2022高3统考数学文北师大版1轮教师文档：第6章 含答案

第六章

DILIUZHANG

不等式、推理与证明

第一节不等式的性质及一元二次不等式

回顾教材-夯实基础课本温故追根求说

授课提示：对应学生用书第103页

I基础梳理]

1.不等式的基本性质

⑴对称性：a>bob<a.

(2)传递性：a>b,b>c=>a>c.

(3)可加性：c>b+c.

(4)可乘性：a>b,c>gac>bc：

a>b,c<0^>ac<bc.

(5)加法法则：a>b,c>doa+c>b+d.

(6)乘法法则：a>b>0,c>d>gac>bd.

(7)乘方法则：。乂>0=在打(〃£N,鹿21).

(8)开方法则：乐>领(〃£N,〃22).

2.不等式的倒数性质

⑴a>b,ab>0=：<*

(2)a<0<b=5<*.

ab

(3)a>b>0,

3.两个实数比较大小的依据

(1)«—b>O^a>b.

Q)a—b=0=a三b.

(3)a~b<0<^a<b.

有两个相等实根即=

一元二次方程以2+bx有两个相异实根汨，没有实数

b

+c=0(»0)的根X2(X]<X2)及二一五根

ajr+bx+c>0(«>0)的

[x|x<Xl或l}R

解集

cue+bx+c<0(a>0)的

(■r|Xl<¥<X2l00

解集

“知识拓展提升思维能力

1.两个重要不等式

若a>b>0,m>0,则

bb>b-m

⑴片(b—fn>0).

aa-m

aa-rinaa—tn

⑵户讦萧b^b—m(Z?—???>0).

2.一元二次不等式的解法技巧

求不等式加+云+。>0(〃>0)的解集，先求出对应方程以2+饭+C=0(〃>0)的

根，再根据口诀：大于取两边，小于取中间求解集.

3.分式不等式的转化

g(彳)>。？彳>g(x)>0；

fG)、J/(X).g(%)20

g(x)lgG)WO

f(x)(X)，g(%)WO

gG)[g(x)WO

［四基自测］

1.(易错点：不等式性质)下列四个结论，正确的是()

®a>b，c<d=a—c>b—d；®a>b>0,c<d<O=^ac>bd；③〃>b>0=y[a>y[b；

A.①@B.②③

C.@@D.①③

答案：D

2.(基础点：解不等式)不等式M9—x)<0的解集为()

A.(0,9)

B.(9,+8)

C.(一8,())

D.(-8,0)U(9,+8)

答案：D

3.(基础点：三个二次间的关系)若函数¥=y"标一(1—6)x+6的定义域为R,

则m的取值范围是_______.

答案：6，+8)

x+1x<0

4.(基础点:解函数不等式)设於尸，，则於)泞的解集为________.

1^7X>0n

答案：{0}U［l,+8)

考点分类-深度剖析名，币导借以例示法

授课提示：对应学生用书第104页

考点一比较大小及不等式性质

挖掘1作差法(作商法)比较大小/自主练透

［例1］(1)已知〃>0,且4工1,m=acr+\,n=aa^\贝lj()

A.tn^nB.m>n

C.m<nD.

［解析］由题易知加>0,n>0,两式作商，得：=〃(/+1)—(〃+1)=小"一"，当。>1

时，a(a—\)>0f所以小。一|)>〃°=1,即加>〃;当0<。<1时，a(a—1)<0,所以

aa(a~i)>cfi=1,即机>〃.综上，对任意的a>0,1,都有机>九

［答案］B

(2)已知〃>0,比>0,月.则()

A.ab~\-\>a~\-bB.a3-}-b3>a2b-{-ab2

C.2a3b>3a2bD.cflbh<abba

［解析］选项A(作差法)，ab+1—(a-\-b)=ab—a~\-(\—b)=a(b-1)+(1—/?)=(«

—1)(。-1),

显然当a,b中有一个等于1时，(a—1)(/?—1)=0,即ab-\~1=a~\~b\故选项A

不正确.

