于西藏有3种涂色方法,对于四川,若与新疆颜色相同,则有1种涂色方法,此时甘肃有3种涂色方法;若四川与新疆颜色不相同,则四川只有2种涂色方法,此时甘肃有2种涂色方法;根据分步、分类计数原理,则共有5×4×3×(2×2+1×3)=420种方法.故答案为420.-20-考点1考点2考点3两个计数原理的综合应用例3(1)(2019浙江浙南名校联考,15)3名男生和3名女生共6人站成一排,若男生甲不站两端,且不与男生乙相邻,3名女生有且只有2名女生相邻,则不同排法的种数是

.(用数字作答)

(2)(2019甘肃兰州模拟,7)如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法种数是

.(用数字作答)

168420-21-考点1考点2考点3-22-考点1考点2考点3(2)按照SABCD的顺序:当AC相同时,染色方案为5×4×3×1×3=180;当AC不同时,染色方案为5×4×3×2×2=240,所以不同的染色方案为420种.-23-考点1考点2考点3思考应用两个计数原理解决计数问题时的一般思路是怎样的?解题心得在综合应用两个计数原理解决问题时,一般是先分类再分步.分类后分别对每一类进行计数,在计算每一类时可能要分步,在分步时可能又要用到分类加法计数原理.-24-考点1考点2考点3对点训练3(1)(2019辽宁辽河模拟,14)从0,1,2,3中选取三个不同的数字组成一个三位数,则不同的三位数有

个.(用数字作答)

(2)(2019广东梅州模拟,14)将5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少1个球,至多2个球,则不同的放法种数有

.(用数字作答)

(3)(2019黑龙江哈尔滨模拟,14)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡,顾客乙只带了现金,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有

种.(用数字作答)

189026-25-考点1考点2考点3-26-考点1考点2考点3-27-考点1考点2考点31.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.2.分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保