等比数列的前n项和一知识分享

2.5等比数列的前n项和(一)海南省洋浦中学周丽宇从前，有个贪婪的地主，总是剥削他的佃农，有一天，农夫终于想到了一个办法来对付这个地主。春天到来时，地主对农夫说：“一年之计在于春，又到了春播时节了。你到地里干一个月（30天）的活，先来谈谈你的工钱。哎，最近官吏征收繁多，地主家也没有多少余粮啊。”农夫说：“这样吧，工钱不要了，我每天给你一袋米（40斤），你第一天给我一粒大米，第二天给我两粒，第三天四粒，第四天八粒…以后每天给我的大米数是前一天的2倍。你看如何？”地主心想：第一天1粒，第二天2粒，第三天4粒，第四天8粒…居然有这么笨的农夫，我一把米可以换他多少袋米啊。哈哈，我赚大发了。地主就马上同农夫进行了签字画押。

问题引入求等比数列的前30项的和。(二)问题探究问题1：这个故事中，地主中计了吗？到底谁吃亏了？问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？（1000粒米约40克）40×30=1200（斤）问题4：这是什么数列求和？求前多少项的和？现在我们一起来寻找答案。米粒的总数为:问题5：如何求出这个和？用计算器怎么样？问题7：怎样求等比数列的前n项和公式？问题6：等差数列有求和的公式，那么等比数列是否也有求和的公式呢？若有就直接用公式时间很长，太麻烦了。(二)问题探究问题8：能否类比等差数列前n项和公式的求法？等比数列的前n项和公式解析1：找个具体的等比数列来检验问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。?(四)类比探究每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!所以解析2：一般地，对于等比数列，因为：问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。?等比数列的前n项和公式(四)类比探究无法化简问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。?反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。而是要挖掘此方法的本质（求和的根本目的）。问题2：求和的根本目的是什么？答：求和的根本目的是消项。消项后就可化简。改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示。①等比数列的前n项和公式(四)类比探究①问题4：类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子②，而要达到消项的目的，就须使两式具有＿＿＿＿问题3：观察求和的式子①，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？后项=前项×公比相同的项问题5：如何构造式子②？将式子①的两边都乘以②问题6：为了消项，接下来将这两个式子怎么样？相减等比数列的前n项和公式(四)类比探究①-②得：问题7：要求出，是否可以把上式两边同除以？当时，除以得：当时，①②注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！等比数列的前n项和公式(四)类比探究当q=1时，当q≠1时，则探究成果：①等比数列的前n项和公式(四)类比探究等差数列方法小结：课后思考：用错位相减法求和时只能乘以公比吗？能否乘以其它的数？联想我们所学过的知识，即类比＿＿＿＿＿＿＿＿，挖掘其方法的＿＿＿（求和的根本目的是＿＿＿），结合等比数列自身的＿＿＿来构造式子②，再把两式＿＿＿，这种求和方法叫做＿＿＿＿＿＿求和方法本质消项特征相减错位相减(四)类比探究问题1：还有其它的推导方法吗？①问题2：根据①式的特点，能否建立一个关于的方程？若能，就可从方程中解出问题3：①式的左边是,要建立一个关于的方程,那就要将①式的右边也用含

的式子来表示。问题4：观察①式的右边，从第二项开始，每一项都含有因式

，是否可考虑将之提出来？(五)方程探究等比数列的前n项和公式①问题5：括号里面的，与①式右边对照，少了哪一项？问题6：括号里面的，怎样用含的式子表示？从这个方程解出问题7：这样就得到了一个什么方程？问题8：解方程时要注意对＿＿＿＿＿＿进行＿＿。

一元一次方程未知量的系数讨论(五)方程探究等比数列的前n项和公式移项，得：当q=1时，当q≠1时，①①(五)方程探究等比数列的前n项和公式(建立方程)用表示注意：方程法是一种重要的数学思想方法！

一部分项提公因式过程小结：解方程根据等比数列求和式子的特点，对其部分项提出公因式＿＿后，可将其用含＿＿＿的式子表示出来，从而建立关于＿＿＿的方程，解此方程即可。课后思考：对和式①的右边部分，只能提出公比吗？能否提出其它的公因式？

(五)方程探究(六)熟悉理解等比数列前n项和公式当q≠1时，当q＝1时，①②思考1：根据公式①，要求一个等比数列的前n项和，一般要先求出哪些量？思考2：能否将Sn和用a1,q,an来表示？思考3：什么时候用公式①,什么时候用公式②?例1.求下列等比数列前8项的和．(七)公式的应用思考：能否用公式②求？答：可以。但要先求出公比和解题思路：求出公比后用公式①求变式1判断正误：反思总结:用公式前，先弄清楚数列的首项、公比、项数n①②③(七)公式的应用×××①在等比数列中，已知中的三个，可求另外两个。变式2

填空：反思总结:②如果不能用公式直接求出某个量，就要建立方程组来求解。qn第1题326第2题80.50.5第3题-1.5496第4题1.534.5第5题-2-96-66(七)公式的应用96189515.5-476.511.5-65知三求二(八)问题解决问题1：这个故事中，地主中计了吗？到底谁吃亏了？问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？（1000粒米约40克）40×30=1200（斤）地主中计米粒的总数为:智慧来源于积极思考！启示：这个故事告诉我们不贪图眼前小利，把目光放长远！(八)问题解决学会理性思考，学好数学！(九)课堂小结1.一个公式：2.两种方法：3.三种数学思想：这节课我们主