高二数学·选修2-2课程教案

PAGEPAGE1§1．4．1生活中的优化问题举例(1)【学情分析】：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。【教学目标】：1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力3．体会导数在解决实际问题中的作用.【教学重点】：利用导数解决生活中的一些优化问题．【教学难点】：将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。【教学突破点】：利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案【教法、学法设计】：【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)复习引入：提问用导数法求函数最值的基本步骤学生回答：导数法求函数最值的基本步骤为课题作铺垫.(2)典型例题讲解例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为。求导数，得。令，解得舍去）。于是宽为。当时，<0；当时，>0.因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。(3)利用导数解决优化问题的基本思路：生活中的优化问题转化为数学问题立数学模型（勿忘确定函数定义域）利用导数法讨论函数最值问题使学生对该问题的解题思路清析化。(4)加强巩固1例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是令解得（舍去）当时，；当时，．当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，它表示单调递减，即半径越大，利润越低．（1）半径为cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为cm时，利润最大．换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm时，利润最小．使学生能熟练步骤.(5)加强巩固2例3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．是不是越小，磁盘的存储量越大？为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量×（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．（2）为求的最大值，计算．令，解得当时，；当时，．因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为提高提高问题的综合性，锻炼学生能力。(6)课堂小结建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键要注意不能漏掉函数的定义域注意解题步骤的规范性(7)作业布置:教科书P104A组1,2,3。(8备用题目：1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为（A）ABCD2、设正四棱柱体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（A）ABCD3、设8分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为4。4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是4。5、某厂生产产品固定成本为500元，每生产一单位产品增加成本10元。已知需求函数为：，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：先求出利润函数的表达式：再求导函数：求得极值点：q＝80。只有一个极值点，就是最值点。故得：q＝80时，利润最大。最大利润是：注意：还可以计算出此时的价格：p＝30元。6、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形.然后把四边翻转90度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器高为xcm，容器的体积为V(x)，则令令

§1．4．2生活中的优化问题举例（2）【学情分析】：在基本方法已经掌握的基础上，本节课重点放在提高学生的应用能力上。【教学目标】：1．掌握利用导数求函数最值的基本方法。2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力3．体会导数在解决实际问题中的作用.【教学重点】：利用导数解决生活中的一些优化问题．【教学难点】：将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。【教法、学法设计】：练讲练.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)复习引入：建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键要注意不能漏掉函数的定义域为课题作铺垫.(2)典型例题讲解例1、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m则3.2–2x>0,x>0,得0<x<1.6.设容器体积为ym3,则y=x(x+0.5)(3.2–2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6)y'=-6x2+4.4x+1.6,令y'=0得x=1或x=-4/15(舍去），∴当0<x<1时，y'>0,当1<x<1.6时，y'<0,∴在x=1处，y有最大值，此时高为1.2m,最大容积为1.8m3。选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解。(4)加强巩固1例2、有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？（注：不计河宽）解：设，（0<<）,.设总的水管费用为().依题意,有()=）+.()==.令()=0,得.根据问题的实际意义,当时,函数取得最小值,此时,,,,即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省。使学生能熟练步骤.(5)加强巩固2例3、已知某厂生产件产品的成本为C=（元），问：要使平均成本最低，应生产多少件产品？若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）设平均成本为y元，则..令,得,当在附近左侧时,<0;在=1000附近右侧时,>0,故当=1000时,y取得最小值,因此,要使平均成本最低,应生产1000件产品.