《高等数学》(第三版)教案第八章全

第8章矩阵与线性方程组8.1.1矩阵的概念课题8.1.1矩阵的概念教学目标知识目标（1）理解并掌握矩阵的概念；（2）掌握几类特殊矩阵的表示形式；（3）学会用矩阵方法解决问题.能力目标通过教学活动使学生体会数学知识与实际生活的联系不可分割性，培养学生善于观察能力教学重点矩阵的概念、几类特殊矩阵教学难点用矩阵方法解决问题教法学法探究式问题教学法、小组学习法。2课时。教学反思用实例引入矩阵的概念，在教学中启发学生用矩阵方法解决数学或实际问题，在讲解特殊矩阵时要求学生会写出相应的具体特殊矩阵形式.教学过程设计意图一、知识回顾向量表示二、情境引入两个儿童A和B一起玩“石头—剪刀—布”的游戏，当A,B各自选定一种出法的时候，就确定了一个“局势”，可以据此定出各自的输赢，我们规定胜者得2分，负者得-2分，平手时得0分.如何用数表形式对上述中表示各种可能的“局势”下A的得分情况进行表述？三、合作探究（讲授新课）1.学习新知(一)、矩阵的概念A得分情况可用表4-1表示如下：表４－1ABABB石头剪刀布石头022剪刀202布220为了研究方便，把表中的数据用数表形式描述为：．数学上把这种数表称为矩阵.由个数排成的一个行、列的矩形数表称为行列矩阵，简称矩阵,常用大写字母等表示,行列矩阵也记作，(或),其中为矩阵的行数，为矩阵的列数，称为矩阵的第行第列元素（或简称为元）．(二)、相等矩阵两个矩阵的行数和列数分别相等时，就称它们是同型矩阵．如果矩阵与是同型矩阵，且各对应元素也相等，则称矩阵与相等，记作．【例1】设，，如果，求,,,．解：由必有解方程组,得．(三)、特殊矩阵(1)方阵当时，，称矩阵为阶方阵，元素称为主对角线上的元素，简称为主对角元．(2)行矩阵、列矩阵当时，，只有一行的矩阵称为行矩阵．当时，，只有一列的矩阵称为列矩阵．(3)对角矩阵除了主对角线上的元素以外，其余元素全为零的方阵称为对角矩阵.(4)单位矩阵主对角元全为1的n阶对角矩阵称为n阶单位矩阵，简称n阶单位阵，记作．例如表示3阶单位阵.(5)零矩阵所有元素都是零的矩阵称为零矩阵,记为O.例如是3行2列的零矩阵.2.探究例题gggggggg（单位：kw•h）、天然气（单位：m3）的使用情况如表4-2所示．表４－2物业月份物业月份水（t）电(kw•h)天然气（m3）7月10180188月9190169月1017015用矩阵的形式来描述上述数据.解：上述数据可以用3阶方阵来表示:．【例3】在线性方程组中，如果把它的系数和常数项按按原来顺序写出，就可以得到一个m行、n+1列的矩阵：．四、课堂练习1.把线性方程组的系数和常数项按原来的顺序写成一个3行5列的矩阵．2.写出矩阵的元素．3.当时，的值各为多少？五、课堂小结1、矩阵的概念；2、几类特殊矩阵；3、运用矩阵方法解决问题——复杂问题矩阵六、布置作业高等数学习题集“作业8.1.1”中的1，2，3，4向量表示形式也是特殊矩阵的一种表示形式，在此复习向量的表示也作为引入新课的一个内容用引例引入新课，增加学生学习兴趣引导学生用数表来表述数据说明数表特点，引出矩阵概念，过渡自然讲授相等矩阵概念，强调行数与列数分别相等几个常见的特殊矩阵，要求熟练掌握此处说明行矩阵（列）矩阵与行（列）向量是同一内容不同的说法讲解时要求学生写出具体的矩阵通过应用举例，用矩阵来表述实际问题中的数据关系时，要理解行和列元素所代表的实际意义在数学中的应用例子相应的课堂练习巩固所学知识总结课堂内容，加深所学知识课题8.1.2矩阵的运算教学目标知识目标（1）熟练掌握矩阵的加减、乘法、数乘、转置运算及其规律；（2）会用Excel软件求解矩阵的运算.能力目标通过教学活动使学生体会矩阵运算与数的运算区别，培养学生善于思考、分析问题能力，以及计算能力.教学重点矩阵的运算教学难点矩阵乘法运算以及在实际中的应用教法学法讲授法教学法，小组学习法。4课时。教学反思在教学中进行比较矩阵的运算与数的运算的区别，学生在矩阵乘法运算在实际问题中的应用会有所困难，注重在这方面的引导.