2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展三：空间向量中动点的设法(详解版)

拓展三：空间向量中动点的设法

三目标导航

立体几何是高考必考的核心问题之一，每年都会考查一道大题，主要考查点线面位置关系的判定、体积问

题、空间角、动点问题.其中最复杂的是将动点加入到要考查的问题中，立体几何中的动点问题因其能够较

好地考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力而受到命题者青睐.求解此类动点问题采用向量法（坐标法）

来求解可以避开复杂的中间分析过程，将待求目标表示成变量的函数模型，借助函数求值域的方法求出最

值.

含'高频考点

-（三）双动点

'三知识梳理

知识点1空间向量可解决的立体几何问题

用表示直线。力的方向向量，用m,n表示平面。的法向量

1、判定（证明）类

(1)线面平行：a//b<s>a//b

线面垂直：a±b<i>a±b（3）面面平行：而〃日

(4)面面垂直：=

2、计算类:

利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线/,机的方向向量分别为。涉，平面4尸的法向量分别为

m,n,则

①两直线/,〃?所成的角为cos,，弓=

②直线/与平面a所成的角为。（Owesin。=cos（a,mam

③二面角a-/—力的大小为。（OWew〃）,|cosO|I=nMi-M?I

Imiln|

cos6=cos=gpr或cos6=—cos（而,耳=一露j（视平面角与法向量夹角关系而定）

④点到平面距离：设A为平面a外一点，p为平面a上任意一点，则A到平面«的距离为dA_a

即AP在法向量〃上投影的绝对值.

知识点2空间向量动点的设法

在立体几何解答题中常常涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本

讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧：

1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标（x,y,z）,再想办法利用条件求出坐标

2、解题关键：减少变量数量——（x,y,z）可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或

者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，

最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：

（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标

（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标

规律：维度=所用变量个数

3、如何减少变量：

（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若"〃Bom4eR使得£=（2设问法）

例：已知A。,3,4）,网0,2,1）,那么直线4P上的某点/（x,y,z）坐标可用一个变量表示，方法如下：

W=（x-l,y-3,z-4）,AP=（-l,-l,-3）——三点中取两点构成两个向量

因为M在AP上，AM//AP=>AM=AAP——共线定理的应用（关键）

x—1=-Ax=\-2

,y_3=-A=>,y=3-A,即Af（1—43—44—3兄）---仅用一个变量X表示

z—4=—32z—4—3A

注：①若点在x轴上可设点为（7,o,o）,若点在y轴上可设点为（0/0）,若点在z轴上可设点为（o,o,t）,注

意根据具体题目给出t的范围。（点落在与％y,z轴平行的直线处理方式大致相同）

②若点在直线/上，且直线/在k。，平面上，则点的竖坐标为o,若已知直线/上的两点坐标，除了使用

力设问法，还可以在X。）,平面上表示出直线/的方程，得到％，y的关系，则引入一个参数x（注意给出参

数的范围）即可表示点的坐标。（同理若直线在Mz,yoz平面上也适用，不适用于在空间中的斜线）

③若点在面上，有时也可利用向量共线定理解决。

（2）平面上的点：平面向量基本定理——若aB不共线，则平面上任意一个向量Z，均存在2,0GR,使

得：c=Mi+8b

例：已知A（l,3,4）,P（0,2,l）,Q（2,4,0）,则平面APQ上的某点M（x,y,z）坐标可用两

个变量表示，方法如下：AM=(x-l,y-3,Z-4),AP=(-l,-l,-3),Pe=(2,2,-l),

x—1=—A,+2/？x=1—^+2/？

故AM=AAP+^PQ即<y-3=—A4-2(3=><y=3—4+2/?

z—4=—3A—Pz=4—3/1—

考点精析

考点一动点的设法

（-）动点在x,y,z轴上

若点在X轴上可设点为0,0）,若点在）'轴上可设点为（0/0）,若点在Z轴上可设点为（0,0"）,注意

根据具体题目给出t的范围。(点落在与x,y,z轴平行的直线处理方式大致相同)

【例1-1】在边长为2正方体AG中:

(1)求证AC|_L平面4c3；

(2)求直线CC与平面6C4所成角的正弦值;

5

(3)线段AB上是否存在一点M(不与端点重合，使得二面角4-MC-G所成平面角的余弦值为

V26

若存在，求I的值，若不存在，请说明理由.