(2)利润函数为,.令,解得.当在附近左侧时,>0;在附近右侧时,<0.故当时,L取得极大值.由于函数只有一个使的点,且函数在该点有极大值,那么函数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应生产6000件产品.提高提高问题的综合性，锻炼学生能力。(6)课堂小结让学生自己总结生活中的最优化问题的设计背景主要有：立体几何、解析几何、三角函数等。自变量的引入不是固定的，要注意引入自变量的技巧。(7)作业布置:教科书P104A组4,5,6。(8备用题目：1、用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各剪去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角剪去的正方形的边长为（B）ABCD3、做一个容积为底面为正方形的无盖长方体水箱，它的高为4时，最省料。4、某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为280元，对于多于150的订购合同，每超过一件，则每件售价比原来减少1元，当公司的收益最大时订购件数为215。5、某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为１８０元时，房间会全部住满；房间的单价每增加１０元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费２０元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大其中6、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时10km,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,求这艘轮船在以何种速度航行时,能使航行1km的费用总和最小?解:设船速为(>0),航行1km的费用总和为,设每小时燃料费为则.（其中）；.令,解得.当，即以每小时20公里的速度航行时，航行1km的费用总和最小。

定积分高考试题精选1、（2013江西卷（理））若则的大小关系为 （）A． B．C． D．【答案】B2、（2013北京卷（理））直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于 （）A． B．2 C． D．【答案】C3、（2013湖南卷（理））若_________.【答案】34、（2013湖北卷（理））一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：)是（）A．B．C．D．【解析】令，则。汽车刹车的距离是，故选C。【相关知识点】定积分在实际问题中的应用5、【2012湖北理3】已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为A．B．C．D．【答案】B【解析】根据图像可得：，再由定积分的几何意义，可求得面积为.6、【2012江西理11】计算定积分___________。【答案】【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。【解析】。7、【2012山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.【答案】【解析】由已知得，所以，所以。8、【2012上海理13】已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为。【答案】【解析】当，线段的方程为，当时。线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为。9、【2012福建理6】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A.B.C.D.【答案】Ｃ.【解析】根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积，而正方形的面积为１，所以点Ｐ恰好取自阴影部分的概率为．故选Ｃ．10、(2011新课标卷理科9)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（A）（B）4（C）（D）6【答案】C解析：因为的解为，所以两图像交点为，于是面积故选C点评：本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。求曲线围成的图形的面积，就是要求函数在某个区间内的定积分。11、(2011湖南卷理科6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为A.B.1C.D.答案：D解析：由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=。故选D评析：本小题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理等知识.12、(2011陕西卷理科11)设，若，则【答案】1【解析】13、（2010山东卷理科7）由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为（A） (B) (C) (D)【答案】A【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为,故选A。【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。14、(2010湖南卷理科5)等于（）A、B、C、D、【解析】因为，所以，故选D15、(2010宁夏卷13）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间上的均匀随机数和，由此得到N个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为。【答案】xyO13解析：的几何意义是函数的图像与轴、直线和直线所围成图形的面积，根据几何概型易知．xyO1316、（2010陕西卷理科13）从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为.【解析】本题属于几何概型求概率，∵，，∴所求概率为.17、(09福建理4)等于A．B.2C.-2D.+2答案：D解析：∵.故选D