选项B(作差法)，+/?3—(c^b4-ab2)=(«3—c^b)+(b3—ah2)=c?(a—/?)+Z?2(Z?­d)

=(a2-b2)(a-b)=(a—^(a+b).

332

因为6t>0,b>0f。手b,所以Q+Z?>0,(〃-b)2>0,故(〃一份2(〃+匕)>0,即a-^b>ab

1

+abf故选项B正确.

［答案］B

［破题技法］作差法适用于四则运算形式的整式型代数式的比较大小问题，是解

决比较大小问题的基本方法；作商法适用于某指数形式的代教式以及整式的比较

大小问题.破解此类题的关键点：

(1)作差(商)，即根据两数或两式的结构特征确定作差或作商.

⑵变形，即把差式或商式进行等价变形，化简，以便于判断差或商的大小.

(3)定值，即判断差与0的大小，或商与1的大小.

(4)定号，即根据差与0的大小关系，或商与1的大小关系确定两数或两式的大

小关系.

挖掘2利用不等式性质比较大小/自主练透

［1502］⑴已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式成立的是()

A.xy>yzB.xz>yz

C.xy>xzD.xfy\>zfy\

［解析］因为x>y>z,x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,所以x>0,又)>z,所以

xy>xzf故选C.

［答案］C

h

(2)(2020♦福建厦门一模)已知a>b>0,x=a+加y=b+ae°,z=b+aet贝U()

A.x<z<yB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

［解析］法一：由题意，令。=2,Z?=l,则x=2+e,y=l+2e2,z=l+2e,显

然有l+2e2>l+2e>2+e,即xVzVy.

aabb

法二：时，e>e\：.ae>ae>bef

；.b+ae">b+a』>b+b』,；・y>z,Vz—x=(Z?-a)+(a-Z?)ez,=(a-b)(^—1)>

0,/.z>x,.•・x〈zVy.故选A.

［答案］A

［破题技法］不等式的性质法就是根据已知不等关系，确定已知不等关系向所比

较代数式转化的过程，然后利用不等式的性质判断代数式大小的一种方法,适用

于基本初等函数代数式的比较大小问题.破解此类题的关键点：

⑴明已知，明确已知的不等关系.

(2)定变形，确定由已知不等关系变为要比较大小的代数式的过程.

(3)寻性质，确定变化过程所使用的不等式的性质.

(4)得结果，正确运用不等式的性质判断两者的大小关系.

挖掘3构造函数法比较大小/互动探究

［1503］(1)(2019・高考全国卷H)若则()

A.ln(67-Z?)>0B.3yb

C.〃一分>oD.\a\>\b\

［解析］法一：不妨设。=-1,b=-2r则。>6,可验证A,B,D错误，只有

C正确.

法二：由。〉。，得。一人>0.但。一人>1不一定成立，则ln(a—8)>0不一定成立,

故A不一定成立.

(1b

因为)，=3、在R上是增函数，当时，3>3f故B不成立.

因为y=/在R上是增函数，当时，/>护，即炉一夕〉。，故c成立.

因为当〃=3,匕=一6时，a>b,但⑷〈⑸，所以D不一定成立.故选C.

［答案］C

(2)(2018・高考全国卷HI)设。=logo.20.3,b=\og20.3,则()

A.a+b<ab<0B.ab<a~\-b<0

C.a+bVOVabD.ab<O<a~\~b

［解析］・,Z=k)go.2O.3>k)go.21=O,/?=log20.3<log21=0,：,ab<0.

a+b11

V-^-=~+^=logo.30.2+logo”=logo.sO.4,

・・・1=logo.30.3>logo30.4>logc.31=0,

a~\~b

A0<—7-<l,：.ab<a+b<0.

ab

故选B.

［答案］B

［破题技法］将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得

出大小关家.

考点二一元二次不等式的解法

挖掘1解简单的一元二次不等式/自主练透

［例1］不等式一d—3x+4>0的解集为.(用区间表示)

［解析］—f—3x+4>0=(x+4)(x—1)<0.

