安徽省六安市第一中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理含解析

PAGE21-安徽省六安市第一中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理（含解析）满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满意，则在复平面内复数表示的点位于（）．A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】设（a，b），可得其共轭复数为，然后代入条件列出式子，解出a，b即可作出推断.【详解】设（a，b），其共轭复数为：，由条件可得：即，所以，，所以，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查共轭复数的概念，考查复数的运算法则，考查复数的几何意义，考查逻辑思维实力和计算实力，属于基础题.2.已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求得导函数解析式，依据导函数的奇偶性可解除BD，再依据，可解除C，从而得到结果.【详解】由题意得：为奇函数，图象关于原点对称，可解除BD又当时，，可解除C故选：A【点睛】此题考查函数图象的识别，考查对函数基础学问的把握程度以及数形结合的思维实力，关键是能够利用奇偶性和特别位置的符号来解除错误选项，属于中档题．3.4片叶子由曲线与曲线围成，则每片叶子的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积.详解】如图所示：由，解得，依据图形的对称性，可得每片叶子的面积为.故答案选C【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解实力4.函数的导函数为，则的解集为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导，解一元二次不等式即可.【详解】，即，且解得故选：B【点睛】本题主要考查了求函数的导数以及解一元二次不等式，属于基础题.5.已知函数（e是自然对数的底数），则的极大值为（）A.2e-1 B.C.1 D.2ln2【答案】D【解析】【分析】求导，求得f′（e）＝，代入导函数，求函数的单调区间，利用单调性可得函数的极大值．【详解】，则，解得f′（e）＝，，故，令＞0，解得：0＜x＜2e，则f（x）在（0，2e）上单调递增，令＜0，解得：x＞2e，则f(x)在（2e，+∞）上单调递减，∴x＝2e时，f（x）取得极大值2ln2，故选D．【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调性、函数的极值问题，属于基础题.6.若函数有极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出导函数，再对a的值进行分类探讨，利用数形结合的方法即可求出a的取值范围.【详解】由题意知，，当时，函数在区间上单调递减，无极值点；当时，依据与的图象，设两个函数在第一象限的交点的横坐标为，当时，，，函数在区间上单调递增，当时，，，函数在区间上单调递减，故当时，函数有一个极大值点.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用导函数探讨函数的极值，分类探讨的思想，属于较难题.7.用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（）A.增加了一项B.增加了两项，C.增加了A中的一项，但又削减了另一项D.增加了B中的两项，但又削减了另一项【答案】D【解析】【分析】依据题意，分别写出和时，左边对应的式子，进而可得出结果.【详解】当时，左边，当时，左边，所以，由递推到时，不等式左边增加了，；削减了；故选D【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，熟记数学归纳法，会求增量即可，属于基础题型.8.在“一带一路”学问测验后，甲、乙、丙三人对成果进行预料．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．成果公布后，三人成果互不相同且只有一个人预料正确，那么三人按成果由高到低次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预料正确，则乙、丙预料错误，则甲比乙成果高，丙比乙成果低，故3人成果由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预料正确，则丙预料也正确，不符合题意；若丙预料正确，则甲必预料错误，丙比乙的成果高，乙比甲成果高，即丙比甲，乙成果都高，即乙预料正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学学问与时政结合，主要考查推理推断实力．题目有肯定难度，留意了基础学问、逻辑推理实力的考查．9.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）【答案】A【解析】【分析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：依据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到详细的表达式.10.已知数列满意，，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第行有个数，），从左至右第行第个数记为（且），则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由第行有个数得出前行共有个数，即.【详解】由题意可知，第行有个数，则前行共有个数对应的数为第行的最终一个数，即即故选：B【点睛】本题主要考查了归纳推理的实力，涉及了等差数列求和公式的应用，属于中档题.11.设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（）．A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，先探讨函数的奇偶性，再利用导数探讨函数的单调性，然后将转化为，即，最终求出的取值范围即可.【详解】令，，因为为奇函数，所以，则函数是定义在上的奇函数，则，因为当时，，所以，则函数在上单调递减，则函数在上是奇函数且单调递减，又因为等价于，即，所以，且，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查导数在探讨函数中的应用，解题关键是正确构造函数，考查逻辑思维实力和运算求解实力，考查转化思想，属于中档题.12.若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令.利用导数，推断的单调性，画出的大致图象.结合图象，当时，至多有一个整数解.当时，在区间内的解集中有且仅有三个整数，只需，即求实数的取值范围.【详解】令，则.令，得或；，得，在和上单调递增，在上单调递减，，且.如图所示当时，至多有一个整数解.当时，在区间内的解集中有且仅有三个整数，只需，即解得.故选：C.