§2.3数学归纳法(1)【学情分析】：数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。【教学目标】：（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。【教学重点】：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。【教学难点】：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。【教学过程设计】：一、提出问题1.问题1：盒子里有八个乒乓球，如何证明里面的球全为白色？以试验的方式，从盒子中先取5次球，观察颜色并猜想其余球的颜色，判断猜想是否正确（完全归纳法）？2.考察部分对象，得到一般结论的方法，叫做不完全归纳法。不完全归纳法得到的结论不一定正确。考察全部对象，得到一般结论的方法，叫做完全归纳法。完全归纳法得到的结论一定正确。3.举2个小例子说明不完全归纳法不一定正确。小明的爸爸有3个儿子，老大说：“我叫1毛”，老二说：“我叫2毛”，老三说————？（我声明，我不叫3毛，我叫小明）。因为矩形与正方形的对角线都相等且互相平分，所以说所有四边形的对角线都相等且互相平分。4.问题2：请大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式的？（板书）归纳出的结论——正确。5.问题3：对于数列{an}，已知（n=1,2,……），求出，我们猜想其通项公式为。这个结论正确吗？生：讨论、交流。6.提出问题：很多时候用完全归纳法证明结论是否正确是不合适的，我们借助不完全归纳法去发现或猜想结论，那么如何解决不完全归纳法存在的问题呢？（只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。）通过实际例子了解不完全归纳法与完全归纳法的概念复习回顾提出问题，引发思考通过一系列的问题引出新课二、数学归纳法原理1.由多米诺骨牌引入数学归纳法[投影]多米诺骨牌游戏提出两个问题：若第一块不倒，出现什么情况？若中间某块倒下，不能使其下一块倒下，出现什么情况？所以多米诺骨牌游戏能进行下去要满足两个条件。（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。2．参照多米诺骨牌的原理，我们设想：在证明某些与正整数有关问题时，先证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2)时，命题成立（即骨牌的第一块能倒），然后假设只要由n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，就能推出n=k+1时命题也成立（即只要某一块倒下，就能使其下一块也倒下），那么就证明这个命题成立（所有骨牌都能倒下）。我们称这种证明方法叫做数学归纳法。（严谨，一而二，二而三，……以至无穷）数学归纳法的适用范围、原理电脑多媒体课件能够强化对学生感观的刺激，它创设生动、形象、直观的教学情景，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一节课的信息容量，帮助学生理解和掌握知识三、应用给出问题3的数学归纳法的证明，将每一步骤标号。引导学生总结出数学归纳法的证题思路和步骤。数列{an}中，已知（n=1,2,……），则猜想其通项公式为。证明：（1）当n=1时，猜想式成立（2）假设当n=k时猜想成立，即，那么当n=k+1时，根据已知及假设，所以即当n=k+1时猜想也成立。由（1）（2）可以断定，等式对一切n∈N*都成立强调:要用到归纳假设；列出证明n=k+1成立时的目标通过此例引导学生总结数学归纳法的证题步骤。详细的板书推导利于学生总结归纳出数学归纳法的证题步骤及更进一步地理解原理四、归纳明确数学归纳法的“起动步骤”和“递推步骤”这“两个步骤”以及“一个结论”。用数学归纳法证明命题的具体步骤是：(1)（归纳奠基）证明当n取第一值n0(例如n0=1，n0=2等)时命题成立；(2)（归纳递推）假设n=k(k∈N*且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对从n0开始的所有的自然数n都正确。强调：（1）上面的证明第一步是递推基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可。 （2）第一步要证明，n=k+1时也要证明，且过程中一定要用到假设。阅读课本：P93倒数第5行至P94例1上方。培养学生的归纳能力培养阅读习惯五、应用例1用数学归纳法证明 板书解答过程，注意解题规范，严防出现“依次类推”式的不完全归纳法；强调n=k成立必须应用在证明n=k+1成立的过程中，不可应用等差数列求和公式证明n=k+1成立。证明：（1）当n=1时，左式=1，右式=12，等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立即成立则当n=k+1时所以当n=k+1时等式也成立综合（1）（2）知，等式对于任意n∈N*都成立。演示此求证式的含义保证学生及时地在充分理解的基础上掌握数学归纳法的解题方法及步骤六、练习巩固P95.练习1.实物投影学生解答过程，及时点评。（学生板演练习）通过讲评可以及时发现学生解题中存在的问题，予以更正。七、知识小结适用：与正整数有关的命题重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉通过小结总结所学，突出重点，强调难点十、课后作业1.P96习题2.3 A组1（2）2.P96习题2.3B组1通过作业反馈，了解对所学知识掌握的效果，以利课后解决学生尚有疑难的地方十一、设计反思本节课让学生对数学归纳法的原理及证题步骤有一个初步的认识，所选例题及练习均是较基础和简单的。在教学过程中要强调：用数学归纳法证明命题时，难在第二步。即在假设n=k命题成立时，推出n=k+1时命题也成立。要顺利地完成这一步，主要依赖于观察、归纳、恒等变形等方面的能力。在推导证明中必须运用到“归纳假设”，否则不是数学归纳法。【练习与测试】：1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（） A.n=1时成立 B.n=2时成立C.n=3时成立 D.n=4时成立答案：C解：由于多边形最少是三角形，故选C。2.某个与正整数n有关的命题，如果当时该命题成立，则一定可推得当n=k+1时该命题也成立。现已知n=5时，该命题不成立，那么应有（） A.当n=4时，该命题成立 B.当n=6时，该命题成立C.当n=4时，该命题不成立 D.当n=6时，该命题不成立答案：C解：n=6时命题成立与否不能确定，排除B、D；假设n=4时，该命题成立，由已知得n=5时该命题成立，与已知条件矛盾，故选C。3．用数学归纳法证明：，在验证n=1时，左端计算所得的项为_______________________________。答案：1+a+a2解：由题意可知等式左端共有n+2项，∴当n=1时，左端有3项为1+a+a2。4.数列{an}中，已知（n=1,2,……），计算，猜想的表达式并用数学归纳法证明。解： 猜想：证明：（1）当n=1时，猜想式成立（2）假设当n=k时猜想成立，即，那么当n=k+1时，根据已知及假设，所以即当n=k+1时猜想也成立。由（1）（2）可以断定，等式对一切n∈N*都成立5．用数学归纳法证明：n边形的内角和为证明：（1）当n=3时，三角形内角和为，满足。 （2）假设当n=k时，命题成立，即k边形的内角和为 则当n=k+1时，相当于多出了一个三角形，内角增加了，所以k+1边形的内角和为 即当n=k+1时，命题成立。 综合（1）（2），命题对于任意成立。6.若n为正整数，求证：n3+5n能被整除。证明：（1）当n=1时，命题显然成立； （2）假设当n=k时，命题成立，则k3+5k能被6整除 则当n=k+1时，（k+1）3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6 由假设知k3+5k能被6整除，而k(k+1)是2的倍数，即3k(k+1)为6的倍数，第三项6也能被6整除，因此，(k3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除。 综合(1)(2)知，原命题成立。

