高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专练01均值不等式应用【原卷版+解析】

热点题型速览专练01均值不等式应用热点题型速览热点一热点一直接应用型1.（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中）已知，则下列不等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．2.设，，且，则的最大值为_______.热点二热点二拆、并配凑型3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2023·天津·高三专题练习）已知，则的最小值为____________．5．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.热点三热点三常值（1的）代换型6．（湖北省圆梦杯2023届高三下学期统一模拟（二））若正数满足，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．7．（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数a，b满足，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．8.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．热点四热点四逐次放缩型9．（华大新高考联盟2023届高三下学期4月测评）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．20 B．40 C． D．10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（

）A．5 B． C． D．11.（2021年天津高考真题）若，则的最小值为____________．热点五热点五消元转化型12．（2023·辽宁大连·统考三模）已知，且，则的最小值为__________.热点六热点六与三角交汇型13．【多选题】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学）已知，，且，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为8C．的最大值为 D．的最大值为14．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知，则的最小值为______．热点七热点七与平面向量交汇型15.（2023春·天津和平·高一耀华中学校考期中）如图，在中，，过点M的直线交射线于点P，交于点Q，若，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．热点八热点八与解三角形交汇型16．（2023春·河南南阳·高一统考期中）已知中角、、对边分别为、、，若，，则的最大值为（

）A． B． C． D．以上都不对17．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是_____________．热点九热点九与解析几何交汇型18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，点在直线上，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．9 D．1219．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（

）A．8 B．9 C．16 D．1820．（2023·陕西西安·统考一模）点为抛物线上的两点，是抛物线的焦点，若中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．热点十热点十与立体几何交汇型21．（2023·江苏·高三统考学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（

）A． B． C． D．22．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中）三棱锥中，平面，.若，，则该三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．热点十一热点十一与函数交汇型23．【多选题】（云南省曲靖市2023届高三第二次教学质量监测数学试题）若实数满足，则（

）A．且 B．的最大值为C．的最小值为7 D．24．（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．热点十二热点十二与导数交汇型25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线过点，则的最小值为__________.26．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知，且，则m+2n的取值范围是______．热点十三热点十三与数列交汇型27．（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中学校联考期中）正项等比数列中，，若，则的最小值等于（

）A．1 B． C． D．28．（2023·河南新乡·统考三模）已知数列满足，，则的最小值为__________．热点十四热点十四与概率统计交汇型29．（2023·河北·统考模拟预测）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为（

）A．26 B．30 C．32 D．3630．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知随机变量，且，则的最小值为______．热点十五热点十五与复数交汇型31．（2023春·山东青岛·高一统考期中）已知，，复数，，在复平面内对应的点为，，，若，，三点共线，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．6 D．4热点十六热点十六实际应用问题32．（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．热点题型速览专练01均值不等式应用热点题型速览热点一热点一直接应用型1.（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中）已知，则下列不等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】A选项，根据不等式基本性质得到；B选项，利用基本不等式求解；C选项，利用作差法比较大小；D选项，可举出反例.【详解】A选项，因为，所以，不等式两边同时乘以，可得，故A正确；B选项，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，，B正确；C选项，，因为，，故，故，C正确；D选项，不妨设，则故选：D2.设，，且，则的最大值为_______.【答案】【解析】，，，即，当且仅当时等号成立，.故答案为：热点二热点二拆、并配凑型3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：D4．（2023·天津·高三专题练习）已知，则的最小值为____________．【答案】4【分析】将构造变形为，然后利用基本不等式即可求解．【详解】由，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，故答案为：4．5．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.【答案】【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函数的最大值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，当时，的最大值为热点三热点三常值（1的）代换型6．（湖北省圆梦杯2023届高三下学期统一模拟（二））若正数满足，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.【详解】因为正数满足，所以.所以,当且仅当，即时，取等号，当时，取得的最小值为.故选：A.7．（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数a，b满足，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由已知可推得，然后根据“1”的代换，利用基本不等式，即可得出最小值.【详解】由已知可得，，所以.又，所以.当且仅当，即，时，等号成立.所以，的最小值是.故选：C.8.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．【答案】【分析】由均值不等式“1”的代换求出，则，解不等式即可求出答案.【详解】解析：由题，则，∴，解得:．故答案为：.热点四热点四逐次放缩型9．（华大新高考联盟2023届高三下学期4月测评）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．20 B．40 C． D．【答案】C【分析】由两次应用基本不等式即可求解.10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】先根据基本不等式求出.然后即可根据不等式的性质得出，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.【详解】由已知可得，，，.因为，当且仅当，即时等号成立.所以，，当且仅当，即时，两个等号同时成立.所以，.故选：D.【详解】，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：C.11.（2021年天津高考真题）若，则的最小值为____________．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.热点五热点五消元转化型12．（2023·辽宁大连·统考三模）已知，且，则的最小值为__________.【答案】【分析】先对已知式子变形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，所以，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故答案为：.热点六热点六与三角交汇型13．【多选题】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学）已知，，且，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为8C．的最大值为 D．的最大值为【答案】ABD【分析】根据给定条件，利用均值不等式结合配凑方法计算判断ABC；利用三角代换，结合辅助角公式，三角函数性质计算判断D作答.【详解】，且，对于A，，解得，当且仅当，即时取等号，A正确；对于B，，当且仅当取等号，B正确；对于C，，当且仅当，即时取等号，C错误；对于D，由得，令，则，其中锐角由确定，显然，因此当时，，D正确.故选：ABD14．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知，则的最小值为______．【答案】【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合均值不等式求解作答.【详解】，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故答案为：热点七热点七与平面向量交汇型15.（2023春·天津和平·高一耀华中学校考期中）如图，在中，，过点M的直线交射线于点P，交于点Q，若，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】首先根据的向量的几何意义，利用，，三点共线，得出，的关系，利用基本不等式求最小值．【详解】解：因为，所以，又，，（，）所以，所以，因为，，三点共线，所以，所以当且仅当，即时取等号；故选：C．热点八热点八与解三角形交汇型16．（2023春·河南南阳·高一统考期中）已知中角、、对边分别为、、，若，，则的最大值为（