变式1：如图，且AO=2BC,ADLCD>EG//AD且EG=AD,CD//FG且CD=2FG>。6_1_平

ffiABCD,DA=DC=DG=2.

(1)若加为。尸的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面CDE；

C

(II)求二面角E-BC-F的正弦值；

(ID)若点P在线段。G上，且直线3尸与平面AZJGE所成的角为60。，求线段。尸的长.

变式2：(2019•天津卷)如图，AE_L平面ABC。>CF//AE，AD//BC>ADLAB>AB=AD=1，

I)求证：〃尸〃平面AOE；

(II)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值

(IH)若二面角E-BD-F的余弦值为3>求线段CF的长.

(二)动点在双9平面的直线上

若点在直线I上,且直线I在W平面上,则点的竖坐标为0,若已知直线I上的两点坐标，除了使用；I设问法,

还可以在xoy平面上表示出直线/的方程，得到x，y的关系，则引入一个参数X(注意给出参数的范围)

即可表示点的坐标。(同理若直线在mz,yoz平面上也适用，不适用于在空间中的斜线)

【例1-2］如图>在三棱锥P-4BC中，AB=BC=2y/2，PA=PB=PC=AC=4>。为AC的中点.

(I)证明：尸。_1_平面ABC；

R

(II)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30。,求PC与平面PAM所成角的正弦值.

(三)动点在空间的斜线上

平面向量共线定理——若£〃另=>三义eR,使得a="设问法)

【例1-3】在四棱锥P—ABCZ)中，平面平面ABCD,△尸AD为等边三角形，AB^AD=^CD,

ABLAD,AB//CD,点M是尸C的中点.

(1)求证：M3〃平面E4O；

(2)求二面角尸—BC—O的余弦值；

PN

(3)在线段P5上是否存在点N,使得DV_L平面PBC?若存在，请求出=的值；若不存在，请说明理

由.

变式1：如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCO是菱形，PA=BD=6AB=26且PB=PD.

(1)证明：平面尸AC,平面ABCO；

片---------%

(2)若Q4_LAC,棱PC上一点M满足求直线8D与平面43例所成角的正弦.

变式2：如图，三棱柱ABC-45G中，侧棱必，平面A5C,△MC为等腰直角三角形，ZBAC=9Q°,

且A6=A4=2,E,F分别是CC-BC的中点.

(I)若。是AA|的中点，求证：3。//平面AEF;

(H)线段4E(包括端点)上是否存在点使直线81M与平面AE尸所成的角为60°?若有，确定点M

的位置；若没有，说明理由.

变式3：如图，三棱柱4BC-ABC中，他1_侧面8片。,，已知NCBG=90,BC=1,AB=ClC=2,点

E是棱G。的中点.

(1)求异面直线AE与80所成的角的余弦值;

⑵在棱C4上是否存在一点“，使得与平面AAE所成角的正弦值为Ml,若存在，求出署的值;

11CA

若不存在，请说明理由.

变式4：如图，在四棱锥S-ABCQ中，侧面SAZ)为等边三角形，底面ABC。为等腰梯形，且AB=BC=CO=1,

AD=2,SA=SB

(1)证明：平面SADJ_平面ABC。；

TTDM

⑵若点M在棱叼上，且二面角M-M-D的大小为“求诉的值・

动点在面内【例1-4】四棱锥5-ABC。中，SAJ•平面ABCD,底面四边形A3CD为直角梯形，AB//CD,

AD1DC,SA=AD=DC=2,AB=1.

(0)求证：平面SAO_L平面SCO；

(E)求二面角S—BC-D的余弦值;

(0)例为SC中点，在四边形ABC。所在的平面内是否存在一点N,使得MNJ•平面SBD,若存在，求三

角形AZW的面积；若不存在，请说明理由.

变式1：已知四棱锥P-ABCD的底面ABC。是直角梯形，AD//BC,AB1BC,AB=#),BC=2AD=2,E为

(1)证明:平面P8OJ_平面ABC£＞；

TT

⑵若PB=P＞改与平面AB。所成的角为“试问”在侧面尸。内是否存在一点M使得平面

PCO?”若存在，求出点N到平面48CZ)的距离；若不存在，请说明理由.

考点二与动点有关的最值问题

(-*)单个动点，动点坐标含一个变量

对于单个动点的动态问题，一般是设出该动点的坐标，如果该动点的坐标只含有一个变量，则将目标

函数表示成该变量的一元函数模型，借助函数求最值的方法求解.要特别注意变量的取值范围.