§2.3数学归纳法(2)【学情分析】：数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。【教学目标】：（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。【教学重点】：进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。【教学难点】：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。【教学过程设计】：一、复习回顾数学归纳法的主要步骤及其适用范围(1)（归纳奠基）证明当n取第一值n0(例如n0=1，n0=2等)时命题成立；(2)（归纳递推）假设n=k(k∈N*且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。那那么，对n≥n0的一切自然数n命题都成立。数学归纳法多用于证与正整数有关的数学问题。二、应用1.例2用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边=1,右边=，所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即那么，当n=k+1时，即当n=k+1时等式也成立。综合(1)(2)可知，等式对任何都成立。2.例3已知数列，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。解：；猜想：证明：（1）当n=1时，左边=右边=，猜想成立。（2）假设当n=k时猜想成立，即那么，所以，当n=k+1时猜想也成立。综合(1)(2)知，猜想对任何都成立。详细板书证明过程强调：在证明n=k+1时一定要用到假设，整理过程中如何减少运算量，将待证目标式摆到草稿纸上，对应目标化简整理。进一步巩固数学归纳法的证题步骤及思路。三、练习巩固P91.练习2.四、知识小结1.适用：与正整数有关的命题重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉2.数学归纳法两个步骤是一个统一的整体，缺一不可，注意在第二步中将归纳假设当做已知条件使用，而且必须运用到“归纳假设”，否则就不是数学归纳法。3.数学归纳法用步骤（1）和（2）的证明代替了无穷多个命题的证明，这里体现了有穷和无穷的辩证关系。通过小结总结所学，突出重点，强调难点五、课后作业1.P91习题2.3 A组22.P91习题2.3 B组2.3.通过作业反馈，了解对所学知识掌握的效果，以利课后解决学生尚有疑难之处六、设计反思数学归纳法的步骤非常清晰，但学生在应用的过程中容易出现如下问题：如何由n=k时成立的归纳假设去推得n=k+1时结论依然成立，要通过仔细观察与分析前后原式发生的变化，不能轻易下结论；归纳假设是数学归纳法解题成功与否的关键，一定要利用上；为充分利用归纳假设，往往要利用“拆”、“添”项的方法“凑”出归纳假设中成立的因子。在教学过程中应给以强调。【练习与测试】：使用数学归纳法证明，若不等式成立，则n的取值范围是（） A. B.C. D.答案：D解：当n取第一个值5时，命题成立。2．用数学归纳法证明“”，要证明第一步时，左边的式子=。答案：。3．当时，求证：。证明：（1）当n=1时，左式=，右式=1，，原不等式成立。（2）假设当n=k时，原不等式成立，即则当n=k+1时，左式=所以n=k+1时结论成立综合（1）（2）原不等式对于任意均成立。4.用数学归纳法证明：“成立，（）”，第二步从n=k到n=k+1时，左式有什么变化？答案：左端增加了两项（2k+1）、（2k+2），还少了一项（k+1）。解：当n=k时，左式=5．已知f(x)是定义在（-∞，+∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足。（1）求的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由；（3）证明：。解：（1）∵f(x)对任意x,y,f(x)都有 ∴ （2）∵f(x)对任意x,y,f(x)都有 ∴ 将f(-1)=0代入得f(-t)=-f(t)∴函数f(x)是（-∞，+∞）上的歌奇函数。证明：（3）用数学归纳法：当n=1时，左边=f(a1)=f(a)，右边=，等式成立。假设当n=k时，等式成立，即，则当n=k+1时，有这表明当n=k+1时等式也成立。 综合①②可知，对任意正整数，等式成立。6.是否存在实数a,b,c,使得等式对任何正整数n都成立，并证明你的结论。解：假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有 故于是，对n=1,2,3,下面等式成立，。（*）下面证明上式对任何正整数n都成立证明：（1）当n=1时，左式，左式=右式，所以（*）式成立。 （2）假设n=k时（*）式成立，即有 那么，当n=k+1时， 也就是说，（*）式对n=k+1也成立。 综合(1)(2)，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立。