如图，作出函数y=(x+4)(%—1)的图像，

，当一4a<1时，><0.

I答案］(-4,1)

［破题技法］一元二次不等式的解集可依据一元二次方程的根及一元二次函数

图像求得，

当苏+法+。=0有两根XI、X2时，

加+bx+c>o(〃>o)的解集是“两根之外”型，

加+云+°<03>0)的解集是“两根之内”型.

X变式训练培养应变能力

1.将本例的不等式改为“一/-3x+4W0”,其解集为.

解析：由一f—3%+4W0得f+3x—420,

即(x+4)(x-l)20,・・・x21或xW—4.

答案：(-8,-4］U［1,+8)

2.将本例的不等式变为—3x+4>0"，其解集为.

解析：令y=f—3x+4,3)2—4X4<0,y>0恒成立.AxeR.

答案：R

挖掘2解含参数的不等式/互动探究

［例2］解不等式f一4奴一5於>0(〃工0).

［解析］由4or—5*>0,

知(x—5a)(x+a)>0.

由于oWO,故分。>0与〃<0讨论.

当a<0时，x<5a或x>—a;

当a>0时，元<一〃或x>5a.

综上，。<0时，解集为{小<54或x>一〃};

a>0时，解集为{x|x>5a或x<-a}.

［破题技法］对含参数的一元二次不等式，也要按此原理讨论

方法解读适合题型

化为"O^+ZZX+CAO"(a>0)的形式，求方程不含参数的

“二次关系

加+bx+c=0的根，结合图像，写出解集“大一元二次不

数形结合”

于取两边，小于取中间”等式

①二次项中的系数含参数，讨论等于0,小于

0,大于0；含参数的不

讨论参数法

②方程根个数不定，讨论/与0的关系；等式

③根的大小不定时，讨论两根大小

，变式训练培养应变能力

此题变为：求解不等式加一级+珊》。.

(CLX-1)2

解析：显然“W0,・,•不等式变为——-——20,

工当。>0时，xeR,

当a<0时，x=~

挖掘3已知不等式的解集求参数/互动探究

［例3］(1)(2020•河南濮阳模拟)已知不等式o?+bx+OO的解集是3aVxV

^}(«>0),则不等式cf+队+〃V0的解集是()

1111,

A.(『-)B.(-8,胪(7+8)

C.{x|a<x<^}D.(—8,a)U(£,+8)

［解析］不等式加+云+。>0的解集是{x|aVxV.}(a>0),则a,4是一元二次

bc

方程ar2+Z?x+r=0的实数,根，且4V0,：.oA~B=-1不等式cx^A-bx

cb

化为

+QV0-af+ra+l>0,

・・・0^^—3+£)4+1>0,化为(ax—1)侬-1)>0,又OVaVQ,・••不

等式cf+bx+oVO的解集为卜卜或故选B.

［答案］B

(2)(2020.广东梅州模拟)关于j的不等式I—(〃z+2)x+2mV0的解集中恰有3个

正整数，则实数机的取值范围为()

A.(5,6］B.(5,6)

C.(2,3］D.(2,3)

［解析］关于x的不等式x2—(，%+2)x+2/wV0可化为(x—m)Q—2)V0,,・,该不等

式的解集中恰有3个正整数，，不等式的解集为{x|2VxVm},且5V%W6,即

实数机的取值范围是(5,6］.故选A.

［答案］A

一同源异考重在触类旁通

已知不等式加+法+c>0的解集为总，3),则不等式cf+法+。<0的解集为

解析：由题意得x=T，3是方程加+bx+c=0的两根,

73

・・b=一呼,。=呼(〃<0),.•.cf+bx+oVO,即为3f—7x+2>0得x>2或xV

1

3,

答案：(一8,1)U(2,+8)

考点三不等式恒成立问题

挖掘1在R上恒成立问题/自主练透

［例1］不等式。2+8。23乃（〃十。）对于任意的〃，恒成立，则实数2的取值

范围为.

