初中数学因式分解的12种方法

因式分解常用12种方法及应用【因式分解的种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1.提公因法多项式化成两个因式乘积的形式。例1.分解因式3-2x-x3-22-x2-2-1)2.应用公式法(2003淮安市中考题)用来把某些多项式分解因式。@初中生家长例2.分解因式a2+4ab+4b2(2003南通市中考题)解：a2+4ab+4b2=(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式2+5n-mn-5m解：2+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n@初中生家长=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4.十字相乘法对于2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4.分解因式72196分析：1×7=7，2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：72196=(7x+2)(x-3)5.配方法后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例5.分解因式26x-40解2+6-40=2+6x+(9)-(9)-40=(+3)2-(7)2@初中生家长=[(+3)+7][(+3)–7]=(+10)(-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例6.分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7.换元法行因式分解，最后再转换回来。例7.分解因式2x4–3-6x2x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项一起)@初中生家长解：2x–3-6x2x+2=2(4+1)-x2+1)-622{2[x2+()]-(x+)-6}令x+，2{2[2]-(x+)-6}=2[2(2-2)--6]=2(22-10)x+2)(2-5)2++2)(2+-5)=(22x+1)(22-5+2)=(+1)2(2xx-2)8.求根法令多项式f(x)=0，求出其根为x，x，x，……x，则多项式可因式分解为123nf(x)-x)(x-x)……(xx)(一般情况下是试根法，并且一般试-3，-2，-1，123n0，1，2，3这些数是不是方程的根)例8.分解因式24+73-22-13解：令f(x)=24+73-22-13通过综合除法可知，f(x)根为，-3，-2，1，则2x+7x-2x-13+6=(2x-1)(+3)(+2)(x-1)@初中生家长9.图象法(八种方法是类似的)令yf(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与x轴的交点x，x，12x，……x，则多项式可因式分解为3nf(x)=f(x)xx)(xxx)……(xx)123n例9.因式分解3+22-5-6解：令=x3+22-5-6作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2则3+2x-5-6=(xx+3)(x-2)10.主元法分解。例10.分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2)+bc(b-c)=(b-c)2-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)利用特殊值法将2或10(或其它数)代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组2或102或10还原成x，即得因式分解式。例分解因式x+92+23x+15解：令=2，则x3+9x+23+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为+1，+3，x+5，在x=2时的值则3+92+23+15=(x+1)(+3)(+5)12.待定系数法@初中生家长而把多项式因式分解。例12.分解因式4–3-5x2-6x如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设4–3-5x2-6x-4=(2+ax+b)(x2cx+d)=4a+c)3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)+bd从而a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4所以解得则4–3-5x2-6x=(x++1)(x2-2x-4)【专题综述】因式分解初中代数中一种重要的恒等变形，也是中考数学试题中比较常见的题选择方法，同时，由于种种原因，因式分解时常常会出现这样或那样的错误，下面举例予以剖析，望有则改之，无则加勉。【方法解读】一.曲解概念，局部分解1例1：分解因式：+)+(y.414错解：原式=(yx.111正解：原式=(y+2+)+()2=(y+.222必须是积的形式这一本质。【举一反三】@初中生家长下列各式从左到右的变形是因式分解的是()B.xyxyx2yA.xC.x222x3x12222y2xyD.2x2y2xy【答案】D【解析】选项。x22x3x122不是因式分解选项B。