）A． B． C． D．以上都不对【答案】C【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值.【详解】由余弦定理可得，所以，，即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故选：C.17．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是_____________．【答案】/【分析】根据正弦定理得，则，利用两角和与差的正切公式和基本不等式即可得到答案.【详解】由已知及正弦定理，得，整理得，易知，则，且，于是当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为：.热点九热点九与解析几何交汇型18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，点在直线上，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解.【详解】由题意得，且，故，当且仅当，即，时，等号成立.故选：C.19．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（

）A．8 B．9 C．16 D．18【答案】C【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解.【详解】由椭圆的定义可得，所以由基本不等式可得，当且仅当时取得等号，故选:C.20．（2023·陕西西安·统考一模）点为抛物线上的两点，是抛物线的焦点，若中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】设，，由题意得与，的关系，在三角形中由余弦定理得与的关系，求出比值，由基本不等式求出最值即可.【详解】设，，则，，，当且仅当时取等号，取最大值1，则的最小值为1.故选：B.热点十热点十与立体几何交汇型21．（2023·江苏·高三统考学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案.【详解】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，当且仅当，即时等号成立.故选：B.22．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中）三棱锥中，平面，.若，，则该三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，其中，利用勾股定理可求得，并求出的面积，利用锥体的体积公式以及基本不等式可求得结果.【详解】设，其中，如下图所示：因为平面，平面，所以，，因为，所以，，又因为，所以，，由可得，，，当且仅当时，即当时，该三棱锥体积取最大值为.故选：D.热点十一热点十一与函数交汇型23．【多选题】（云南省曲靖市2023届高三第二次教学质量监测数学试题）若实数满足，则（

）A．且 B．的最大值为C．的最小值为7 D．【答案】ABD【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.【详解】由，可得，所以且，故A正确；由，可得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9，故C错误；因为，则，所以，故D正确.故选：ABD.24．（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．【答案】3【分析】由已知可解得，.根据换底公式可得，.根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案.【详解】因为，所以，.又，，所以，.因为，，根据基本不等式有，当且仅当，即，时等号成立，所以.则，所以的最大值为.故答案为：.热点十二热点十二与导数交汇型25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线过点，则的最小值为__________.【答案】12【分析】根据导数的几何意义求得函数在点处的切线方程，可推出，将化为，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由函数可得，则，故函数在点处的切线方程为，即，则由题意可得，故，当且仅当，即取等号，即的最小值为12，故答案为：1226．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知，且，则m+2n的取值范围是______．【答案】【分析】求导判定的单调性得，再用对勾函数的单调性求m+2n的范围即可.【详解】由题意得，设，令得，，令得，，故在上单调递减，在上单调递增，即，故在定义域上单调递增.所以，设，，由对勾函数的单调性可得在上单调递增，故.故答案为：.热点十三热点十三与数列交汇型27．（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中学校联考期中）正项等比数列中，，若，则的最小值等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据等比数列的性质可得，进而由基本不等式即可求解最值.【详解】由等比数列中，设公比为，且，由得，故，由得，，当且仅当，即时等号成立，故最小值为，故选：B28．（2023·河南新乡·统考三模）已知数列满足，，则的最小值为__________．【答案】6【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据基本不等式求解即可．【详解】由得，当时，，，…，，将这个式子累加得，则，时也适合，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：6.热点十四热点十四与概率统计交汇型29．（2023·河北·统考模拟预测）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为（

）A．26 B．30 C．32 D．36【答案】C【分析】由题意设甲、乙在某一轮训练中训练过关的概率为p，求出p的表达式，分析的表达式和范围，令，利用换元法和基本不等式计算可得p的最大值，由二项分布，结合数学期望公式计算即