【例2-1】如图：正方体ABCQ-A耳GR的棱长为2,M,N分别为棱AB,BC的中点，若点P为线段AN

上的动点(不包括端点)，设异面直线GP与MN所成角为凡贝Ucos，的取值范围是

【例2-2】已知，如图四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为菱形，ZABC=60°,

AB=PA=2,PAL平面ABC。，E,M分别是BC,中点，点尸在棱PC上移动.

(1)证明：无论点尸在PC上如何移动，都有平面向，平面PA。；

(2)是否存在点尸，使得直线"'与平面PCD所成的角最大，若存在，试确定点下的位置.

变式1：如图，在四棱锥P-A3CD中，PA_L底面ABC。，AD//BC,AB_LAP,点M在棱槽上，PM=2MB,

2

点N在棱PC上，PA=AB=AD=-BC=2.

(1)若CN=2NP,。为/Y)的中点，求证：A,M,N,。四点共面;

(2)求直线PA与平面AMN所成角的正弦的最大值.

(二)单个动点，动点坐标含两个变量

对于单个动点的动态问题，一般是设出该动点的坐标，如果该动点的坐标含有两个变量，则考虑两个

变量的几何意义，或者借助减元的思想减少变量.

【例2-3】如图，在正四棱柱ABCO-AgCQ中，AB=3,M=4,P是侧面BCG4内的动点，且,

记AP与平面BCC向所成的角为巴贝!jtan。的最大值为()

25

C.2D.~9

变式1:已知直四棱柱ABC。-ABC。的高为4,底面边长均为2,且ZBW=60。，尸是侧面8CC内

内的一点，若。则”的最小值为.

（三）双动点

对于双动点问题，一般是设出其中一个较为简单的动点的坐标（此时含一个变量），对于另外一个较

为复杂点的坐标，则不必设出，可以借助向量的线性运算进行转化，从而得到所需的向量（用坐标表示，

此时还有一个变量）.最后将待求目标表示成为含两个变量的函数模型，借助完全平方式的性质求出最值.

【例2-4】如图，在菱形ABCD中，AB=2拒,Zfi4D=60°,沿对角线比）将折起，使点A,C之

间的距离为3应，若P，。分别为线段BO,CA上的动点，则线段PQ的最小值为一.

题组A基础过关练

1、如图所示，在三棱柱ABC—中，平面ABC,然=4。=6。=4,ZACB=90°,£是

CG的中点.

（1）求直线A3与平面所成角的正弦值;

（2）在棱CG上是否存在一点P,使得平面R钻与平面4BE所成二面角为45。？若存在，求出P点的

坐标；若不存在，请说明理由.

2、直三棱柱A3C-A/5/G中，ABLAC,且AC=AB=/L4/=2.

(1)求证A/8,5/C；

⑵M、N分别为棱CG、BC的中点，点尸在线段4小上，是否存在点P,使平面PMN与平面ABC所成

角的余弦值为坦，若存在，试确定点尸的位置，若不存在，请说明理由.

21

3、已知梯形BEEC如图1所示，其中BF//EC,EC=3,BF=2,四边形ABC。是边长为1的正方形，

沿AO将四边形EDAF折起，使得平面平面ABCD,得到如图2所示的几何

(1)求证：平面AEC，平面BOE；

(2)若点”在线段3。上，且E”与平面巫尸所成角的正弦值为迈，求线段的长度.

9

4、如图，在三棱柱ABC-AAG中，四边形A4CC是边长为4的正方形，平面ABC_L平面MG。，

AB=3,BC=5

(1)求证：平面ABC

(2)求二面角\-BC.-B,的余弦值;

BD

(3)证明：在线段Bq上存在点。，使得AOJ.AB,并求百丁的值.

LJ।

题组B能力提升练

5、如图，在四棱锥P—ABC。中，B4_L平面ABCD,ZABC=ZBAD=90°,AZ>=A尸=4,

AB=BC=2,“为PC的中点.

(1)求异面直线PO与所成角的余弦值;

(2)点N在线段AD上，当AN为何值时，直线MN与平面PC。所成角的正弦值为立？

3

2

6、如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧棱A6_L平面BCD,尸为线段50中点，ZBCD=-7T,Afi=3,

BC=CD=2.

(1)证明：。尸，平面4加％

⑵设。是线段4。上一点'二面角A-BQ-C的正弦值为乎'求篝的值.

