刍议高中数学解题中构造函数法的应用

摘

要：近几年，随着素质教育的不断推行，学生的综合素质得到了更多的关注。数学作为一种抽象、有理论意义的学科，在高中阶段是一个重要而又困难的课题。学生在求解数学问题时，由于问题的复杂性，求解的方法和步骤比较烦琐，因此影响了求解的效率和精确度。为了优化求解过程，教师教授了各种特定的解法。构造函数法是一种常见的问题求解方式，可以较好地解决某些困难的类型问题，从而进一步提升学生的数学学习能力。基于此，文章在分析构造函数法基本含义的基础上，对其在高中数学问题求解中的一些应用进行了探讨，以达到提高问题求解效率的主要目标。关键词：高中数学；解题方法；构造函数法构造函数法是一种应用于高中数学中的转换思想，主要是把复杂、抽象的问题转换成常见的问题，从而使问题更容易得到解答。在实际中，学生必须先对已有的数学问题进行分析，用构造函数法进行算术、方程和向量的构造，再根据问题的条件给出求解的办法。在高中数学中，构造函数法是一种具有多重特点的解题方式，需要学生掌握相应的解题方法。一、构造函数法概述构造函数法就是运用函数的概念和属性来构造一个辅助函数，在该过程中，要找出辅助函数中能反映主题特性的功能，并利用功能的特性来解决问题。构造函数法是一种更具弹性、创意的问题解决模式，学生必须遵守下列准则：首先，构造函数法一定要和原来的任务相联系；其次，建立一个主题要比原来的问题处理简单得多；最后，构造函数法要符合最初的主题，如单调性、奇偶性、周期性等，同时还应对条件、结论等进行分析。在此基础上，学生需要对构造出的函數逻辑进行优化，并依据对象的具体情况对其进行整合，从而达到设计的目的。在问题解决期间，学生所建立的功能要符合下列需求：首先，函数一定要和最初的问题联系在一起。其次，所建立的构造函数一定要比普通的方法更易于处理。函数必须符合问题的范围，如单调性、奇偶性、周期性等，避免出现功能上的错误。最后，函数的构造要基于任务条件。在构造函数时，学生必须对句子的条件、结论、特征进行分析，然后根据题目情况对问题进行重组，得到问题的解题方法，该方法更符合逻辑，便于求解，适用面广，在高中数学教学中是一种非常有效的教学手段。二、构造函数法的基本内涵通过对高中数学问题的大量实践研究可知，运用设计的思想与方法来解决高中数学问题，可以极大地减少数学问题的复杂性。学生通过对数学基本问题的梳理，对数学内容的分析，运用新的函数、图形等方法，能够使数学中的抽象、复杂、模糊问题变得具体、简单、清晰，并能使数学中的一些简单问题得到解答。构造函数法是一种特殊的函数形式，可以有效地求解复杂的数学问题。对此教师要对问题进行深入解析，建立相关的功能关系，并将所构造的功能与题目相结合，对问题进行全面的分析、分类，以保证学生在数学问题中应用该方法。为了更清楚地了解问题的不确定性，减少问题的复杂程度，学生可以用新的图形、方法或功能对问题进行分析，并运用数学方法来解决问题，这也是一种结构化的方法。结构化的方法是一种灵活、有创意的解决问题的方式，而构造法则是以功能的方式来解答问题。问题的求解方法是创建与初始任务紧密联系的功能，然后对功能进行分析和系统化，从而得到正确的结果。在运用构造函数法求解数学问题的过程中，要注意到，数学的功能一定要具备下列特点：第一，建立一个功能，必须和最初的问题相结合；第二，要保证所建立的功能比原来的方法简单；第三，构造函数法必须能解决周期性、奇偶性、单调性、值字段等问题，从而有效避免构造器的错误；第四，要与主题内容相结合，建构对应的功能架构；第五，在建立函数时，必须注意条件、结论、特征等。要对建议进行分析，不要只考虑逻辑、观点等，可以根据题目情况，将其重新组合，从而得到具有建设性作用的问题。三、高中数学解题中构造函数法的应用意义（一）提升学生对函数的认知在高中数学教学中，函数教学是较为重要的一部分。然而，由于传统教学模式中，教师对函数知识的讲解较为单一，导致学生对函数知识的认知较为肤浅，无法进一步提升学生的学习效率。因此在高中数学教学中，教师需要对学生加强讲解函数知识。而通过构造函数法教学可以帮助学生进一步掌握函数的概念与性质，进而提升了学生的数学素养。教师要积极地引导学生运用构造函数法解题，从而提升学生的认知水平。（二）促进学生思维能力的发展构造函数法主要是对函数的一些性质进行研究，然后将这些性质与题目中的信息结合起来，从而得到一个新的函数。因此通过构造函数法解决数学问题，能够给学生提供一种解题思路，帮助学生解决数学难题。同时构造函数法在解题中的运用还可以帮助学生加深对知识的理解，进而提高学生的数学思维能力与数学水平。因此高中数学教师在教学中，应该注重对构造函数法的运用，并引导学生利用构造函数法解题。对学生而言，他们数学思维的形成与发展，需要经过一个漫长的过程，而通过构造函数法解题可以培养学生良好的数学思维，使学生对数学知识的认知更加深刻，从而提高学生的解题能力。此外，在运用构造函数法解题时，还可以锻炼学生的推理能力、逻辑思维能力等。由此可见，构造函数法不仅可以丰富学生对数学知识的认知，还能够培养学生良好的数学思维。