［解析］因为4+初2%（〃+/?）对于任意的a"£R恒成立，所以〃?+8/一次々

+8）20恒成立，即/一劝a+（8—乃/20恒成立，由二次不等式的性质可得A

=/加+4（2—8）从=户（万+42—32）忘0,所以«+8）a-4）W0,解得一8W2W4.

［答案］［-8,4］

［破题技法］不等式恒成立常见题型：

（4=0,

4>0,

（l）o?+bx+c20a£R）恒成立,即:1C»或〈6=0,

/W0

、c20.

（a=0,

-Y0,

（2）Q『+bx+cW0（x£R）怛成立，即彳或《力=0,

NWO,

〔cWO.

L同源异考重在触类旁通

（2020.湖南湘潭联考）若不等式4f+以+4>0的解集为R,则实数a的取值范围

是（）

A.（-16,0）B.（-16,0］

C.（一8,0）D.（-8,8）

解析：•・•不等式4f+or+4>0的解集为R,

・・・/=〃2—4X4X4V0,解得一8V〃V8,J实数。的取值范围是（一8,8）.故选

D.

答案：D

挖掘2在给定x的区间上恒成立问题/互动探究

［1502］⑴（2020•郑州调研）若不等式/+以+120对一切x£（0,义都成立，则。

的最小值是________.

［解析］法一：由于Q0,则由已知可得一1一（在x《（0,£上恒成立，而当

闻0,时，（―x—%x=V

故々的最小值为一方.

法二：设KOnf+or+l,则其对称轴为x=-/

①若一/当即时，危）在（0,3上单调递减，此时应有娟20,从而一

-1.

②若一表0,即〃>0时，y（x）在（o,；上单调递增，此时应有40）=1>0恒成立，

故。>0.

③若ow—即一lv〃W0时，则应有彳-3=・一5+1=1—qNO恒成立,

故一lva《0.

综上，〃的最小值为一|.

［答案］-1

(2)已知於ju/nr2-/nr—1,若对于工£［1,3］,y(x)V一加+5恒成立，则实数〃?

的取值范围是.

［解析］由，加一mx—1V—川+5

得相。2—x+l)V6.

Vx2—x+1>0,

・・・mV、_：+］在［1,3］上恒成立.

,66

?y=f-r+l=

T)2+；

•••/二0一百/+3在“，引上是增函教，

.,・4='_彳+］在［1,3］上是减函数•

因此函数的最小值ymin=¥

m的取值范围是(—8,争.

［答案］(一8,目

［破题技法］1.不等式成立常见题型

(l)f+mx+〃W0(x£［a,句)恒成立，

(f(^)W0,

即「

1/⑹W0.

c(/(〃)20,

(2)—f如恒成立，即$,,八、八

f⑹NO.

2.二次不等式在给定x的区间上恒成立有两种解法：

(1)分离参数法：即如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比

较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解.。2段)恒成立等价于

aey(X)max；恒成立等价于aW«r)min.

(2)讨论法：将问题整理为二次不等式问题，讨论轴与区间的关系，求参数范围.

挖掘3给定参数范围恒成立求未知数范围/互动探究

［例3］(1)对于任意。£［—1,1］,+(a—4)x+4—2a的值恒大于0,那么

x的取值范围是.

［解析］令g(a)=f+(。-4)x+4—2a=(x—ZM+x2—4x+4,由题意知g(—1)>0

且g⑴>0,解得x<l或x>3.

［答案］(―8,［)u(3,+°°)

⑵不等式a^-2x-a+1<0对满足同W1的一切实数a都成立，则实数x的取值

范围是________

［解析］由得一iWaWl,不等式变形为（x2—1）。一（2x—1）VO,不等式可

y-i-(2X-D<o,

以看成关于。的一次函数，所以只需，

(X2-1)-(2x-l)<0,

f-ZvVO,

解得小一IVxVZ

—x2—2x+2V0,

［答案］（V§—L2）

［破题技法］给出参数范围解不等式，采用反解“主元法”，将参数视作“主

元”，即将参数看作“自变量”的构造函数，建立不等式.