7、如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AAt=AB=AC=\,ABrAC,M,N分别是棱CG，BC的中点，点尸

在线段4蜴上.

(1)当直线PN与平面A，BC所成角最大时，求线段\P的长度;

⑵是否存在这样的点尸'使平面衣与平面ACC所成的二面角的余弦值为当'若存在'试确定点尸的位

置，若不存在，说明理由.

8、如图，在直四棱柱AB8-ABCQ中，底面ABC。为菱形，NABC=60。,AA=AB=2.

⑴点尸为直线GC上的动点，求证：BDVA.P.

⑵点P为直线GA上的动点，求直线AC与平面所成角正弦值的最大值.

题组C培优拔尖练

9、如图，在四棱锥P—ABCD中，24_1面M。。.Q4=A5=AD=2,四边形A6CD满足4?_LAD,

BC//AD,3c=4,点/为PC中点，点E为8C边上的动点

DM〃平面PAB.

2

(II)是否存在点E,使得二面角P-的余弦值为§?若存在，求出线段3E的长度；若不存在,

说明理由.

10、在四棱柱ABCD-A4GA中，底面A8CD是正方形，且BC=BB[=6,4,AB=N41Ao=60。.

(1)求证：BDA.CC,；

(2)若动点£在棱G2上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面3。瓦所成角的正弦值为立.

11、直四棱柱AB8-ABCA中，底面ABC。是边长为4的正方

B

形，A4,=26.点M是侧面8CC4内的动点(不含边界)，AM1MC,则AM与平面

BCC其所成角的正切值的取值范围为.

12、已知正四棱柱ABC。-44G〃中，AB=2,A4,=6.若例是侧面BCC£内的动点，且A〃_LMC,

则14加|的最小值为.

13、如图，在四棱锥中，底面488为直角梯形，AD//BC,ZAQC=90,平面口，底面A8CO,

。为AO的中点，"是棱PC上的点，PA=PD=2,BC=^AD=\,CD=B

(1)求证：平面"Q8"L平面PA。；

⑵若PM=3PC,求异面直线AP与BM所成角的余弦值；

⑶在线段PC上是否存在一点M,使二面角M-BQ-C大小为30?若存在，请指出点M的位置,若不存在,

请说明理由.

14、已知四棱锥P-43C。的底面A8CO是直角梯形，AD//BC,AB1BC,AB=C,BC=2AD=2,E为CD

R

的中点，PBYAE.

(1)证明：AEJ_平面

jr

(2)若依=尸。，尸C与平面458所成的角为二，试问〃在侧面PC。内是否存在一点N,使得BN,平面

PCD?若存在，求出3N的长度；若不存在，请说明理由.

15、如图所示，四棱锥S-A8C。的底面为等腰梯形，ABAD^2ZABC=4AABD=\20°,二面角S—8D-A

为直二面角.

(1)求证：CD1SB

⑵若△S8C为等边三角形,当点M在棱5c上运动时,记直线SM与平面SAD所成角为。,

当cos。最小时，求桨的值.

DC

拓展三：空间向量中动点的设法

三目标导航

立体几何是高考必考的核心问题之一，每年都会考查一道大题，主要考查点线面位置关系的判定、体积问

题、空间角、动点问题.其中最复杂的是将动点加入到要考查的问题中，立体几何中的动点问题因其能够较

好地考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力而受到命题者青睐.求解此类动点问题采用向量法（坐标法）

来求解可以避开复杂的中间分析过程，将待求目标表示成变量的函数模型，借助函数求值域的方法求出最

值.

含'高频考点

-（三）双动点

'三知识梳理

知识点1空间向量可解决的立体几何问题

用表示直线。力的方向向量，用m,n表示平面。的法向量

1、判定（证明）类

(1)线面平行：a//b<s>a//b

线面垂直：a±b<i>a±b（3）面面平行：而〃日

(4)面面垂直：=

2、计算类:

利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线/,机的方向向量分别为。涉，平面4尸的法向量分别为

m,n,则

①两直线/,〃?所成的角为cos,，弓=

②直线/与平面a所成的角为。（Owesin。=cos（a,mam

③二面角a-/—力的大小为。（OWew〃）,|cosO|I=nMi-M?I

Imiln|

cos6=cos=gpr或cos6=—cos（而,耳=一露j（视平面角与法向量夹角关系而定）

④点到平面距离：设A为平面a外一点，p为平面a上任意一点，则A到平面«的距离为dA_a

即AP在法向量〃上投影的绝对值.