【点睛】本题考查利用导数探讨不等式的解，属于较难的题目.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.定积分的值是________．【答案】【解析】【分析】由定积分的几何意义计算，由奇函数在对称区间的积分知为，即可得出结果.【详解】由定积分的几何意义，表示圆面积的一半，所以，又令，且有，所以为定义域上的奇函数，所以，故.故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的计算，考查了学生的运算求解实力.定积分的计算一般有三个方法：（1）利用微积分基本定理求原函数；（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.14.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数满意，则________．【答案】1【解析】【分析】由新定义将化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出后再求模．【详解】由欧拉公式有：，由，所以所以.故答案为：1【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化为代数形式，然后求解.15.已知在上是单调增函数，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】利用在上恒成立，等价于在上恒成立，利用正弦函数的性质得出在的最小值，即可得出的范围.【详解】在上恒成立即在上恒成立，，则故答案为：【点睛】本题主要考查了由函数的单调性求参数的范围，属于中档题.16.已知函数.下列说法正确的是___________.①有且仅有一个极值点；②有零点；③若微小值点为，则；④若微小值点为，则.【答案】①③【解析】【分析】利用导数的学问选四个说法逐一分析，由此确定正确说法的序号.【详解】函数的定义域为，，，所以单调递增，而，所以存在唯一零点，使，即，（*），两边取对数得（**），且时，时，所以是的微小值点.，将（*）和（**）代入上式得，由于，所以在上递减，，所以，所以，也即没有零点.综上所述，①③正确.故答案为：①③【点睛】本小题主要考查利用导数探讨函数的零点、极值点、单调性，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知，，均为正实数．（Ⅰ）用分析法证明：≤；（Ⅱ）用综合法证明：若＝1，则≥8．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）因为＞0，＞0，所以＞0，两边同时平方，依据分析法步骤证明，即可得证．（Ⅱ）利用基本不等式≥，≥，≥，代入即可得证．【详解】（Ⅰ）证明：因为＞0，＞0，所以＞0．要证明≤，即证≤，即证≤，即证≥0，即证≥0．因为不等式≥0明显成立，从而原不等式成立．（Ⅱ）因为，，均为正实数，则由基本不等式，得≥，≥，≥，所以≥，因为，所以≥8．【点睛】本题考查分析法和综合法证明不等式，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些基础学问的理解水平和分析实力，属基础题．18.视察下列等式：……（1）依据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）依据给出等式的规律，干脆写出一般结论；（2）利用数学归纳法证明猜想的结论，递推部分利用时的结论来推导证明当时，等式仍旧成立.【详解】（1）．（2）证明：①当时，左边，右边，左边右边∴当时，等式成立；②假设当时等式成立，即则当时左边右边∴当时，等式也成立由①②可知，对一切，等式都成立．【点睛】本题主要考查了归纳推理和数学归纳法，考查了学生逻辑推理与运算求解实力.19.已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）比较与的大小.【答案】(1)y=x-1；(2)(0,e)单调递增，（e,+）单调递减；（3）【解析】【分析】（1）求出及，从而求得切线斜率，问题得解．（2）对的正负分析，从而推断函数的单调区间．（3）把与的大小转化成与的大小，利用（2）的结论即可推断．【详解】（1）由题可得：，，所以，所以所求切线方程为：，即：（2），当时，当时，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减．（3）因为函数在上单调递减，所以，即：，整理得：，即，由在递增可得：．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数推断函数的单调性及利用函数单调性推断大小，还考查了转化思想及对数函数的运算及性质，计算实力，属于中档题．20.“既要金山银山，又要绿水青山”．某风景区在一个直径为米的半圆形花圆中设计一条观光线路．准备在半圆弧上任选一点（与不重合），沿修一条直线段小路，在路的两侧（留意是两侧）种植绿化带；再沿弧修一条弧形小路，在小路的一侧（留意是一侧）种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽视不计．（1）设（弧度），将绿化带的总长度表示为的函数；（2）求绿化带的总长度的最大值．【答案】（1），其中；（2）米【解析】【分析】(1)先设圆心为，连结，依据题意表示出与弧，即可得出；(2)依据(1)的结果，对函数求导，利用导数方法探讨的单调性，进而可求出结果.【详解】（1）设圆心，连结．在直角中，，弧的长；所以，其中．（2），，令，可得，所以．当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以．所以绿化带的总长度的最大值为米．【点睛】本题主要考查导数应用，熟记导数的方法求函数的单调性以及最值即可，属于常考题型.21.已知函数．（1）探讨函数的单调性；（2）对随意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】【分析】（1）分类探讨，两种状况，利用导数得出函数的单调性；（2）分类参数得出在恒成立，利用导数得出的最小值，即可得出实数的取值范围．【详解】（1）定义域为，①若，则，在单调递增②若，则，在单调递增，单调递减综上知①，在单调递增，②，在单调递增，单调递减（2）不等式恒成立，等价于在恒成立令，，则令，，．所以在单调递增，而所以时，，即，单调递减；时，，即，单调递增所以在处取得最小值，所以即实数的取值范围是【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性以及利用导数探讨不等式的恒成立问题，属于中档题.22.已知函数，．（1）若在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）设函数，且函数的两个极值点为，，求证：；（3）若对于，恒成立，求正实数的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】【分析】（1）对函数求导，由题意可得，可求得m值.（2）函数的定义域为，对函数求导得，由题意得方程的两根分别为、，通过根与系数的关系可得m范围，化简，结合m范围即可得证.（3）原不等式可变为，构造函数，求导，对参数m进行分类探讨，探讨函数的单调性和最值，从而可得m范围.【详解】（1），则，直线