§2.2.1综合法和分析法(1)【学情分析】：前一阶段刚刚学习了人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。这是数学区别于其他学科的显著特点。本节学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。在以前的学习中，学生已经接触过用综合法、分析法和反证法证明数学命题，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚，逻辑规则也会应用不当。本部分结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的电教过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯。【教学目标】：（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；了解综合法、分析法的思考过程、特点（2）过程与方法：能够运用综合法、分析法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】：了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。【教学过程设计】：一、提出问题1.比较生：。2.生：讨论、交流完成，对比解答通过复习导入新课通过典型数学实例，概括综合法的特点二、综合法定义综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。（也形象地称为“顺推证法”或“由因导果法”）阅读课本P85倒数第3行：流程框图 更直观了解综合法的证明过程三、应用1.例1．在中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A，B，C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证：为等边三角形。[几何画板]证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①∵A，B，C为的内角∴A+B+C=π②由①②得③由a,b,c成等比数列，有④∵由④，得即因此a=c从而有A=C⑤由②③⑤，得所以为等边三角形。强调分析过程和思考过程，尤其是本题的文字语言与符号语言的转换（2B=A+C），隐含条件的显性化（A+B+C=π），通过寻找条件和结论间的联系，就可直接从已知条件和余弦定理出发，证明问题。例题起到运用综合法证题的示范作用，注意规范化表达。四、练习巩固1.P89.12.补充：已知:xy>0,求证：[几何画板]证明：（学生板演练习）及时讲评学生板演过程中出现的问题五、提出问题师：要证明成立，需要什么条件？生：需要：师：要证明成立，只需证什么条件？生：需要：师：要证明成立，需要什么条件？生：需要：师：是否成立？生：是的师：上面的分析过程，即给出分析法的实例。详细的板书推导利于学生总结归纳出分析法的思考过程和特点引导学生概括出分析法的特点六、分析法定义分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种证明的方法叫做分析法。（也形象地称为“逆推证法”或“执果索因法”）阅读课本P97.流程框图更直观了解分析法的证明过程七、应用1.例2．求证：证明：∵和4都是正数∴为了证明只需证明展开得：只需证15<16∵15<16显然成立，∴原式成立2.师：综合法与分析法有什么样的思维关系？生：讨论交流，总结归纳“综合法”与“分析法”的思维是互逆的关系，综合法是从条件出发，产生与目标相关的联想，从而实现问题的解决；而分析法是从结论出发，寻找结论成立须满足的条件在具体处理问题时，两种思维一般同时进行，即综合法离不开目标的指引，分析法离不开条件的环境。综合法和分析法各有优缺点。分析法思考自然，容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考。实际证明时先用分析法探求证明途径，然后用综合法叙述。3.上面的例2可以用综合法完成证明（要在草稿纸上先分析好）例题证明∵15<16∴∴则∵和4都是正数∴成立例题示范分析法的思路、证明步骤，加深对分析法的认识通过讨论交流，比较2种证明方法的差异，提升对综合法与分析法的认识。老师要提醒并强调分析法的证明过程易出现不完整情况正因为分析法在证明过程中易出现步骤的不完善，所以告诉学生可以将用分析法证明的问题以综合法的形式呈现，这样也可以培养学生的逻辑性思维八、练习巩固P89.2九、知识小结综合法和分析法的思考过程、特点；分析法证明问题时需要注意的地方；综合法与分析法的关系。[几何画板]通过小结总结所学，突出重点，强调难点十、课后作业1．P91.习题2.2A组22.P91.习题2.2B组22.阅读课本十一、设计反思学生在用分析法证明问题时，往往缺少必要的叙述环节，直接从还应证式出发推证。教学中应强调证明格式，对于普通班，可以要求学生将草稿纸上的分析过程倒过来写，只用综合法的方式证题，这样会清晰得多。【练习与测试】：1．命题“对任意角都成立”的证明过程如下： “”，该过程应用了（） A.分析法 B.综合法 C.综合法与分析法结合使用 D.间接证法答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B。2.已知，求证：。证明： 而，故 ∴求证式成立。求证：证明：因为， 所以左边= = 所以成立4．求证：如果证明：当上式两端取对数得：从而所以，命题得证。5．设a>b>0且ab=1，求证： 证明： ∵a>b>0，∴a-b>0 因此有 所以，命题得证。6．已知： 证明：∵a+b+c=1∴左式= 又∵∴ 即成立。

§2.2.1综合法和分析法(2)【学情分析】：前两节课分别学习了综合法与分析法的思考过程、特点。本节是在前两节课的基础上继续运用综合法与分析法证明数学问题。在解决问题时，往往会将这两种直接证明的方法结合起来使用，本节课的例4就是运用这种证明方式。【教学目标】：（1）知识与技能：进一步了解直接证明的两种基本方法——综合法与分析法的思考过程、特点（2）过程与方法：进一步运用综合法、分析法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】：运用综合法、分析法证明数学问题。【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题或将两种方法结合使用；分析法证明问题的正确格式【教学过程设计】：一、复习回顾综合法和分析法的思考过程、特点综合法与分析法的关系一、复习回顾综合法和分析法的思考过程、特点综合法与分析法的关系二、应用1.例3．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F。求证：AF⊥SC。证明：要证AF⊥SC只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC（因为________________）只需证AE⊥平面SBC，ESFAESFABC只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA（因为________________）由SA⊥平面ABC可知，上式成立。所以，AF⊥SC。尝试让学生用口头叙述例3的综合法证明过程。2.例4．已知，且，①，②求证：分析：通过观察，首先应从已知条件中消去，得到一个关于的关系式，而求证式中出现的是切函数，所以可以将切函数转化为弦函数，正余弦的转化因有二次，不成问题。证明：因为，所以将①②代入上式，可得③另一方面，要证：成立即证，即证即证即证由于上式与③相同，于是问题得证。从例4可以看到，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件得到中间结论P。若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立。