知识点2空间向量动点的设法

在立体几何解答题中常常涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本

讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧：

1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标（x,y,z）,再想办法利用条件求出坐标

2、解题关键：减少变量数量——（x,y,z）可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或

者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，

最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：

（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标

（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标

规律：维度=所用变量个数

3、如何减少变量：

（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若"〃Bom4eR使得£=（2设问法）

例：已知A。,3,4）,网0,2,1）,那么直线4P上的某点/（x,y,z）坐标可用一个变量表示，方法如下：

W=（x-l,y-3,z-4）,AP=（-l,-l,-3）——三点中取两点构成两个向量

因为M在AP上，AM//AP=>AM=AAP——共线定理的应用（关键）

x—1=-Ax=\-2

,y_3=-A=>,y=3-A,即Af（1—43—44—3兄）---仅用一个变量X表示

z—4=—32z—4—3A

注：①若点在x轴上可设点为（7,o,o）,若点在y轴上可设点为（0/0）,若点在z轴上可设点为（o,o,t）,注

意根据具体题目给出t的范围。（点落在与％y,z轴平行的直线处理方式大致相同）

②若点在直线/上，且直线/在k。，平面上，则点的竖坐标为o,若已知直线/上的两点坐标，除了使用

力设问法，还可以在X。）,平面上表示出直线/的方程，得到％，y的关系，则引入一个参数x（注意给出参

数的范围）即可表示点的坐标。（同理若直线在Mz,yoz平面上也适用，不适用于在空间中的斜线）

③若点在面上，有时也可利用向量共线定理解决。

（2）平面上的点：平面向量基本定理——若aB不共线，则平面上任意一个向量Z，均存在2,0GR,使

得：c=Mi+8b

例：已知A（l,3,4）,P（0,2,l）,Q（2,4,0）,则平面APQ上的某点M（x,y,z）坐标可用两

个变量表示，方法如下：AM=(x-l,y-3,Z-4),AP=(-l,-l,-3),Pe=(2,2,-l),

x—1=—A,+2/？x=1—^+2/？

故AM=AAP+^PQ即<y-3=—A4-2(3=><y=3—4+2/?

z—4=—3A—Pz=4—3/1—

考点精析

考点一动点的设法

（-）动点在x,y,z轴上

若点在X轴上可设点为0,0）,若点在）'轴上可设点为（0/0）,若点在Z轴上可设点为（0,0"）,注意

根据具体题目给出t的范围。(点落在与x,y,z轴平行的直线处理方式大致相同)

【例1-1】在边长为2正方体AG中:

(1)求证AC|_L平面4c3；

(2)求直线CC与平面6C4所成角的正弦值;

5

(3)线段AB上是否存在一点M(不与端点重合，使得二面角4-MC-G所成平面角的余弦值为

V26

若存在，求IAMI的值，若不存在，请说明理由.

【解析】(D以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系

40,0,0),0(2,2,2),4(2,0,2),C(2,2,0),£),(0,2,2)

ACi=(2,2,2),B^C=(0,2,-2),的=(-2,2,0)设平面B.CD,的法向量为万=(x,y,z)

2y-2z=0

，则无=(1,1,1)

-2x+2y=0

又超=2万，ACJ/n

则AG_L平面与C2

(2)CCi=(0,0,2)

CCi-n二|品昌则直线cc,与平面B.CD,所成角的正弦值为辛

'肥西

(3)设痂=4砾0”<1,5(2,0,0),则M(2Z0,0)

即福=(2,0,0),说=(2/1,0,0),电=(2/1,0,-2),而=(2,2,-2)

GW=(22-2,-2,0),Cq=(0,0,2)

设平面的法向量为*=（N，X，ZJ

J4M•4=0f2/tXj-2Zj=0

，则]=(L/l—LX)

[AjC-zij=02%j+2yt—2zt=0

同理可得出平面MC}C的法向量为2=（1,%-1，0）

__________1+(__1)2__________

|cos(万”为)==，=即12；12+/1一1=0,解得4=一:（舍），九=!

I7I+M-I)2+A2-7I+(>L-I)2V263-4

即存在\AM|=|使得二面角A-^C-C,所成平面角的余弦值为会

变式1：如图，AD//BC且AD=2BC,ADVCD，EG//AD且EG=AD,CD//FG且CD=2FG>OGJ_平

ffiABCD,DA=DC=DG=2.