第二节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

^^回顾教材-夯实基础课本温故追根来源

授课提示：对应学生用书第107页

［基础梳理］

1.二元一次不等式（组）表示的平面区域

不等式表示区域

Ar+B)，+C>0直线小:+8y+C=0某一侧不包括边界直线

Ax+By+C20的所有点组成的平面区域包括边界直线

不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分

2.线性规划中的有关概念

名称意义

约束条件由变量X,V组成的不等式（组）

线性约束条件由X,），的一次不等式组成的不等式（缰

目标函数关于X,y的函数解析式,如z=x+2y

线性目标函数关于x,y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解（x,y）

可行域所有可行触组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小

线性规划问题

值问题

E知识拓展提升思维能力

确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法

确定二元一次不等式（组）表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定

域”的方法.

（1）直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直线不在区域内.

（2）特殊点定域，在直线上方（下方）取一点，代人不等式成立，则区域就为上方（下

方），否则就是下方（上方）.特别地，当CW0时，常把原点作为测试点；当C=0

时，常选点（1,0）或者（0,1）作为测试点.

（3）对于Ar+3），+O0的区域：

Ar

当3>0时，化为y>一万万直线上方；

Ar

当BVO时，化为）Y一万r—下，直线下方.

［四基自测］

答案：C

华+5），28,

2.（基础点：线性目标函数最值）若变量x,y满足约束条件J1则z=

3x+2y的最小值为（）

31,

A.丁B.6

23

C.yD.4

答案：C

3.（基础点：线性目标函数最值）（2018・高考全国卷I）若x,y满足约束条件

x-2y-2^0,

<x—y+120,则z=3x+2y的最大值为.

答案：6

卜20,

4.（基础点：平面区域面积）不等式组Jx+3y24,所表示的平面区域的面积等于

13/+户4

宏享.-

u来.3

^■_考点分类-深度剖析名帅导悟以例示法

授课提示：对应学生用书第107页

考点一平面区域及面积问题

挖掘求区域面积或参数/自主练透

3+厂6・0,

［例］（1）（2020・济南模拟）不等式组｛x+y-320,表示的平面区域的面积为

（）

A.4B.1

C.5D.无穷大

(2x+y-6,0,

［解析］不等式组*+厂320,表示的平面区域如图所示(阴影部分)，AABC

〔户2

的面积即为所求.求出点A,B,C的坐标分别为(1,2),(2,2),(3,0),则△A3C

的面积为S=1x(2-l)X2=l.

I答案］B

x+y—3W0,

⑵若函数y=2”图像上存在点(x,y)满足约束条件《人一2y—3W0,则实数机的最

大值为()

A.gB.1

3

D.2

x+y—3W0,

［解析］在同一直角坐标系中作出函数)，=2、的图像及一所表示的平

X—2y—3W0

面区域，如图阴影部分所示.

由图可知，当时，

函数y=2'的图像上存在点(x,y)满足约束条件，

故nt的最大值为1.

［答案］B

产，

⑶已知不等式组3y24,所表示的平面区域的面积被直线),=丘+之分为

［3x+yW4

2：1两部分，则k的值是.

由于直线过定点（0,3.因此只有直线过A8的三等分点时，直线y=Ax

4

+§能把平面区域分为2：1两部分.

因为4（1,1）,B（0,4）,所以4B靠近A的三等分点为修，2）,靠近B的三等分

点为&3）,当y=依+,过点停，2）时，2=1,当），=气+狂点由3）时，2=5.

［答案］1或5

［破题技法］求平面区域的面积

（1）首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条

件转化为不等式组问题，从讹作出平面区域.

（2）对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形（如平行

四边形或梯形），可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个

三角形分别求解再求和即可.

⑶利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方

法去求解.