教学过程设计意图一、知识回顾矩阵概念及特殊矩阵二、情境引入英国某个城镇中，每年有20%的已婚女姓离婚，30%的单身女性结婚．城镇中有8000位已婚女性和3000位单身女性．假设所有女性的总数为一常数，一年后有多少已婚女性和单身女性呢？三、合作探究（讲授新课）1.学习新知（一）、矩阵加（减）法设，均为矩阵，和中对应元素相加（减）所得到的新矩阵，称为矩阵与的和（差），记作，即＝．矩阵加法满足下列运算律：（1）交换律：；（2）结合律：；注意：只有同型的两个矩阵才能进行矩阵的加法运算．【例1】设，求，．解：，．（二）、-数乘矩阵设，是任意的一个实数，用数乘以矩阵的所有元素所得到的新矩阵，称为的数乘矩阵，记作，即．数乘矩阵满足下列运算律：（A、B为矩阵，、为常数）（1）分配律，；（2）结合律．【例2】设，求矩阵．其中，.解：由得．（三）、-矩阵的乘法某乡有甲、乙、丙三个村，今年农作物产量如表4-3所示：表４-3农作物产量表单位：t农作物运输价格及收购价格用以下矩阵表示（单位：百元/t）．如何求三个村四种农作物运输价格和收购价格（单位：百元）？上述问题中费用用矩阵来表示，即可记为，具体表示如下：运输价格运输价格收购价格收购价格故上述运算过程给出了矩阵与矩阵乘法的一个实际应用背景．设矩阵，，称矩阵为矩阵与的乘积，记作，其中．注意：（1）只有当矩阵的列数等于矩阵的行数时，才有意义．（2）矩阵的行数等于的行数，列数等于矩阵的列数．【例3】设,，求．解：【例4】设，，求与．解：,无意义．由此例可以看出，矩阵乘积一般不满足交换律，即．特殊地，．矩阵乘法满足以下运算律：（1）结合律：；（为常数）；（2）分配律：，．（四）、-矩阵的转置的行与列依次互换位置，得到n乘m矩阵，称为A的转置，记作,即.例如，矩阵，则．可以验证，转置矩阵有如下运算性质：（1）；（2）；（3）（为常数）；（4）；2.探究例题现在来解决引入的问题：可构造矩阵A：第一行元素分别为1年后仍处于婚姻状态的已婚女性和已婚的单身女性的百分比.第二行元素分别为1年后离婚的已婚女性和未婚的单身女性的百分比.因此有，一年后已婚女性和单身女性人数可以用乘以计算：故一年后将有7300位已婚女性和3700位单身女性.四、课堂练习1．设，求2．设；(1）计算(2）若.（3）设，求五、课堂小结1.矩阵的加法2.数乘矩阵3.矩阵的乘法4.矩阵的转置六、布置作业高等数学习题集“作业8.1.2”中的1，2，6与“作业8.1.2”中的3，4，52.拓展作业根据本节内容和自己的专业、特长，上网阅读、查找相关资料3.上机操作利用Excel求解矩阵的加法、数乘、乘法引例导入激发学生兴趣定义运算并讲述运算律，在此与数的加法进行比较教学，以便更好掌握知识数乘矩阵体现了数与矩阵的联系应用举例巩固数乘矩阵的定义用实例引入，更好理解矩阵相乘定义矩阵相乘数学例子矩阵相乘在实际问题中应用，强调矩阵里元素的意义，并引导学生思考---两年后该城镇的已婚女性和单身女性的数量课堂巩固练习总结矩阵几种运算的定义和运算规律课题8.2矩阵的秩教学目标知识目标（1）理解矩阵初等行变换的三种形式；（2）学会利用初等行变换方法化阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵；（3）了解矩阵的秩的定义；（4）掌握利用初等行变换求矩阵的秩．能力目标培养学生计算能力，以及善于观察能力教学重点用初等行变换方法化阶梯形矩阵，矩阵的秩的求法教学难点用初等行变换方法化行简化阶梯形矩阵，矩阵的秩的求法教法学法启发式教学法，小组讨论学法。2课时。教学反思先熟悉初等行变换的三种形式，用循序渐近的方法举例讲解，讲解时要求学生注意矩阵变换过程，学生在用初等行变换求矩阵的秩是个难点，讲解时特别强调阶梯形矩阵的形式教学过程设计意图一、知识回顾复习特殊矩阵二、情境引入线性方程组的解有以下三种情况：唯一解、无穷多解、无解，如何判断线性方程组有解无解，或解多解少？三、合作探究（讲授新课）1.