I）若M为C尸的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面CDE；

（II）求二面角E-BC-F的正弦值；

（III）若点P在线段OG上，且直线BP与平面AZJGE所成的角为60。，求线段。尸的长.

【解析】（I）证明：依题意以O为坐标原点，分别以示、或、反;的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立

空间直角坐标系（如图）.

可得。(0,0,0),4(2,0,0),B(l,2,0),C(0,2,0),E(2,0.2),F(0,1,2),

，1)'N(l，0,2).

G(0,0,2),

依题意，Dt=(0,2,0),防=(2,0,2).

设m)=(x,y,z)为平面COE的法向量，

"o•反'=2y=0»

t不妨令z=-1,可得"o=(l,0,—1),

{no-DE=2x+2z=O'

3

又加=(1,—2»1),可得向儿〃o=0.又因为直线MNC平面CDE，

所以MN〃平面CDE.

(H)依题意，可得成■=(-1,0,0)>Bk=(l,-2,2),肆=(0,-1,2).

设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量，

n-Bt=—x=0'

则不妨令z=l,可得"=(0,1,1).

n-Bi=x—2y+2z=0

设桁=(x,y,z)为平面BCF的法向量，

m•前=—x=0>

则’-不妨令z=l,可得，”=(0,2,1).

jtfCF=—y+2z=0'

nrn3^1^

因此有cos{m,n)=而而=10,

yio

于是sin{m,n)=1().

Vio

所以二面角E-BC-F的正弦值为io.

(HI)设线段OP的长为//G/0,2/)，则点尸的坐标为(0,0,h),

可得励=(-1,-2,%)，而应=(0,2,0)为平面AOGE的一个法向量,

一呼虎|2

故总〈昉，.〉尸防便「诉行

2_亚亚

由题意，可得亚行=5加60。=2，解得％=3G[。，2].

更

所以线段。尸的长为3.

变式2：(2019•天津卷)如图，AEJ_平面ABCD，CF//AE，AD//BC-ADA.AB，AB=AD=i>

(II)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

1

(ID)若二面角E-BD-F的余弦值为5>求线段CF的长.

【解析】依题意，建立以4为原点，分别以油，Ab，油的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角

坐标系（如图），则4（0>0>0）1B（\，0，0），C（1，2，0），。（0，1，0），E（0>0'2）.设CF=h（h>Q）>则

（I）证明：依题意14^=（1»0>0）是平面ADE的法向量1又肝=（0'2'h）'可得呼-W&=0,又因为

直线8Ht平面ADE，所以8尸〃平面ADE.

（U）依题意，Bb=（~l，1，0），>0>2）»Cfe=（-1，-2>2）.

\n-Bb=0，

设M=（X，j，z）为平面BDE的法向量，则

〃•施=0>

—x+j=0，

即-x+2z=0，不妨令z=l'可得”=(2*2,1).

电“4

因此有cos〈注“〉=鬲了-

4

所以直线CE与平面8OE所成角的正弦值为祝

（田）设m=（x，j，z）为平面BDF的法向量，

—X+J=0，

则取）=1，

nvBp—2y-\-hz=Q'

2

可得m=(\>1>—h)>

2

依山|4-—I1

由题意'|cos{m'n)|=|/„|.|H|=I4=3

3*72+必

8

解得〃=，.经检验，符合题意.

8

所以线段CF的长为不

（二）动点在工。）‘平面的直线上

若点在直线/上，且直线/在%。）'平面上，则点的竖坐标为0,若已知直线/上的两点坐标，除了使用

力设问法，还可以在北少平面上表示出直线/的方程，得到％，y的关系，则引入一个参数x（注意给出参

数的范围）即可表示点的坐标。（同理若直线在wz,yoz平面上也适用，不适用于在空间中的斜线）

【例1-2]如图，在三棱锥P-A5C中，AB=BC=2y[2>PA=PB=PC=AC=4>。为AC的中点.

（II）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30。,求PC与平面PAM所成角的正弦值.

【解析】（I）证明：因为PA=PC=AC=4，。为4c的中点，所以P0J_4C，且尸。=2巾.连接OB>因为

S1

AB=BC=2AC＞所以A45c为等腰直角三角形，且OB±AC，OB=iAC=2.