考点二线性规划中的目标函数最值问题

挖掘1不含参数的线性目标函数最值/自主练透

2x+3y—620,

［例1］⑴（2019・高考全国卷II）若变量居y满足约束条件”+厂3W0,则z

、），一2<0,

=3x—y的最大值是.

I解析］作出已知约束条件对应的可行域（图中阴影部分），由图易知，当直线y

=3x—z过点C时，一z最小，即z最大.

即C点坐标为(3,0),故Zmax=3X3-0=9.

［答案］9

%+2厂520,

（2）（2018♦高考全国卷H）若羽y满足约束条件•<x—2y+320,则z=x+y的最大

j—5W0,

值为.

［解析］由不等式组画出可行域，如图（阴影部分），x+y取得最大值=斜率为一

1的直线x+y=z（z看作常数）的横截距最大，

由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.

1=5

由'卜2；，+3=。得点8,4），

••Zmax=5+4=9.

［答案］9

j2x+y+320,

y满足约束条件2y+420,则z=x+^y

（3）（2018・高考全国卷HI）若变量x,

L-2^0,

的最大值是.

［解析］画出可行域如图所示阴影部分，由z=x+）y得y=-3x+3z,作出直线

y=-3xf并平移该直线，当直线y=-3x+3z过点AQ,3）时，目标函数2=冗+

上取得最大值为

［答案］3

［破题技法］求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的

顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应

的数值，从而确定目标函数的最值.

挖掘2含参数的线性目标函数问题/互动探究

产十代0,

［例2］(1)变量x,y满足约束条件Jx—2y+220,若z=2r—y的最大值为2,

yWO.

则实数机等于()

A.-2B.-1

C.1D.2

［解析］如图所示，当mWO时，比如在①的位置，此时为开放区域无最大值，

当加＞2时，比如在②的位置，此时在原点取得最大值，不满足题意，当0＜加＜2

x—2y+2=0,

时，在点A取得最大值，所以彳=

ynx-y=0

(22m

4匕二T，茄刁，代入得m=L

［答案］C

(2)已知实数x,y满足2y+220,若z=x一缈只在点(4,3)处取得最大值,

12x+yN2,

则实数a的取值范围是________.

卜一)W1,

［解析］法一：由不等式组«入-2)，+220,作出可行域如图，

5-/

4-//^%-2y=-2

解得。(4,3).

当。=0时，目标函数化为z=x,由图可知，可行解(4,3)使z=x—ay取得最大

值，符合题意；

当。>0时，由z=x—ay,得丁=7一此直线斜率大于0,当在y轴上的截距

最小时，z最大，

要使可行解(4,3)为目标函数z=x—ay取得最大值的唯一最优解，则!>1,即0

<67<1,符合题意；

当4Vo时，由Z=x—ay,得'=5一亲此直线斜率为负值，当在y轴上的截距

最大时，z最大，

要使可行解(4,3)为目标函数z=x—ay取得最大值的唯一最优解，则5V0,即。

<0.

综上,买数。的取值范围是(一8,1).

法二:作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A(l,0),

，

W5),C(4,3),当直线z=x—ay过点4时得zi=1;当直线z=x—oy过点

26

§时，Z=--a

25-5当直线z=x~ay过点C(4,3)时，Z3=4—3〃,由题可知

4一341,

26

4-345-科

［答案］(―8，1)

［破题技法］由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参数问题的基本方法

有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代

入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先

分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优

解的位置，从而求出参数.

挖掘3非线性目标函数的最值/互动探究

「工一2y+4W0,

Iv+1

［例3］(1)(2020•河南郑州一模)已知变量筋)，满足"22,贝ij仁七的

L+y-6^0,

取值范围是()

A.k＞］或右一5B.-5WRV］

C.—5WZ；D.2y或右一5

卜一2)，+4W0,

［解析］由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，其中

［x+y—620

4(2,4),左=v七+三1的几何意义为可行域内的动点(x,y)与定点P(3,—1)连线的斜

［解析］画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z=f+2x+V=

a+1)’十了一1,其几何意义是平面区域内的点(人，»)到定点(一1,0)的距离的平

方再减去1,观察图形可得，平面区域内的点到定点(一1,0)的距离的最小值为

13

故Z=f+2%+尸的最小值为Zmin=W—1=—1，选D.