学习新知（一）、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵施行如下三种变换：（1）对换变换：交换矩阵两行,如交换两行，可记为（eq\o\ac(○,i)eq\o\ac(○,j)）；（2）倍乘变换：用一个非零数乘以矩阵的某一行；如第行乘以，可记为eq\o\ac(○,i)；（3）倍加变换：把矩阵的某一行乘以数后加到另一行上去,如第行乘以后加到第行上，可记为eq\o\ac(○,i)+eq\o\ac(○,j)．（二）、阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵满足以下条件的矩阵称为阶梯形矩阵：（1）矩阵的零行若存在,均在矩阵的最下方；（2）各个非零行的第一个非零元素所在列的下方元素全为零例如矩阵，，，都是阶梯形矩阵．如果阶梯形矩阵还满足以下条件，称为行简化阶梯形矩阵：（1）各非零行的第一个非零元素都是；（2）所有第一个非零元素所在列的其余元素都是0．例如矩阵，是行简化阶梯形矩阵，而矩阵，都不是行简化阶梯形矩阵．行简化阶梯形矩阵是一种特殊的阶梯形矩阵,其特点是矩阵中非零行的第一个非零元素都是1,而这些非零元“1”所在的列的其它元素均为0.利用初等行变换可以把矩阵化为阶梯形矩阵，进而化为行简化阶梯形矩阵．2.探究例题【例1】用矩阵的初等行变换将矩阵先化为阶梯形矩阵，再化为行简化阶梯形矩阵．解：3.学习新知矩阵的阶梯形矩阵中所含非零行的个数，称为矩阵的秩，记作.由定义可知求矩阵的秩，只需把它化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的个数，就是矩阵的秩．例如，，，.对于阶方阵，如果，那么称为满秩矩阵，或称非奇异矩阵．上述的B，都是满秩矩阵4.探究例题【例1】设，判断是否为满秩矩阵．解:，故是满秩矩阵.【例2】设，,求,.解:.故=3．.故=3．事实上，我们观察到矩阵是由矩阵增加一列而构成，在利用初等行变换求矩阵的秩的过程中可以观察到，删除每一步最后一列正是矩阵经过初等行变换的变化过程.换句话说，今后只要利用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，就可以同时得到A与的秩.四.课堂练习1．用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵.2．用矩阵的初等行变换将矩阵化为行简化阶梯形矩阵.3．求下列矩阵的秩（1）；（2）；（3）．五、课堂小结1.初等变换的三种形式：对换、数乘、倍加；2.用初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵；3.用初等行变换求矩阵的秩．六、布置作业高等数学习题集“作业8.2.1”中的1、2“作业8.2.2”中的1.线性方程组的解的讨论离不开一个重要概念---秩，求秩常见方法用初等变换法，初等变换的三种变换定义要对比讲解阶梯形矩阵概念不好理解，讲述时可以举阶梯形与不是阶梯形矩阵的例子，以便比较比较阶梯形与行简化阶梯形矩阵的特征用初等变换来化阶梯形矩阵讲述满秩矩阵定义时，还要启发学生观察满秩矩阵的特点详细的步骤让学生养成认真学习习惯课堂巩固练习小结课堂内容，小结时特别强调秩的定义课题8.3逆矩阵教学目标知识目标（1）理解逆矩阵概念；（2）了解逆矩阵的性质；（3）会判定逆矩阵的存在性；（4）熟练掌握求逆矩阵的方法．能力目标通过对实际问题的分析，培养学生善于观察问题和分析问题的能力，同时培养学生自觉应用数学知识解决实际问题，培养学生利用软件辅助求解数学中的问题教学重点逆矩阵的判定和求逆矩阵教学难点求逆矩阵教法学法演示教学法、小组学习法.。2课时。教学反思教学中要说明逆矩阵存在情况下进行求解，因为求逆矩阵也是繁琐的一个过程，所以要求学生求解每步都要求认真仔细，否则计算量更大，同时要求结果要验验是否为逆矩阵教学过程设计意图一、知识回顾矩阵初等行变换二、情境引入破译密文与构造密钥是当今密码学的热点，如何用矩阵理论来解析密码学中的“加密”和“解密”呢？三、合作探究1.