所以PO2+OB2=PB2，所以PO±OB.

又因为O8ruc=。，所以PO_L平面ABC.

以。为坐标原点，仍，流，舁的方向分别为X轴、y轴、z轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由已知得0(0,0,0),B(2,0,0),4(0,-2,0),C(0，2，0),P(0,

0,2aA>=(0,2,2^3).

取平面RIC的一个法向量加=(2,0,0).

设M(a,2-a,0)(0Va=2)，贝!|碱=(a,4~a,0).

设平面PAM的法向量为n=(x,y,z)«

A>n=0，j2y+2小z=0，

由[而.〃=()，得(4-")产。，

令y=，5a,得z=-a,x=y/3(a—4),所以平面RIA1的一个法向量为〃=[5(。-4),y/3a,—a]9

2小(。一4)

所以cos(彷，加=2/(a—4)2+3/+了

Y亚

由已知可得|cos{OB»n)1=2'

、2由HIV5

所以(a—4)2+3a2+a2-2，

4

解得a=3或a=-4(舍去).

8巾4^34

所以M=(—3*31—3)-

8/8小

3+3亚

又网'=(0)2*—273))所以cos限'it)——/641616=4.所以PC与平面PAM所成角

14+12,3+3+9

亚

的正弦值为4.

方法二：建立以。为坐标原点，。8,。。,。尸分别为犬》*轴的空间直角坐标系如图所示，则A((),-2,0),

m0,273),C(0,2,0),B(2,0,0),设丽=2前=(-22,2/1,0)(04几Vl),则

AM=BM-BA=(-2A,,24,0)-(-2,-2,0)=(2-2A,22+2,0),

则平面PAC的法向量为m=(1,0,0),

设平面MPA的法向量为=(x,%z),则PA=(0,-2,-26),

n-PA=-2y-2-j3z=0,n-AM=(2—24)x+(24+2)y=0,

(4+1)6

令z=1,贝!Jy=一x=

1-2

°J3

—面角M—PA—C为30°9cos30=i_..।—---

rrH29

即_____一=B,解得八！或2=3(舍),

J(丁卜石产+1+3xl2

设平面MR4的法向量万=(2>/3,-V3,l),PC=(0,2,-2^),

...访_।|-2石-2百|4>/3石

设尸C与平面小例所成的角为0，贝!pn'=|cos<PC,n>\=^==-^=^=—=—

所以尸C与平面出〃所成角的正弦值为3.

平面向量共线定理——若a//b=>弘eR,使得£=篇"设问法)

【例1-3】在四棱锥P—ABCZ)中，平面力山，平面ABC。，APAD为等边三角形,AB=A£>=:C。，

2

ABrAD,AB//CD,点M是PC的中点.

C(1)求证：MB〃平面相O；

B

(2)求二面角尸—BC—。的余弦值；

PN

(3)在线段尸8上是否存在点N,使得。N_L平面尸8C?若存在，请求出——的值；若不存在，请说明理

PB

由.

【解析】(1)取尸。中点"，连结M",AH.因为M为PC中点，所以HM//CD,HM=-CD.

2

因为所以且所以四边形A8MH为平行四边形，

2

所以BM//AH.

因为BMC平面PAD,AHu平面PAD,所以3M〃平面PAD.

(2)取AO中点0,连结尸O.因为《4=尸。，所以P0L4。.

因为平面%£>"£平面A8CD,平面RIOn平面4BCD=A。，POu平面R1O,所以PO_L平面ABCD.

取BC中点K,连结OK,贝！］0K〃A3.

以。为原点，如图建立空间直角坐标系，设A5=2,

则4(1,0,0),8(1,2,0),。(一1,4,0),力(一1,0,0)/倒,0,右)，

BC=(-2,2,()),而=(1,2,—石),，则平面BCD的法向量9=((),(),有)，

设平面P5c的法向量3=(x,y,z),

BCn=Q,-2x+2y=0

由,一,得〈厂令1=1,则

PBn=Qx+2y-J3z=0.

3

n=(1,1,5/3).cos<OP,n>=_O_P_n_______叵

\OP\\n\~y/3xy/5~5,

由图可知，二面角尸-BC-。是锐二面角,

所以二面角P-8C-O的余弦值为史

5

(3)在线段尸8上是不存在点M使得。平面PBC.

设点N(x,y,z),且=,则丽=彳而，所以(x,y,z-G)=九(1,2,-出).则

PB\7