［答案］D

卜一y+220,

⑶实数x,y满足不等式组，2x—y—5W0,则z=Lx+2)，一4|的最大值为

Lr+y—420,

［解析］作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z=|x+2y-

2x-y-5=0

4|=卜某一第*小，其几何意义为阴影区域内的点到直线工+2丁一4=0的距离

的乖倍.

由『'得8点坐标为(7,9),显然点3到直线彳+2>一4=0的距离最

7%-y—5=0,

大，此时Zmax=21.

［答案］21

［破题技法］求解非线性目标函数的最值

y-b

利用几何意义来求.(1)斜率型:z=

x—a

(2)两点间的距离型：z=(x~a)2+Cy—b)2.

(3)点到直线的距离型：z=|Ax+8y+C|.

考点三线性规划的实际应用及创新应用

挖掘1线性规划的建模/互动探究

［例1］(1)某旅行社租用A,8两种型号的客车安排900名客人旅行，A,B两种

车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行

社要求租车号数不超过21辆，且8型车不多于A型车7辆.则租金最少为()

A.31200元B.36000元

C.36800元D.38400元

［解析］设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z=l600工+2400)，，则约

"36x4-60)^900,

x+yW21,

束条件为《「

<xty《N,

也=21

y-%=7

36x+60y=900

4(5,12K

/I

^0］

作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值Zmin

=36800(元).

［答案］c

(2)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B

原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、8原料1千克.每桶甲产品的

利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，

要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生

产的甲、马两种产品中，公司共可获得的最大利润是()

A.1800元B.2400元

C.2800元D.3100元

［解析］设该公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则.y满足

作出可行域，如图中四边影OABC的边界及其内部整点.

2x+y=12,

作直线加3/+4)，=0,平移直线/o经可行域内点8时,z取最大值，由,八_

［x+2j=12,

得8(4,4),满足题意,所以Zmax=4X300+4X400=2800(元).

［答案］c

［破题技法］1.在实际应用问题中，通过建立约束条件求出线性目标函数的最优

解，体会线性规划的建模与实际意义.

2.一般步骤为：

(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借

助表格或图形理清变量之间的关系.

(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量尤y,并列出相应的

不等式组和目标函数.

(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解).

(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值).

(5)检验：根据结果，检验反馈.

挖掘2线性规划的创新应用/自主练透

r3x-2y-3^0,

［例2］(1)(从“整点”视角)己知上一3丁+620,则不等式组所表示的区域内

2+厂220,

整数点的个数为.

［解析］法一：画出约束条件所表示的平面区域如图所示，在平面区域中画网

格线，由图可见，平面区域内有6个整数点.

法二：画出约束条件表示的平面区域如图所示，计算出交点A(3,3),8(0,2),

C(l,0),则0«,xez.

「、33

px-2y-3^0,了二2”—2，

得卜号+2,

由《3y+620,

[2x+)，—220,

<y^2~2x.

当x=0时，y=2,此时整数点个数为1:

7

当x=l时，由OWyWg,y£Z,得y取值为0,1,2,此时整数点个数为3;

38

当x=2时，由得y取值为2,此时整数点个数为1;

当x=3时，y=3,整数点个数为1.

综上所述，平面区域内有6个整数点.

［答案］6

x+y26,

(2)(从“命题条件”视角)(2019.高考全国卷HI)记不等式组.、八表示的平

面区域为。.命题p：3(x,y)E。，2r+y29；命题q：V(x,y)£。，2x+yW12.

下面给出了四个命题

①pVq②除p\q®p/\^>q④㈱p八㈱q

这四个命题中，所有真命题的编号是()

A.①@B.①②

C.(2X3)D.③④

［解析］法一：画出可行域如图中阴影部分所示.

