第五章平均指标

第五章平均指标第一节平均指标概述第二节算术平均数第三节调和平均数第四节几何平均数第五节中位数和众数1一、平均指标的意义和特点平均指标定义：平均指标是社会经济统计中广泛应用的一种综合指标。它是反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。整个变量数列通常是以平均数为中心而波动的,

平均指标的数值表现称为平均数或平均值。所以，通常情况下平均指标又叫平均数。第一节平均指标概述2平均数在平均的过程中,能够消除偶然性因素的影响,揭示出必然性因素对总体特征值的作用,这就是平均数,它是研究总体数量特征很重要的指标。整个变量数列通常是以平均数为中心而波动的,

3平均指标的特点。

平均指标具有代表性和抽象性两个重要特点：平均指标即是总体各单位标志值的代表水平。平均指标又抽象了总体各单位标志值之间的数量差异

4平均指标具有广泛的比较作用。(2)平均指标可以作为判断事物的标准和制定生产定额的依据(3)利用平均指标可以深入进行统计分析研究。二、平均指标的作用平均指标在统计研究中的重要作用,主要有以下三点:5平均指标的种类

中位数位置平均数静态众数平均数算术平均数调和平均数数值平均数动态几何平均数

6四、总和符号及求和法则代表总和的通用符号常用希腊文大写字母Σ(读作sigma),也称为连加符号。最常见的形式为，代表各个变量值相加,其中代表各个变量值,总和号上、下方的符号表明计算总和的Xi的起止点:为方便起见,简写为ΣX。其他求和的法则或公式

P62-637第二节算术平均数一、算术平均数的基本公式平均数是社会经济统计中最常用的一种平均指标。该基本公式具有两个特点:①分子和分母必须属于同一个总体。②分子和分母有一一对应的数量关系。

计算公式

总体标志总量算术平均数=————————

总体单位总数

8在社会经济实践的运用中,凡是符合上述公式的两个基本特点的指标,均可称为算术平均数。例如：平均单位成本、平均价格、平均劳动生产率等等。9如果直接掌握了有关总体的标志总量和总体单位总量这两个总量指标,就可以直接运用其基本公式计算平均指标。如果不能直接掌握这两个现成的总量指标,这就要考虑运用算术平均数其他两种计算形式,即简单算术平均数和加权算术平均数来计算。10二、简单算术平均数总体单位数很少,而且已知各单位标志值数量的情况下,可直接将各单位的标志值简单相加,求出标志总量,再除以总体单位数,就得出了平均指标。这种计算方法就称为简单算术平均数。11简单算术平均数的公式：—X——算术平均数；Xi——第i个单位标志值（i=1,2,…,n）;n——总体单位总数；∑——总和符号。12三、加权算术平均数当总体单位数量较多时,统计资料就需要整理成变量分配数列,或在已编制好分配数列的条件下,计算平均数就应采用加权算术平均数的方法。13根据所掌握的已知资料的不同有：单项式变量数列的加权算术平均数组距式变量数列的加权算术平均数。其公式均为：Xi——代表各组变量值（i=1,2,…,k）;fi——各组单位数（次数）（i=1,2,…,k）;Xifi——第

i组的标志值总和；k

——组数14如果当各组权数相同或次数相等时,权数就失去了权衡轻重的作用,加权算术平均数就等于简单算术平均数。即:当时,可见简单算术平均数实际上是加权算术平均数的一种特例。15加权算术平均数的权数可以是绝对数形式(如上述公式),也可以是相对数形式,此时叫作频率或比重，写作：

计算结果与绝对数权数计算的加权算术平均数完全相同。因此,以比重权数计算的加权算术平均数的计算公式为:用比重权数计算的加权算术平均数可更明确地显示权数的实质。即权数对于算术平均数的影响作用并不决定于权数本身数值大小,而决定于作为权数的各组单位数与总体单位数比重大小。

161.单项式变量数列的加权算术平均数在单项数列的条件下,计算加权算术平均数须先求出每组的标志总量,再加总取得总体的标志总量,最后除以总体单位总量,才能得出算术平均数。举例P65

172.组距式变量数列的加权算术平均数组距数列计算加权算术平均数,应先计算出每组的组中值将组距数列化成单项数列,这样,计算平均数的方法就如同单项数列的计算方法一样了。应该指出,利用组中值作为各组变量值的代表值带有假定性,即假定各组变量值在组内是均匀分布的。但实际上完全均匀分布是不可能的。因此,按组中值计算的组距数列的平均数,只能是一个近似值。举例P67