阅读P100上方给学生独立思考的时间，再师生共同讨论分析：线线垂直与线面垂直的相互转化（线线垂直线面垂直线线垂直）分析要到位，通过本例进一步熟悉综合法与分析法的证题思路特点更直观了解综合法与分析法的结合运用三、练习巩固P89.3及时讲评学生板演过程中出现的问题四、知识小结综合法和分析法的思考方向恰好相反，一般来说，分析法作为思考过程比较自然，容易找到证题路径；而综合法作为证明过程，形式简洁、条理清晰、易于表达，令人产生严谨、完善的感觉。但在思维成分中，纯粹的分析法和纯粹的综合法是很少的，往往是在分析中有综合，在综合中又有分析。五、课后作业1.P91.习题2.2A组3.4.2.P91.习题2.2B组3.六、设计反思学生在做证明题时，往往格式会不规范，最易范的错误是从求证式直接证起，要注意纠正。本节的作业A组第4题要稍做提示。【练习与测试】：用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的（）A．充分条件B.必要条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案：B解：由分析法的证题思路知：②①，但①不一定推出②，故选B。2．A．M≥NB.M>NC.M≤ND.M<N答案：B解：M>N∵15<24显然成立，∴选B3.若证明：要证原式成立，只需证，因为 所以只需证 要证上式成立，只需证 显然成立，所以原不等式成立。4.若证明：∵∴，显然成立，所以原式成立。5．若证法一：若证原不等式成立，只要证 要证此不等式成立，只要证成立 即 要证上式成立，只要证 即证0<2显然成立，所以不等式成立。证法二：若证原不等式成立，只要证成立 即证：，而此式显然成立，所以原式成立。6．若证明：要证只需证： 只需证：因为a>0 所以因需证a+b-2c<0即证：a+b<2c显然成立，所以求证式成立。7.若证明：要证原式成立，只需证，因为 所以只需证 要证上式成立，只需证 显然成立，所以原不等式成立。

§2.2.2反证法【学情分析】：前面我们学习了两种直接证明问题的方法——综合法和分析法。在以前的学习中，学生已经接触过用反证法证明数学命题，本节课进一步熟悉运用反证法证明某些直接证明较难解决的数学问题。【教学目标】：（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解间接证明的方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点（2）过程与方法：能够运用反证法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】：了解反证法的思考过程、特点；运用反证法证明数学问题。【教学难点】： 运用反证法证明数学问题。【教学过程设计】：一、提出问题问题1、任找370个人，他们中生日有没有相同的呢？问题2、将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？思考：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作用，你能不能总结一下应用反证法的概念及其步骤？从实际生活的例子出发，使学生对反证法的基本方法和步骤有一个更深刻的认识。二、反证法定义1：反证法的概念：假设原命题不成立，经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法．2：反证法的基本步骤：1）:假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；2）:从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；3）:从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.3：应用反证法的情形：1）：直接证明困难；2）：需分成很多类进行讨论；3）：结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；4）：结论为“唯一”类命题；三、应用例1、已知直线和平面，如果，且，求证。解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为,所以经过直线a,b确定一个平面。因为，而，所以与是两个不同的平面．因为，且，所以.下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a与平面有公共点，则，即点是直线a与b的公共点，这与矛盾．所以.点评：用反证法的基本步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利例2、求证：不是有理数解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质，”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有,因此，，所以m为偶数．于是可设(k是正整数），从而有，即所以n也为偶数．这与m,n互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。直观了解反证法的证明过程。否定结论，推出矛盾。提醒学生：使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾。这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等。进上步熟悉反证法的证题思路及步骤。引导学生结合思考题和例题归纳出反证法所适用的题型特点和一般步骤。培养学生的归纳能力。四、归纳1.通过思考题和例题，我们发现反证法适用于什么样的题目？（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。2.归纳一下反证法的证题一般步骤：（1）否定命题的结论；（2）进行合逻辑的推理；（3）导出任何一种矛盾；（4）肯定原命题的结论。五、练习巩固1.P91.练习1.22.补充：用反证法证明（1）如果.（2）求证：过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。通过讲评可以及时发现学生解题中存在的问题，予以更正。六、知识小结反证法的证题步骤：（1）否定命题的结论；（2）进行合逻辑的推理；（3）导出任何一种矛盾；（4）肯定原命题的结论。反证法的适宜题型：（1）对于起始命题、基本命题、特殊命题，由于可以用到的定理、公式甚少或不易找出直接证明的关系，用反证法有时会骤得较好的效果；（2）命题的结论中含“不”、无”等（称为否定形式命题），往往可以考虑反证法；（3）命题用反面结论较易推出矛盾，适宜使用反证法；（4）命题结论中含“至多”、“至少”、“超过”、“不超过”等词，往往可以考虑反证法；（5）惟一性的命题，直接证不如反证法更易于入手。通过小结总结所学，突出重点，强调难点七、课后作业P102习题2.2A组1八、设计反思反证法学生并不陌生，在初中就已有所接触。