目标函数z=2x+y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z=2x+y的

纵截距.显然，直线过点A(2,4)时，Zmin=2X2+4=8,即z=2x+y，8.

.•・2x+y£［8,+°°).由此得命题p:3(x,y)££),2x+y29正确；

命题心V(x,y)£O,2x+yW12不正确.・••①③真，②④假.故选A.

x+y26,

法二：取x=4,y=5,满足不等式组J、且满足2x+y29,不满足2x

［2x—y^0t

+yW12,故〃真，g假.

，①©真，②④假.故选A.

［答案］A

"3x-2y-3W0,1

⑶(从“概率”视角)已知“一3丁+620,表示的区域为0,不等式(L£|+(y

Z+y-220

—1)2W(表示的区域为八向。区域均匀随机撒280颗豆子，则落在区域T中的

豆子数约为.(九七3.1)

［解析］画出约束条件表示的平面区域如图所示，计算出交点4(3,3),8(0,2),

C(1,0).区域。的面积为SL45C=2，区域〃的面积为:，所以向。区域内随机

7：

8

撒豆子，落入区域，的概率为三=今,故落入区域，的豆子数为今X280=10TIg31.

，ZoZo

［答案］31

(4)(从“转化为二元变量”视角)设等差数列｛斯｝的首项为卬，公差为％前〃项

和为S〃.若4mW〃3+3,ai^2ai+6,52>2,则数列｛为｝的前4项和的最大值

为.

［解析］该题可用线性规划来求解，

［4〃［Wa3+3,2d—3W0,

由已知,otW2ai+6,得｛m—3d+620,S4=4m+6d.

〔S222,120+4-220,

如图所示，S4在点A(3,3)处取得最大值，

即当ai=d=3时，(S4)max=4X3+6X3=30.

［答案］30

［破题技法］对于线性规划无论从哪个视角创新，都是涉及二元一次不等式(组)

问题，用“形”表示区域，数形结合，直观想象来解决问题.

第三节基本不等式及其应用

^■回顾教材•夯实基础课本温故追根求说

授课提示：对应学生用书第110页

I基础梳理］

1.重要不等式

层+序22仍3,R)(当且仅当a=b时等号成立).

2.基本不等式：板W号

(1)基本不等式成立的条件是〃>0,b>0.

(2)等号成立的条件是：当日.仅当w上时取等号.

(3)其中怨称为正数小b的算术平均数,质称为正数小b的几何平均数.

3.利用基本不等式求最值问题

已知八>0,)>0,则:

(1)如果积W是定值p,那么当且仅当x=y时、x+y有最小值是2g(简记:积

定和最小).

2

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时，xv有最大值是学简记:和定积

最大)

■知识拓展提升思维能力

1.基本不等式的两种常用变形形式

(、2

(a,beR,当且仅当。=匕时取等号).

Q）a+b22迎（a>0,b>Ot当且仅当。=8时取等号）.

2.几个重要的结论

a2+b2

(1)—

(2,+如2(">0).

(。>0,b>0).

［四基自测］

1.（基础点：求积的最值）设Q0,）>0,且x+y=18,则孙的最大值为（）

A.80B.77

C.81D.82

答案：C

2.（易错点：不等式的应用条件）若xVO,则）

A.有最小值，且最小值为2

B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为一2

D.有最大值，且最大值为一2

答案：D

3.（基础点：构造不等式的定值）已知Q1,则x+士的最小值为.

答案:5

4.（易错点：T的代换）若!+913>0,/?>0）,则的最小值为

答案：4

^■_考点分类-深度剖析名师导悟以例示法

授课提示：对应学生用书第110页

考点一利用基本不等式求最值

挖掘1直接应用基本不等式求最值/自主练透

［1501］⑴当QO时，函数/（力=石7fr（）

A.最小值1B.最大值1

C.最小值2D.最大值2

22