模型19 轴对称-海盗埋宝模型-解析版

轴对称模型（十九）——海盗埋宝模型【结论】如图，△ADC和△BEC是等腰直角三角形，A，B为直角顶点，F为DE的中点，连接FA，FB，则△FAB是等腰直角三角形.【特征】⑴两等腰直角三角形⑵一组底角共顶点⑶另一组底角顶点相连取中点【证明】（方法一：倍长中线法）如图，延长AF至点P使得FP=AF，连接PE，PB，延长PE交AC于点Q.在△DAF和△EPF中，DF=EF,∠DFA=∠EFP,AF=PF,∴△DAF≌△EPF(SAS)，∴DA=EP,∠DAF=∠EPF.∴DA∥EP.∴∠EQC＝∠DAQ＝90°.在四边形EQCB中，∠EQC＋∠EBC＝90°＋90°＝180°，∴∠QEB＋∠QCB＝360°-180°=180°.又∵∠QEB＋∠PEB＝180°，∴∠QCB＝∠PEB.在△ACB和△PEB中，AC=PE,∠ACB＝∠PEB,BC=BE,∴△ACB≌△PEB(SAS).∴AB=PB，∠ABC＝∠PBE∴∠ABC＋∠ABE＝∠PBE＋∠ABE,即∠ABP＝∠CBE=90°.∴△ABP是等腰直角三角形.又∵F是AP的中点，∴BF⊥AP,BF=AF.∴△FAB是等腰直角三角形，F为直角顶点.（方法二∶构造手拉手模型）将△DAC沿AC对称，得△PAC，将△EBC沿BC对称，得△QBC，连接EP，DQ.易证△PCE≌△DCQ（手拉手模型），∴PE=DQ，PE⊥DQ（手拉手模型的结论）.∵AF是△DPE的中位线，BF是△DQE的中位线，∴AF＝PE，AF∥PE，BF＝DQ.BF∥DQ，∴AF=BF，AF⊥BF，∴△FAB是等腰直角三角形，F为直角顶点.1．（山东省莱城区（五四学制）2017-2018学年八年级上学期期末数学试题）如图，两个等腰和，点在上，，连接，取的中点，连接.求证：.【答案】见解析【分析】延长交于点.利用三角形的中位线定理解答.【详解】如图所示，延长交于点.∵为等腰直角三角形∴∵∴∴为等腰直角三角形∴∵为等腰直角三角形∴∴∴点为线段的中点∵M为AF的中点∴为的中位线∴【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，能分析题意并正确的作出辅助线是关键.1．（湖北省武汉市东湖新技术开发区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题）某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角项点绕矩形ABCD（AB＜BO）的对角线的交点O旋转（图①⇒图②），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．（1）如图①，当三角板一直角边与OD重合时，该学习小组成员意外的发现：BN2＝CD2+CN2，请你说明理由；（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；（3）如图③，若AD＝8，AB＝6，E为矩形外的一点，且AE⊥CE，F为AE的中点，O为AC的中点，取AO的中点G，连接BG，当F在线段BG上时，则BF的值为．【答案】（1）见解析；（2）CM2+CN2=DM2+BN2，理由见解析；（3）【分析】（1）如图1，连接DN，由矩形性质，中垂线性质，勾股定理和等量代换即可证得结论；（2）如图2，延长MO交AB于E，方法类似（1），求证△BEO≌△DMO（AAS），进而得NE=NM，即NE2=NM2，等量替换得出结论BN2＋DM2＝CM2＋CN2；（3）如图3，过点B做BH⊥AC于点H，连接FO，先由矩形性质和勾股定理得出AC＝10，再由FO是△AEC的中位线得FO∥EC进而得∠AFO＝∠AEC＝90°，用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求得FG=AO=2.5，根据勾股定理进一步求解即可．【详解】解：（1）连结DN，