通过本节课的学习进一步明确其步骤，寻找矛盾点，哪些题型是适用于反证法证的。感觉学生应该容易接受。【练习与测试】：1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程则a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（） A.假设a、b、c都是偶数 B.假设a、b、c都不是偶数 C.假设a、b、c至多有两个是偶数 D.假设a、b、c至多有两个是偶数 答案：B解：反证法的假设，恰好与结论相反，“至少有一个”的否定是“一个也没有”。选B。2．用反证法证明命题“若整数n的立方是偶数，则n也是偶数”如下：假设n是奇数，则n=2k+1(k∈Z)，_____________________________________，这与已知是偶数矛盾，所以n是偶数。答案：解：和的立方公式展开答案为。ccbaaa3．已知平面和不在这个平面内的直线a都垂直于平面，求证：直线a∥平面。证明：假设a不平行，则a与必有公共点，设为点A，过点A在平面内作直线c⊥b，由⊥知，c⊥，而a⊥，则a∥c。这与a、c相交于点A相矛盾，因此，假设错误，即a∥。4.已知函数。（1）证明：函数上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负根。证明：（1）令 当x≠-1时∴在上g(x)为增函数。 ∵a>1时，在上为增函数，∴上为增函数。（2）设存在，满足，则所以，与假设矛盾，故方程f(x)=0没有负根。5．设。证明：a,b,c都是不大于的非负数。证明：假设结论不正确，可设 （1）若c<0，由 即 ∵c<0，由上式可得(a+b)<0，从而a+b+c<0与题设a+b+c=2矛盾。（2）若。又由∴。这是不可能的，因此也是不可能的。 综合两种情况知必有。同理可证6.求证：抛物线上不存在关于直线y+x=0对称的两点。证明：假设抛物线上存在关于直线y+x=0对称的两点A(a,b)和B(-b,-a)，（，且a,b∈R），则，两式相减得, 由于，则，代入得，故方程无实根，这与b为实数相矛盾，故抛物线上不存在关于直线y+x=0对称的两点。

§3．1.1变化率问题§3．1.2导数的概念【学情分析】：本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。【教学目标】：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图问题1气球膨胀率（一）问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么分析:，（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了hto气球的平均hto可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?为导数概念的引入做铺垫问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：（1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设,(这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)则平均变化率为思考：观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?（1）一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率.注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②x2=x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1；三．典例分析例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则．解：，∴求在附近的平均变化率。解：，所以所以在附近的平均变化率为让学生进一步认识瞬时速度，为引入导数的概念做好铺垫.四、瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是为了表述方便，我们用表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。五、导数的概念设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即注意：（1）函数应在点的附近有定义，否则导数不存在（2）在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0（3）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率（4）是函数对自变量在范围内的平均变化率.（5），当时，，所以（定义的变形）要让学生理解导数概念六、典例分析例3、求y=x2在点x=1处的导数.分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求，最后求.解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，=2+Δx∴=(2+Δx)=2.∴y′|x=1=2.注意：(Δx)2括号别忘了写.例4、求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：例5、（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义，所以同理可得:在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．七、引申例6、函数满足，则当x无限趋近于0时，（1）（2）变式:设f(x)在x=x0处可导，（3）无限趋近于1，则=___________（4）无限趋近于1，则=________________（5）当△x无限趋近于0，所对应的常数与的关系。八、课堂小结（1）理解平均变化率、导数的概念。（2）求函数的导数的一般方法：①求函数的改变量.②求平均变化率.③取极限，得导数＝.补充题目：1.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（）Ａ．从时间到时，物体的平均速度；Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为时物体的速度；Ｄ．从时间到时物体的平均速度2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度解：瞬时速度v=(10+Δt)=10m/s.∴瞬时速度v=2t=2×5=10m/s.3.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速度.解：瞬时速度v==(8+2Δt)=8cm/s.