xyxyx2y2不是因式分解y2xy不是因式分解2选项C。x2选项。2x2y2xy是因式分解故选。二.提公因式，不翼而飞例2：分解因式：4ab-6ab+2ab.错解：原式=2ab(2a-3b).正解：原式=2ab(2a-3b+1).【解读】当各项的公因式恰与某一项相同或互为相反数时，提取公因式后，该项的位置必须由1(或1翼而飞。@初中生家长【举一反三】因式分解：ab﹣2aba=_____．【答案】ab﹣1)2【解析】ab﹣2aba=a(b-2b+1)=ab﹣1)，故本题的答案为ab﹣1)2地运用完全平方式。三.盲目变换，符号出错例3：分解因式：3qp-1)-2(1-p.错解：原式=3q(p-1)-2(p-1)=(p-1)［3q-2(p-1)］=(p-1)(3q-2p正解：原式=3q(1-p-2(1-p)=(1-p(3qp【解读】错因在于把(1-p)3化为p-1)3时出现了符号错误，误认为(1-pp-1).n(1-p=(p-1)n为奇数时，(1-p=-(p-1)题中若选择把p-1)2化为(1-p，可避免符号的干扰.【举一反三】因式分解：xx232x2x3【答案】x【解析】试题分析：提公因式-2)进行因式分解；解：原式＝x2x3四.忘记初衷，背道而驰例4：分解因式：(2+)x-2).错解：原式［(2y)+(x-2y］［(2x+y)-(x-2)］=(3y)(+3yx+8x-3.=(3x)(x+3).@初中生家长【解读】错解的最后一步与因式分解背道而驰，是整式乘法。这种走“回头路”是“把多项式化为几个整式积的形式”不够明确。【举一反三】分解因式：9(a+b﹣4(a﹣b)2【答案】(5a+ba+5b)【解析】利用平方差公式即可分解因式。解：9(a+b﹣4(a﹣b)，=[3(ab)+2(a﹣b)][3(a+b﹣2(a﹣b)]，=(5aba+5b)五.半途而废，前功尽弃例5：分解因式：+4)-16x.错解：原式=(+4)-(4x)+4+4x+4-4正解：原式+4+4+4-4x+2)2(-2).可以继续分解，所以错解由于半途而废，而导致“前功尽弃”。【举一反三】分解因式：4﹣16=_____．【答案】4(+2)(x﹣2)【解析】4﹣16，=4(﹣4)，=4(+2)(﹣2)故答案是：4(+2)(x﹣2).【强化训练】@初中生家长1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(．A.xyxyx2y2；B.42=2×3×7；D.2xx1x2x11．C.x2x2x2x1；2【答案】C【解析】A.xyxyx2y2是乘法运算，故不正确；B.42=2×3×7是分解因数，故不正确；xx2x2x12C.是因式分解；D.2xx1x2x112的右边不是积的形式，不是因式分解，故不正确。2ababaa结果再进行分解因式，则为(3)A.aa2a2B.aa4a4C.a4a4D.aa42【答案】B【解析】∵aba3∴aa-16a=aa-16)=aa+4)(a-4).故选B.3.因式分解：(1)2a(－)－3bx－；(2)－x．【答案】(1)(－)(2a＋3b)(2)x＋1)(－1)．(1)将原式第二项括号里面变形为y－－x提取出来即可；(2)先提取公因式x，再用平方差公式因式分解即可。试题解析：@初中生家长(1)原式＝2a(－)+3b(－)＝－x)(2a＋3b)；(2)原式＝x－1)＝x＋1)(x－1)．4.分解因式：x52x8x．3【答案】xx2x2x22x，为止。xx2x842xx4x222xx2x2x225.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为()x1x1yA.xabB.x21y221x1x1D.cxabcC.x2【答案】C【解析】A.是多项式乘法，不是因式分解，错误；B.不是化为几个整式的积的形式，错误；C.是公式法，正确；D.不是化为几个整式的积的形式，错误；故选：C.6．代数式2x218因式分解，结果正确的是()2A.2x29B.2x3C.2(+3)(x-3)D.2(xx-9)【答案】C【解析】∵2x22x292x3x3，@初中生家长∴C中的结果是正确结果。故选C.7．因式分解：①5－20xy；②x－1)(－3)－8【海南省定安县2017-2018学年八年级上学期期末考试数学试题】【答案】①5x2yx2y；②x5x1【解析】用提公因式法5x3y2035xyx4y225xyx2yx2y用十字相乘法xx38x4x52x5x8．因式分解：(1)2x-8(2)m3n10mn252(3)a2ab9ba【答案】(1)2(x+2)(-2)(2)mn-5);(3)(a+3)(a-3)(ab).【解析】试题分析：(1)原式提取2，再利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；(3)原式变形后提取公因式，再利用平方差公式分解即可。试题解析：(1)原式=2(-4)=2(+2)(x-2)；@初中生家长(2)原式=mn-10+25)=mn-5)；(3)原式=aa-b)-9(ab)=(ab)(a+3)(a-3)．9．分解因式：(1)10a－5a－5；(2)(＋3x－(－1).【答案】(1)－5(a－1)；(2)x＋4－1)(＋1).【解析】(1)提取公因式-5后，再用完全平方式进行分解即可10a5aa22aa252(2)原式运用平方差公式进行分解后，再用完全平方式进行分解即可x3xx222x3xxx3xx22x4xx2x22x24xx210(1)a(a-3)+2(3-a)@初中生家长2(2)abc2abc2(3)4xy(4)4abxy226ab2【答案】(1)(a-3)(a-2)(2)4abc)(3)2x2y5