18四、算术平均数的特点(1)算术平均数运算简单,且运算方法与大量的社会经济过程相适应,因此是平均数中使用最为广泛的一种。(2)算术平均数容易受极端值的影响,而且受极大值的影响大于受极小值的影响,因此当变量数列中出现极端值时,算术平均数的代表性就差。(3)当根据组距式变量数列计算算术平均数时,由于组中值的使用,使算术平均数的代表性受到影响

19五、算术平均数的数学性质算术平均数具有下列重要的数学性质。

(1)各个变量值与算术平均数的离差总和等于零。即:简单算术平均数为:加权算术平均数为:(2)各个变量值与算术平均数的离差平方总和为最小值。即:简单算术平均数为:加权算术平均数为:(3)两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各变量平均数的代数和。即:(4)两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各变量平均数的乘积。即:20三、节调和平均数一、调和平均数的意义调和平均数从数学意义上来说,是一种独立的平均指标。它是被研究对象中各单位变量值倒数的算术平均数的倒数,所以也称倒数平均数。通常用“H”表示。在统计实践中,直接应用调和平均数的情况较少,大多数情况下是将调和平均数作为算术平均数的变形来应用的,即在计算平均指标时,由于掌握资料的原因,不能直接按算术平均数的方法计算出平均数,而以调和平均数的形式计算平均指标。

21二、调和平均数的计算公式调和平均数的计算公式也分为简单调和平均数和加权调和平均数两种。1.简单调和平均数计算公式

式中：(X—变量值；n—总体单位总量。)222.加权调和平均数计算公式其中f·X=M23由算术平均数的公式令Xifi＝Mi

则有fi=Mi/Xi

于是上式变为可见，调和平均数是作为算术平均数的变形来应用的,故应符合算术平均数的基本公式的要求:分子应是总体的标志总量,分母应是总体的单位总量。

24在实践的应用中,加权调和平均数比简单调和平均数应用广泛,而且,通常是在缺少分母资料时才应用加权调和平均数的。

从以上所介绍的两种计算平均指标的方法中,我们可以发现这样的特点:在计算平均指标时，若缺少分子资料时,即缺少总体的标志总量,则适宜采用加权算术平均数方法;若缺少分母资料时,即缺少总体的单位总量,则适宜采用加权调和平均数方法。例如P6925如果，所平均的变量值是相对数和平均数时,则可利用此特点。因为相对数和平均数都是两个数值对比所形成的比值,计算其平均指标时,可根据实际所掌握的资料不同,都可看成缺少分子或缺少分母的情况。26由相对数和平均数计算平均指标可按下面的步骤进行:第一,先写出所求指标的基本公式。第二,根据基本公式,检查所掌握的资料,确定权数和计算方法。若缺少分子资料时,分母作权数,用“f”,且采用加权算术平均数的方法;若缺少分母资料时,分子作权数,用“M”,且采用加权调和平均数的方法。第三,将资料代入公式,计算出结果。现举例说明。P70例5-1，5-227三、调和平均数的特点(1)调和平均数在实际工作中直接运用的比较少,大多数是借用其形式来计算算术平均数。(2)调和平均数也容易受极端值的影响,和算术平均数不同的是调和平均数受极小值的影响大于受极大值的影响。(3)根据组距式变量数列计算调和平均数时,由于组中值的使用,使平均数的使用带有较大的假定性。28第四节几何平均数一、几何平均数的意义几何平均数是另一种平均指标。它是通过n个变量值的连乘积开n次方根所计算出的平均数,其符号通常用“G”表示。几何平均数主要用来说明那些由变量值的连乘积等于总比率或总速度的社会经济现象的平均比率或平均速度。它的计算方法也分为简单几何平均数和加权几何平均数两种。29二、几何平均数的计算方法1.简单几何平均数简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根式中：【Xi—数列中第i个变量值(i=1，2，…，n)n—变量值个数∏—连乘符号】例如P72302.加权几何平均数当各个变量值出现的次数不相同时,计算几何平均数就采用加权形式。加权几何平均数的公式为:式中:f代表各变量值的次数(或权数);Σf为次数(或权数)的总和;其他符号同前所示。例如P7231三、几何平均数的特点(1)几何平均数主要适用于总的比率是由各个比率连乘时求其平均比率,应用范围比较窄。(2)几何平均数同算术平均数、调和平均数相比受极端值的影响比较小。(3)当变量数列中有一个变量值为零或负数时,几何平均数无法计算。32四、几何平均数与算术平均数、调和平均数的关系算术平均数最容易受极端值的影响,而受极大值的影响大于受极小值的影响。调和平均数也受极端值的影响,但受极小值的影响大于受极大值的影响。几何平均数受极端值的影响程度,要比前两种平均数为小。因此,从数量关系上研究,对同一资料计算这三种平均数时,结果不一样.33第五节中位数和众数前面所讲的几种平均指标,都是根据统计总体中的全部标志值或变量值计算的。当数列中出现极大值或极小值时,它们最易受到极端值的影响,从而减弱了平均指标在总体中的代表性。众数和中位数则是另一种类型的平均指标,它们是根据其在总体中所处的位置或地位确定的,故不受数列中极端值的影响。在某些场合,用位置平均数表示现象的一般水平比数值平均数更能说明问题。34一、中位数（一）.中位数的概念将统计总体的各个变量值按大小顺序排列,处于变量数列中间位置的变量值称为中位数,用符号Me表示。（二）.中位数的确定1由未分组资料确定中位数。a.对变量值排序;b确定中位数位置；

