全称量词与存在量词高一上学期数学人教A版（2019）必修一

1.5全称量词与存在量词

学习目标1.理解全称量词、全称量词命题的定义.(重点)2.理解存在量词、存在量词命题的定义.(重点)3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(难点)4.会对全称量词命题和存在量词命题进行否定.（重点）引

入

我们知道，命题是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，核心就是能判断真假.

在数学中，经常会遇到含有变量的陈述句，这些陈述句在未给定变量的值之前无法确定语句的真假（我们一般把这种陈述句叫做开语句），如x+1>0，x2+y2=4等.

由于这种语句不能判断真假，所以它不是命题，但是如果我们用一个短语来对其中变量的取值范围进行限定，就可以使它变成一个命题，这种短语称为量词.

本节我们就来学习这种量词以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定.探究新知

问题1:

下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)(4)之间有什么关系?(1)x>3;(2)2x+1是整数;(3)对所有的x∈R，x>3(4)对任意一个

x∈Z，2x+1是整数.是命题，真命题是命题，假命题不是命题不是命题(3)对(1)中的变量x增加了一个限制“对所有的x∈R”，变成了一个命题。(4)对(2)中的变量x增加了一个限制“对任意一个x∈Z”,变成了一个命题。

在这里，我们把类似于“所有的”，“任意一个”的短语称为全称量词。并把(3)(4)称为全称量词命题。课本P26--思考（1）全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词。并用符号“”表示.全称量词一般用来表示全体、所有的意思，常见的全称量词有:“所有的”,“任意一个”,“一切”,“每一个”,“任给”,“凡是”等.全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”,可用符号简记为（2）全称量词命题：含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.∀x∈M，p(x)探究新知：1.全称量词思考：全称量词命题中是否一定含有全称量词？不一定，比如全称量词命题“正方形是特殊的菱形”，中没有全称量词。探究新知

问题2:

下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x+1=3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x∈R，使2x+1=3；(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.不是命题不是命题是命题，真命题是命题，真命题(3)对(1)中的变量x增加了一个限制“存在一个x∈R”，变成了一个命题。(4)对(2)中的变量x增加了一个限制“至少有一个x∈Z”,变成了一个命题。

在这里，我们把类似于“存在一个”，“至少有一个”的短语称为存在量词。并把(3)(4)称为存在量词命题。课本P27--思考探究新知：2.存在量词（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词.一般用符号“”表示.

存在量词通常用来表示一部分，个别的意思，常见的存在量词有：“有些”，“有一个”，存在一个”，“对某些”，“有的”等..存在量词命题“存在M中的一个x，p(x)成立”,可用符号简记为（2）存在量词命题：含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.∃x∈M，p(x)思考2：短语“至多有一个”是存在量词吗?不是.因为“至多有一个”包含了不存在的情形.

题型一

全称量词命题与存在量词命题的辨析经典例题例1判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(3)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．经典例题总结全称量词命题与存在量词命题的判断

题型一

全称量词命题与存在量词命题的辨析变式训练1经典例题

题型一

全称量词命题与存在量词命题的辨析将下列命题用“∀”或“∃”表示．(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根。经典例题

题型二全称量词命题和存在量词命题的真假判断例2

判断下列全称量词命题的真假．(1)任意实数的平方均为正数．(2)函数y＝kx＋b为一次函数．(3)同弧所对的圆周角相等．(4)∀x∈R，x2＋3≥3.变式训练2经典例题

题型二全称量词命题和存在量词命题的真假判断判断下列存在量词命题的真假．(1)有的集合中不含有任何元素．(2)存在对角线不互相垂直的菱形．(3)有些整数只有两个正因数．经典例题总结1．全称量词命题真假的判断对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”：(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常举反例)2．存在量词命题真假的判断对于存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”：(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．(通常举正例)(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．

题型二全称量词命题和存在量词命题的真假判断探究新知

一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“¬p”读作“非p”或p的否定.例如，“56是7的倍数”的否定是“56不是7的倍数”；“空集是集合A={1,2,3}的真子集”的否定是“空集不是集合A={1,2,3}的真子集”.

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假。1．命题的否定与原命题的真假若原命题是真命题，则否定为假命题；若原命题为假命题，则否定为真命题。探究新知写出下列命题的否定（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）命题形式有什么变化？全称量词命题的否定变成了存在量词命题。（1）“并非所有的矩形都是平行四边形”，

也就是“存在一个矩形不是平行四边形”；（2）“存在一个素数不是奇数”；（3）∃x0∈M，¬p(x0)存在量词命题2．全称量词命题的否定任意改存在，后面反过来课本P29--探究探究新知写出下列命题的否定（1）存在一个实数的绝对值是正数；（2）有些平行四边形是菱形；（3）（1）“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，

也就是“所有实数的绝对值都不是正数”；（2）“每一个平行四边形都不是菱形”；（3）命题形式有什么变化？存在量词命题的否定变成了全称量词命题。3．存在量词命题的否定

∀x∈M，¬p(x)全称量词命题存在改任意，后面反过来课本P30--探究

题型三

全称量词、存在量词命题的否定经典例题变式训练3-1经典例题

题型三

全称量词、存在量词命题的否定变式训练3-2经典例题

题型三

全称量词、存在量词命题的否定(必修第一册P30例4改编)(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是A.p是真命题B.¬p：∀x∈R，x＋2>0C.¬p是真命题D.¬p：∃x∈R，x＋2>0√√当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为¬p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；¬p是真命题，故C正确.经典例题

题型四由含量词的命题求参数例4(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围；(2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求实数m的取值范围．经典例题

题型四由含量词的命题求参数变式训练4-1已知M={x|a≤x≤a+1},(1)若“∀x∈M,x+1>0”是真命题,求实数a的取值范围;(2)若“∃x∈M,x+1>0”成立,求实数a的取值范围.(1)∀x∈M,x+1>0是真命题,即a+1>0,解得a>-1,所以实数a的取值范围是a>-1.(2)“∃x∈M,x+1>0”成立,即a+1+1>0,解得a>-2,所以实数a的取值范围是a>-2.变条件：若“∃x∈M,x+1=0”成立,求实数a的取值范围.-2≤a≤-1经典例题

题型四由含量词的命题求参数若命题“∃x∈R，x2＋x