∵矩形ABCD的对角线交于点O，

∴BO=DO，∠DCN=90°，∵三角板一直角边与OD重合，∴ON⊥BD，即ON垂直平分BD，∴NB=ND，∵∠DCN=90°∴ND2=NC2+CD2∴BN2=NC2+CD2；（2）CM2+CN2=DM2+BN2，理由如下：延长MO交AB于E，∵矩形ABCD的对角线交于点O，∴BO=DO，∠ABC=∠DCB=90°，AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO，∴△BEO≌△DMO，∴OE=OM，BE=DM，∵MO⊥ON，∴NE=NM，∵∠ABC=∠DCB=90°，∴NE2=BE2+BN2，NM2=CN2+CM2，∴CN2+CM2=BE2+BN2，即CN2+CM2=DM2+BN2；（3）当F在线段BG上时，则BF的值为，过点B做BH⊥AC于点H，连接FO．∵AD＝8，AB＝6，，∴根据等面积可得：，，∵O是AC中点，G是AO中点，AC=10，∴AG=，，，又∵F、O为AE、AC中点，∴FO∥EC，∴∠AFO=∠E=90°，∵G为AO中点，AC=10，∴FG=AO=2.5，∴在中，．【点睛】这是一道四边形综合题，主要运用了矩形判定与性质，线段中垂线判定与性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，解题关键是准确添加辅助线，巧妙构造特殊三角形（如：直角三角形和矩形）和灵活运用所学知识解决综合题．1．（专题32图形的变化（翻折与旋转变换）-解答题专项训练-备战2022年中考数学临考题号押题（全国通用））如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，点D在边AC上（不与点A，C重合），连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作DE⊥AB于点E，连接CK，EK，CE．(1)如图1，若α＝45°，则△ECK的形状为．(2)在（1）的条件下，若将图1中△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°），使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示．求证：BE﹣AE＝2CK．(3)若BC＝8，AC＝15，点D在边AC上（不与点A，C重合），AD＝2CD，将线段AD绕点A旋转，点K始终为BD的中点，则线段CK长度的最大值是多少？请直接写出结果．【答案】(1)等腰直角三角形；(2)见解析；(3)【分析】（1）首先利用直角三角形斜边上中线的性质得EK＝KB＝DK，再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠CKE＝2∠ABC＝90°，从而得出答案；（2）在BD上截取BG＝DE，连接CG，设AC交BD于Q，利用SAS证明△AEC≌△BGC，得CE＝CG，∠5＝∠BCG，从而解决问题；（3）取AB的中点O，连接OC，OK，利用直角三角形斜边上中线的性质求出CO的长，再利用三角形中位线定理得OK的长，最后利用三角形三边关系可得答案．(1)解：△ECK是等腰直角三角形，理由如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴CA＝CB，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵DK＝KB，∴EK＝KB＝DK，∴∠KEB＝∠KBE，∴∠EKD＝∠KBE+∠KEB＝2∠KBE，∵∠DCB＝90°，DK＝KB，∴CK＝KB＝KD，∴∠KCB＝∠KBC，EK＝KC，∴∠DKC＝∠KBC+∠KCB＝2∠KBC，∴∠EKC＝∠EKD+∠DKC＝2（∠KBE+∠KBC）＝2∠ABC＝90°，∴△ECK是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；(2)证明：如图，在BD上截取BG＝DE，连接CG，设AC交BD于Q，∵∠α＝45°，DE⊥AE，∴∠AED＝90°，∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝BG，∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵AC＝BC，∴△AEC≌△BGC（SAS），∴CE＝CG，∠5＝∠BCG，∴∠ECG＝∠ACB＝90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵KD＝KB，DE＝BG，∴KE＝KG，∴CK＝EK＝KG，∴BE﹣AE＝2CK；(3)解：∵AD＝2CD，AC＝15，∴AD＝10，取AB的中点O，连接OC，OK，∵点K始终为BD的中点，∴OK是△ABD的中位线，∴OKAD＝5，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB17，∴OC，∵CK≤KO+OC，∴CK的最大值为5．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，综合性较强，作出合适的辅助线是解题的关键．2．（2019年辽宁省葫芦岛市绥中县九年级一模数学试题）如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)(1)如图1．若a=45，则的形状为__________________；(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）

【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）BE-AE=2CK；【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC，∠EKC=90°即可；（2）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q，结合等腰直角三角形的性质利用SAS可证△AEC≌△BGC，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG，等量代换可得结论.（3）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得，易证△CAE∽△CBG，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.【详解】（1）等腰直角三角形；理由：如图1中，∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴CA=CB，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵DK=KB，∴EK=KB=DK=BD，∴∠KEB=∠KBE，∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，∵∠DCB=90°，DK=KB，∴CK=KB=KD=BD，∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，∴△ECK是等腰直角三角形．（2）证明：如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q．∵∠α=45°，DE⊥AE，∴∠AED=90°，∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=BG，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵AC=BC，∴△AEC≌△BGC（SAS），∴CE=CG，∠5=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴CK=EK=KG，∴BE－AE=BE－BG=EG=EK＋KG=2CK．（3）解：结论：BE-AE•tanα=2CK．理由：如图3中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q．∵DE⊥AE，∠ACB=90°，∴∠CAE+∠EQA=90°,∠CBG+∠CQB=90°∵∠EQA=∠CQB，∴∠CAE=∠CBG，在Rt△ACB中，tanα=，在Rt△ADE中，tanα=，∴，DE=AE·tanα∴△CAE∽△CBG，∴∠ACE=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴EG=2CK，∵BE－BG=EG=2CK，∴BE－DE=2CK，∴BE－AE•tanα=2CK．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.3．（【万唯原创】2017年安徽省中考数学-逆袭卷-特训18）如图，在和中，，，，连接，点是的中点，连接、．（1）如图①，当点在上时，求证：；（2）如图②，若，，，求的长；（3）如图③，若，，求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【详解】（1）证明：如解