四、构造函数法在高中数学解题中的应用范围（一）利用构造函数求解或证明参数范围在高中数学中，解参数区间是一个很受欢迎的题型。不同的习题，其解题思路是不一样的，这要求学生对已有的条件有深刻的了解，再通过构建新的函数来使原来的问题变得熟悉。对同一格式的已知问题，通常要运用“同构”的方法将已知的条件进行变形，构造新的函数，并对新的函数特性进行研究，从而得到所要解决的参数。比如，函数f（x）=x（1-lnx），设a，b是两个非等正数（二）利用构造函数计算变量的值在高中数学中，计算变量的数值是比较普遍的。解题时，往往要借用函数的单元性，所以，如何在有限元法中灵活地使用各种方法，正确地确定一个函数的单调性是解题的关键。在这些问题中，为了减少求解困难，必须建立新的功能。虽然比较简单，但却是指数和对数的结合，如果思维不准确，将很难得到正确的答案。如果想解决这个问题，首先要将已知的条件进行变化，由异变同，由虚变实，再构造出两个新的函数，并在此基础上，对这两个新的函数的单元性进行分析，找出其中的两个特定点。高中数学结构化思维具有很强的灵活性，在运用构造函数法时，学生要仔细地分析问题，认真地研究函数的表达式，只有确定问题的思路和方向，才能有效地解决问题。建构函数法是高中数学解题的一种主要方法，在课堂上，教师要注意对结构式的理解，在日常教学中让学生体验到具体的运用，并通过对问题的总结和思考让学生积累知识，使学生在练习中得到更多的经验，不断地提高学生的数学基础知识水平。五、高中构造函数法在具体数学问题中的应用鉴于高中数学知识的复杂性以及阶段教学的紧迫性，教师必须对数学内容进行归纳，尤其是在各个学科间寻找相似点，并不断完善，以归纳的方式来解决问题。在高中数学教学中，均衡与等值级数是一个非常重要的概念。同时，高中数学往往会把数理知识和其他的数学知识相结合，并且非常注重学生对数字知识的综合运用。在高中阶段，教师不但要教导学生统一级数的概念、性质，而且要使学生得到一个通式的常用公式，以及观察与总结。同时，教师也需要教授如何运用数理统计其他数学知识，让学生进行实际的问题分析。（一）运用构造函数法解析数学不等式不等式是高中数学的一个重要知识，内容比较抽象，很容易根据不等式的基本性质改变题型，有些题型则结合其知识点来考查学生的能力，因此很难直观看出不等式是否成立以及学生不能快速解析不等式。为此，教师必须利用构造函数的方法来解析不等式，其基本步骤是：依据题目的情况，合理地利用函数的特性，将不等式的条件转化为函数，并对其进行分析，反复试验，使问题得到最优解。（二）二次函数构造的运用在求解某些数字的数值区间时，可以用二次函数的构造来获得。举例而言，a2+b2+c2=1，a+b+c=1，a、b、c为常量，解a的值范围。在求解此类问题时，学生可以通过构造法的观点对问题进行简化，并进行合理的分析，得出1-a=c+b，1-a2=c2+（x-b）2=2×2-（b+c）2=0，则4（c+b）2-8（c2+b2）=0，就可以得到a的值区间。这个问题的关键在于，要将b2+c2和b+c看作一个完整的函数值，然后用二次函数来简化运算，最后由不等式得到一个值区间。（三）一次函数构造的运用对某些基本不等式，或与图像相结合的问题，教师可以先分析问题中的条件逻辑，然后依据方便原理构造一次函数，再利用数字与图形相结合的方法，对数学问题进行直观求解。这种一次函数与图像相结合的方式，既能将题目条件与解题方式相结合，又能通过图表直观地分析出推理过程，有助于学生对有关数学概念的了解，从而使学生形成科学的数学思考能力。（四）在数列题中的应用在高中数学中，数列包括了等比、等差数列等内容，在高中数学中是一个非常困难的问题。关于数列的知识，往往要结合其他的数学知识进行命题，这是一个难点。在解决这类综合性问题时，教师要指导学生熟悉各种类型的数列概念，以及通项公式的求解方法，打好数列学习的基础；同时，教师要选取具有典型意义的问题，让学生练习，在解决问题的同时，不断地总结技巧，不断地获得经验。例题：已知｛an｝为等比数列，且a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x-a1）（x-a1）（x-a1）…（x-a1）。求f′（0）的值。这是一道关于函数與数列的综合问题，解决问题的重点是对函数表达式及求解内容进行细致的解析，使用构造函数法列式：f（x）=xg（x），然后通过数列的性质来进行计算。令g（x）=（x-a1）（x-a2）（x-a3）…（x-a8），因此f（x）=xg（x），求导后得出f′（x）=g（x）+xg′（x）。可知，f′（0）=g（0）=a1·a2·a3·…·a8，因a1=2，a8=4，可知g（0）=a1·a2·a3·…·a8=（2×4）4=212。六、结语综上所述，由于高中数学知识的复杂性，导致学生在学习过程中遇到了许多困难，因此教师必须不断寻求更加科学的学习方式，并充分了解构造函数的优点和应用范围。在教学过程中，教师不但要教授有关的概念、理论，还要运