学习新知（一）、逆矩阵概念对于矩阵，如果存在矩阵，使得，则称为可逆矩阵，矩阵称为的逆矩阵，记作，即．由定义知：（1）单位矩阵可逆，且；（2）如果是可逆矩阵，那么也是可逆矩阵．并且与互为逆阵，即，；（3）可逆矩阵一定是方阵，可逆矩阵的逆是唯一的；【例１】设，，判断与是否互为逆矩阵？解：，，由定义知与互为逆矩阵．（二）、可逆矩阵的性质设和为同阶可逆方阵，数．则（1）；（2）；（3）；（4）．（三）、矩阵可逆的判别矩阵的逆存在性问题也是线性代数中研究的重要内容，为了判别逆的存在性，这里引入一个新概念-----行列式．(１).行列式设二阶方阵，定义一个的二阶行列式：det=，并规定的二阶行列式的值为.设三阶方阵，定义一个的三阶行列式:det，并规定的三阶行列式的值为【例2】求行列式和．解：，.对于阶方阵，同样可以定义一个阶行列式：，其值可以用软件Excel求解．(2).矩阵可逆的判别定理定理1：矩阵可逆的充要条件是．定理2：矩阵可逆的充要条件是A为满秩矩阵．（四）、用初等行变换法求矩阵的逆为了方便研究，我们把阶方阵与同阶的单位矩阵写成一个矩阵，中间用竖线隔开，即，然后利用初等行变换，若能化成单位矩阵，则说明可逆，在相同的变换下，原来的就化成了，简写为．2.探究例题【例3】求矩阵的逆矩阵．解:所以可逆，且．【例4】求解矩阵方程X=．解：设,，则原方程可写为所以，由于可逆，则由得，从而．矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种就是基于利用可逆矩阵的方法，先在26个英文字母与数字间建立一一对应关系，例如可以是：若要发出信息“ILOVEYOU”;使用上述代码，则此信息码为：“9,12,15,22,5,25,15,21”,此种编码很容易被别人破译．我们可以用矩阵乘法对明文“ILOVEYOU”进行加密，进行加密后传送.然后合法用户进行解密，具体做法如下:（1）选择一个可逆矩阵作为加密矩阵，如选择：记明文的编码为(空格对应于0)(2)即密文编码为”24,3,-3,37,-17,-10,21,-21,0”.(3)合法用户解密:只用左乘上述矩阵便可得到“明码”.四、课堂练习1．利用矩阵的初等行变换判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆.(1)；(2);(3)；(4)．2．已知矩阵方程X=，求矩阵X．五、课堂小结1.逆矩阵概念2.可逆矩阵的性质3.矩阵可逆的判别4.用初等变换法求矩阵的逆六、布置作业高等数学习题集“作业8.3”中的1，2利用Excel求解课堂练习复习初等行变换以便更好掌握新课罗列逆矩阵性质，忽略证明行列式的引入也为逆矩阵的判别提供了很不错的方法要求会计算低阶的行列式，高阶的可通过辅助软件实现用初等行变换求矩阵的逆时强调最后结果要检验，把结果与已知矩阵相乘看是否为单位阵逆矩阵在求解矩阵方程中的应用矩阵在密码学中的简单应用，这部分知识的引入，一方面让学生感知数学的应用性，另一方面激发学生对数学的兴趣，引导学生思考：再找出一个3阶矩阵作为加密矩阵，并求出密文编码小结本课时内容课题8.4线性方程组解的讨论教学目标知识目标（1）了解线性方程组解的判定；（2）学会求线性方程组的解．能力目标通过对实际问题的分析，培养学生善于观察问题和分析问题的能力，同时培养学生具有用数学知识解决实际问题的能力教学重点线性方程组解的判定和求解线性方程组教学难点求解线性方程组教法学法讲练结合法教学、合作学习法.2课时。教学反思教学中体现线性方程组的求解与矩阵初等变换是相关的，同时强调线性方程组在实际中的应用教学过程设计意图一、知识回顾初等行变换的三种变换二、情境引入我国古代数学家张丘建写的《算经》一书中曾经解答了下面的题目:鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏三值钱一,百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?'三、合作探究（讲授新课）1.