模型21 勾股定理-直角三角形锐角平分线模型-解析版

勾股定理模型（二十一）——直角三角形锐角平分线模型◎结论：如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AP是∠CAB的角平分线，求PC的长解：如图，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，过P作PD⊥AB于D，可知△ACP与△ADP全等，得AC＝AD＝6，DB＝AB－AD＝4，在直角三角形PBD中，，设PC＝X,则PD＝X，PB＝8-X，由勾股定理得X＝3，所以PC＝4.角平分线的性质：1.由角平分线可以得两个相等的角。2.角平分线上的点到角两边的距离相等。3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。4.三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。1．（2021·河南·南阳市第九中学校八年级阶段练习）如图，中，，平分，把沿折叠使C点落在处，若，，求的长．【答案】【分析】利用勾股定理列式求出，根据翻折变换的性质可得，，然后求出，设，表示出，然后利用勾股定理列方程求解即可求出．【详解】解：∵，，，∴，由翻折变换的性质得，，，∴，设，则，，在中，由勾股定理得，，即，解得，即，∴．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．2．（2022·山东·宁津县第四实验中学八年级期中）如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕．已知，，求的长．【答案】【分析】根据矩形和折叠的性质可知，，．由勾股定理可求出，从而可求出．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出结果．【详解】解：四边形为长方形，，，．又是由折叠得到，，，．在中，，．设，则，在中，，即，解得，即．【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键．3．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，长方形，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，(1)点的坐标；(2)求折痕所在直线的表达式；(3)求折痕上是否存在一点，使最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由．【答案】(1)（8，0）；(2)(3)存在，最小值是【分析】（1）在Rt△OC中，求出O即可得答案；（2）在Rt△中，求出AM可得M坐标，从而可以求CM所在直线的解析式；（3）连接OB，OB与CM交点即为所求点P，连接PB'，根据△CBM沿CM翻折后，点B落在B'点，知PO+，，用股股定理即可求出的最小值为．（1）解：∵四边形OABC是长方形，OA＝10，∴BC＝OA＝10，∵△CBM沿CM翻折，∴＝BC＝10，在Rt△B′OC中，B′C＝10，OC＝6，∴O＝，∴（8，0），故答案为：（8，0）；（2）解：设AM＝x，则BM＝AB﹣AM＝6﹣x，∵OA＝10，B′O＝8，∴A＝2，∵△CBM沿CM翻折，∴M＝BM＝6﹣x，在Rt△AM中，，∴，解得x＝，∴M（10，），设CM所在直线的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）、M（10，）代入得：，解得k＝﹣，b＝6，∴CM所在直线的解析式为y＝﹣x+6；（3）解：折痕CM上存在一点P，使PO+PB'最小，连接OB，OB与CM交点即为所求点P，连接PB'，如下图，∵△CBM沿CM翻折后，点B落在B'点，∴PB=PB'，∴PO+，当O、P、B共线时，PO+PB'最小，∵，∴PO+PB'的最小值为．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、长方形中的折叠、最短距离等知识，掌握折叠的性质以及熟练运用勾股定理是解题的关键．1．（2022·北京·首都师大二附八年级期中）如图，在中，，现将它折叠，使点与重合，求折痕的长．【答案】【分析】由折叠的性质，可得：，BD=CD，由勾股定理可求得AB=4，在Rt△DAC中，由勾股定理建立方程可求得CD，再由勾股定理即可求得DE的长．【详解】解：由折叠的性质可得：，BD=CD，，∵，∴，∴AD=AB－BD=4－CD；在Rt△DAC中，由勾股定理得：，解得：，在Rt△DEC中，由勾股定理得：．答：折痕的长为．【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系，关键是通过勾股定理建立方程求得CD的长．2．（2022·山东省平邑赛博中学八年级期中）在中，，，，，分别是和上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．(1)如图1，如果点恰好与顶点重合，求的长；(2)如图2，如果点恰好落在直角边的中点上，求的长．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用翻折得到AE=BE，在中利用勾股定理即可求出的长；（2）点是直角边的中点，可以得到的长度，再利用翻折得到=BE，在中利用勾股定理即可求出的长．（1）解：在中，，，∴根据折叠的性质，∴∴AE=BE设为x，则：AE=BE=8-x在中：解得：x=即的长为：．（2）解：∵点是直角边的中点∴=根据折叠的性质，∴∴=BE设为x，则：=BE=8-x在中：解得：x=即的长为：．【点睛】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题．3．（2022·湖北·来凤县实验中学八年级期中）如图，为矩形纸片的边上一点，将纸片沿向上折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长．【答案】【分析】根据折叠的性质可以得到EF＝BE，AF＝AB＝10，根据勾股定理可得DF＝8，求得CF＝2，再在Rt△CEF中，根据勾股定理建立方程即可求解．【详解】解：∵将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处，AB＝10，∴EF＝BE，AF＝AB＝10，在矩形ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝6，∠D＝∠C＝90°，∴在Rt△ADF中，DF＝，∴CF＝2，在Rt△CEF中，，∵EF＝BE＝6－CE，∴，解得：．【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理，翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．4．（2022·河南·延津县清华园学校八年级阶段练习）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，(1)求证：BE=BF；(2)求BE的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，根据等角对等边即可得出结论；（2）在Rt△BAE中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．（1）在长方形ABCD中，，∴，由折叠可知，，∴，∴；（2）在长方形ABCD中，，由折叠知，设，那么，在Rt△BAE中，，即．解得，即，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．1．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)cm【分析】（1）利用ASA证明即可；（2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF=∠ADC，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，在△PDE和△CDF中，,∴（ASA）；（2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴cm,设AE=xcm，∴EP=xcm，由知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，,即，解得，，∴BC=BG+GC=(cm）．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．2．（2015·湖南湘潭·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【答案】（1）证明见试题解析；（2）．【分析】（1）由折叠的性质可知∠C=∠AED=90°，因为∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．【详解】（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，∴∠C=∠AED=90°，∴∠D