确定中位数位置公式=(n+1)÷2n为奇数时：取中间的标志值；

n为偶数时：取中间两个数的简单算术平均数352.由分组资料确定中位数。经过分组的资料在确定中位数时,首先将变量数列的频数或频率进行累计,然后用公式Σf÷2来计算中位数项次,确定中位数组,最后确定中位数。

累计次数或累计频率已在第三章第三节介绍过举例：P75363.组距式变量数列中位数的确定。由组距式变量数列确定中位数时,首先将变量数列的频数或频率进行累计,其次用公式Σf÷2来计算中位数项次确定中位数组,最后通过比例法公式计算中位数的近似值。由于累计频数时方向不同,比例法公式有上限公式和下限公式之分。37在具体使用时有如下规定:

①用向上累计频数时,按比例法下限公式推算中位数值。

②用向下累计频数时,按比例法上限公式推算中位数值。38（三）.中位数的特点1.中位数属位置平均数,它只受到变量数列中间位置变量值的影响,而不受极端值的影响。所以,当变量值的差异程度较大或次数分布有偏态时,用中位数作为代表值较合适。2.当变量数列呈U型分布或有缺口时,中位数就失去了代表性。39二、众数(一)众数的概念众数是指变量数列中出现次数最多的变量值,用符号M0表示。它也是根据变量值所处的位置来确定的,可以直观反映频数分布的集中趋势。众数适用范围：总体单位数多、而且具有明显的集中趋势时。40(二)众数的确定1.单项式变量数列众数的确定单项式变量数列确定众数可以直接观察判断哪一组的频数最多,则该组的变量值即为众数。

412.组距式变量数列众数的确定组距式变量数列确定众数先将频数最多的变量值所在组定为众数组,然后利用上限公式或下限公式来推算具体的众数值。42(三)众数的特点(1)众数属位置平均数,不受极端值的影响。(2)当变量值为均匀分布、U型分布、J型分布时,没有众数。43三、众数、中位数和算术平均数之间的关系众数、中位数和算术平均数都是反映总体分布集中趋势的指标,它们之间的关系取决于总体内的频数分布的状况。如图

_X(Me、Mo)

x

_对称曲线分布：X=Me=Mo

44不对称分布

_MoMeXx

_右偏态分布：X＞Me＞Mo

_XMeMox

_左偏态分布：X＜Me＜Mo

45利用位置平均数与算术平均数的关系可以互相推算：中位数居中间，众数与中位数的距离约为算术平均数与中位数的距离的两倍

∣Mo–Me∣=2∣Me-x∣

_∴Mo=3Me–2x_Me=(Me+2x)/3_x=(3Me–Mo)/246例

某集团公司职工收入抽样调查资料计算得到其众数为1040元，中位数为1128.57元，试推算其算术平均数约为多少？呈何分布？

_算术平均数x=(3Me–Mo)/2=(3×1128.56–1040)/2=1172.86(元)