学习新知（一）、线性方程组的矩阵表示上述问题就是求由三个未知量二个方程所构成的方程组的非负整数解的问题.对于一般线性方程组(4.1)记，，根据矩阵的乘法，线性方程组(4.1)可表示成矩阵形式：(4.2)式(4.2)称为线性方程组(4.1)的矩阵表示，矩阵A称为系数矩阵，矩阵称为增广矩阵．当线性方程组(4.1)的常数项均为0时，即(4.3)称它为齐次线性方程组，它的矩阵形式为显然，任何一个线性方程组都有唯一的增广矩阵与之对应．写出线性方程组的矩阵形式与增广矩阵．解：设，，，则方程组的矩阵形式为：AX=B增广矩阵为．（二）、线性方程组解的判定对于线性方程组的解，有如下两个定理．定理1设、分别是线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵，那么（1）线性方程组(4.1)无解（或）；（2）线性方程组(4.1)有惟一解；（3）线性方程组(4.1)有无穷多解.由于齐次线性方程组(4.3)的,故齐次线性方程组一定有零解.定理2设是齐次线性方程组(4.3)的系数矩阵，那么（1）齐次线性方程组(4.3)只有零解；（2）齐次线性方程组(4.3)有非零解.注意：上述的是指未知量的个数,而不是方程组中的方程个数．【例2】判断以下线性方程组是否有解？若有解，是惟一解还是有无穷多解？（1）；（2）（3）解：（1）用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即.，根据定理1，方程组无解．事实上，若把矩阵写成其对应的线性方程组，矩阵的第三行对应一个矛盾方程，故方程组无解.(2)利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵，即.由定理1知，方程组有惟一解．利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵，即,由定理1知，方程组有无穷多解.（三）、求线性方程组的解【例3】求例2（2）中线性方程组的解．解：对例2（2）中所得的阶梯形矩阵继续施行初等行变换，化成行简化阶梯形矩阵：，与原方程同解的方程组，故方程组的解为【例4】求例2（3）中线性方程组的解.解：对例2（3）中所得的阶梯形矩阵继续施行初等行变换，化成行简化阶梯形矩阵：与原方程组同解的方程组为：令，得原方程组的解为：其中为任意常数,这种解的形式称为线性方程组的通解或一般解.【例5】求解齐次线性方程组解：该齐次线性方程组的系数矩阵与原方程组同解的方程组为：令，得原方程组的通解为：，其中为任意常数．2.探究例题【例6】木工，电工，水泥工互相装修他们自已的房子，每人总工作10天，每人日工资为300—370元，每人的日工资应使得每人的总收入与总支出相等，表44为分配方案，问他们的日工资分别为多少？表４－4木工电工水泥工在木工家工作天数216在电工家工作天数451在水泥家工作天数443解：设木工，电工，水泥的日工资分别为，依题意，则其对应的线性方程组为：化为齐次线性方程组为：其对应的系数矩阵为，把化为阶梯形矩阵：与原方程组同解的方程组为设，得原方程组的通解为：由于每人日工资为300—370元，可取=360，上述方法求解得，即每人日工资分别为310元、320元、360元.四、课堂练习1．求线性方程组的解（1）；（2）2.求齐次线性方程组的解五、课堂小结1.线性方程组的矩阵表示2.线性方程组解的判定3.求线性方程组的解六、布置作业高等数学习题集“作业8.4”中的1，2利用Excel求解课堂练习用一道典型的古代数学问题引入新课线性方程组的系数用矩阵来表示线性方程组解的解判定，这部分内容要求学生熟练掌握定理结论，不作展开证明用初等变换方法及结合定理1对线性方程组解的情况进行判定无解的情况唯一解的情况无穷解的情况唯一解求解结果无穷多解的解表示求解齐次线性方程组，当无穷多解时注意其解的表示方式线性方程组求解的实例结合实际情况进行求解讲完此道例题后可以引导学生思考：“情境引入”的求解课堂相应练习进行巩固以提问的方式来小结本次课的内容