§3．1．3导数的几何意义【学情分析】：上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。【教学目标】：1.了解曲线的切线的概念2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程【教学重点】：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.【教学难点】：发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、曲线的切线及切线的斜率：圆与圆锥曲线的切线定义：与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线。曲线的切线如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？图3.1-2图3.1-2我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？⑵切线PT的斜率为多少？容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.为课题引入作铺垫.二、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点处的变化率，得到曲线在点的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.指导学生理解导数的几何意义，可以讨论三、导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即:注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。四、典例分析例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点处的导数.解：（1）,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即（2）因为所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即例2、求曲线f(x)=x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角.分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tana，求出倾斜角a.解：∵tana=∵a∈［0，π，∴a=π.∴切线的倾斜角为π.例3．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．（3）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．例4．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间（单位：）变化的图象．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作处的切线，并在切线上去两点，如，，则它的斜率为：所以下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率0.40-0.7-1.4通过例子，更深入理解导数的概念五、课堂小结导数的几何意义，怎么求曲线的切线。补充题目:1．导数的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数在处的即：２．函数平均变化率的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。1）平均变化率的几何意义：1）平均变化率的几何意义：2）当时，观察图形变化。3．导数的几何意义是什么？导数的几何意义是4．在函数的图像上，（1）用图形来体现导数，的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线在.附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）5．如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的函数图像，根据图像，估计（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）(以上几题可以让学生在课堂上完成)6.求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y=－+2,x＝２处（２）y＝，x＝０处．答案：(1)k=－１２，（２）k=－１7．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.解：(1)k=∴点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－28.求曲线y=x2+1在点P(－2，5)处的切线方程.解：k=∴切线方程是y－5=－4(x+2)，即y=－4x－3.

§1.5.1曲边梯形的面积【学情分析】：本节教材是在学生学习导数及其在研究函数的应用的基础上，开始初步探究定积分的概念。学生对这个解决问题的思想方法和步骤还是很生疏,必须深入浅出,逐步渗透.【教学目标】：（1）知识与技能：定积分概念的引入（2）过程与方法：“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。【教学重点】：了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。【教学难点】：“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑。【教学过程设计】：一、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）二、新课讲授问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例1：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．xxxx1x1xy1xyy把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．解：（1）．分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，记第个区间为，其长度为：分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：，，…，，显然，（2）近似代替记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有①（3）求和由①，上图中阴影部分的面积为====从而得到的近似值（4）取极限分别将区间等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有从数值上的变化趋势：三、求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．将分为等份，每份区间长为第二步：近似代替，“以直代取”：，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.第三步：求和：第四步：取极限：说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值四、练习．求围成图形面积解：1．分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，记第个区间为，其长度为：分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：，，…，，显然，（2）近似代替∵，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有①（3）求和由①，上图中阴影部分的面积为====从而得到的近似值（4）取极限练习设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。五：课堂小结求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近（“以直代曲”的思想）

§1.5.2汽车行驶的路程【学情分析】：学生在上一节学习了求曲边梯形面积之后，对定积分基本思想方法有了初步的了解。这一节可帮助学生进一步强化理解定积分概念的形成过程。【教学目标】：（1）知识与技能：“以不变代变”思想解决实际问题。（2）过程与方法：强化掌握“分割、以不变代变、求和、取极限”解决问题的思想方法（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。【教学重点】：“以不变代变”的思想方法，再次体会求解过程中蕴