中点、角平分线常用模型-题目版

几何微专题(基础篇)目录TOC\o"1-4"\h\z\u几何微专题(基础篇) 1微专题1中点的常用辅助线 2类型一构造中位线 2情形1：定义构造法 2情形2：搭桥构造法 2情形3：逆向构造法 3类型二构造等腰三角形 3情形：中垂线构造等腰三角形 3类型三构造中线 4情形1：连底边中线 4情形2：连斜边中线 4类型四构造倍长中线(类中线) 5情形1：倍长中线构造“8”字全等 5情形2：倍长类中线构造“8”字全等 5基础巩固 5综合提升 6微专题2角平分线的常用辅助线 13类型一根据角平分线的对称性构造辅助线 13情形1：向角两边作垂线 13情形2：延长内垂线构等腰 13情形3：截取构全等 13类型二、作平行线构等腰 14情形1：内部作边的平行线 14情形2：外部作角平分线的平行线 14基础巩固 15综合提升 16微专题1中点的常用辅助线类型一构造中位线情形1：定义构造法已知三角形，连接两边中点构造中位线(依据：1.三角形中位线定理；2.平行线等分线段定理推论)图示：(1)或(2)1．(2023春•兴宁区校级月考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，D是BC边的中点，E在AB边上，

若∠DEB=30°，则DE长为________2．(2022•梧州模拟)如图，在△ABC中，延长CA到点D，使AD=AC，点E是AB的中点，连接DE，并延长DE交BC于点F，已知BC=4，则BF=_______．

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图情形2：搭桥构造法已知两条独立线段(不能围成三角形)的中点，分别连接独立线段的两个端点，取其中点，三个中点两两相连

(依据：三角形中位线定理)图示：3．(2023春•蜀山区科大附中期末)如图，在等边三角形ABC中，AB=6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．G为AD中点，H为BE中点．连接GH，则GH的值为()

A．1 B．1.5 C．2 D．34．(2019春•徐汇区校级期中)如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，若AC=4，BD=6．则EF的取值范围是________．5．(2019春•瑶海区38中月考)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME=∠CNE．

情形3：逆向构造法以某条端点在中点上的线段为中位线，逆向构造出它所在的三角形

(依据：1.三角形中位线定理；2.平行线等分线段定理推论)图示：或6．(2022•合肥一模)如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC=7，AB=4，则DE的值为()

A．1 B．2 C．12 D．32第6题图 第7题图 第8题图7．(2023春•泰山区期末)矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC=EF=4，CD=CE=2，则GH=_______．8．(2023•郧阳区模拟)如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是()

A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少

C．线段EF的长不变 D．△ABP和△CRP的面积和不变类型二构造等腰三角形情形：中垂线构造等腰三角形连接中垂线上的点到线段端点的线段构造等腰(依据：线段中垂线上的点到线段两端距离相等)图示：9．(2021•张家界模拟)如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D是AB的中点，过点D作DE垂直AB交BC的延长线于点E，则CE的长是_________．第9题图 第10题图 第12题图10．(2023秋•房山区期末)已知△ABC，∠C=90°，D是AB中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E．若AC=4，CE=2，则BC=_________．11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，E是AC的中点，连接BE，F为BE的中点，连接DF，若BD=CE，DF=2，BE=10，则AC的长为_________．类型三构造中线情形1：连底边中线连接等腰三角形底边上的中点(依据：等腰三角形“三线合一”)图示：12．(2021•铜仁市模拟)如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是_________．情形2：连斜边中线作直角三角形斜边上的中线，(依据：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半)图示：13．(2022春•包河区期末)如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，E、F分别为对角线BD，AC的中点，

若BD=10，AC=8，则EF的长度为___________．3

第13题图 第14题图 第15题图 第16题图14．(2021•夹江县模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠B=60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD=1，则线段AF的长度为()

A．35 B．45 C．1 D．65类型四构造倍长中线(类中线)情形1：倍长中线构造“8”字全等图示：或15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，D是BC中点，∠CAD=∠CBE，则AE=_________．16．(2023秋•建邺区校级期中)如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=a，EF=a，BF=b，则AC的长为()

A．a+b B．2b C．1.5b情形2：倍长类中线构造“8”字全等倍长端点在中点上的线段构造“8”字全等图示：或15．在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E，F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD，以线段BE，EF，FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？

基础巩固1．(2023秋•儋州期中)如图，在△ABC中，D为AC中点，过点D作DE⊥AC交CB的延长线于点E，交AB于点F，若BF=3，F为DE中点，则AF的长为________．

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 2．(2021•永嘉县校级模拟)如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F.若AF=BF=6，BE=4，则DE的长为________．3．(2020秋•下城区期末)在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD=AE，且CE＜AC.若AD=6，AB=10，则CE的长为________．4．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，且∠AEF=90°，若AB=4，AD=5，则FC的长为________．5．(2021•天津)如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE=2，DF=1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH.则GH的长为________．6．(2022秋•丹江口市期末)如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC的中点，EF∥AD，交AB于点F交CA延长线一点G．

(1)求证：△AFG是等腰三角形；

(2)求证：BF=AC+AF．

7．(2022春•旌阳区德阳二中期中)如图，在△ABC中BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点．求证：EF∥BC．

8．已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形(其中∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB，AC=AF)，求证：EF=2AD．

综合提升1．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE．

2．(2021•安徽)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．

(1)求证：△ABF≌△EAD；

(2)如图2．若AB=9，CD=5，∠ECF=∠AED，求BE的长；

(3)如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BEEC的值．

3．(2023•合肥新站区二模)问题背景：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，在△AEF中，∠AEF=90°，∠EAF=12∠BAC，连接BF，M是BF中点，连接EM和DM，在△AEF绕点A旋转过程中，线段EM和DM之间存在怎样的数量关系？

观察发现：

(1)为了探究线段EM和DM之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将△AEF绕点A旋转，使AE与AB重合，如图2，易知EM和DM之间的数量关系为_________EM=DM；

操作证明：

(2)继续将△AEF绕点A旋转，使AE与AD重合时，如图3，(1)中线段EM和DM之间的数量关系仍然成立，请加以证明．

问题解决：

(3)根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1，在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立吗？请说明你的理由．

4．(2024•湖北一模)问题背景：数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图(1)，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作△ACD关于点D中心对称的图形，其中点A的对应点是点M．请你帮助小明完成画图和后面的解答．

尝试运用：如图(2)，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．试判断线段AD与EF的关系，并加以证明．

迁移拓展：如图(3)，AD是△ABC的中线，AEAB=AFAC=k.∠BAE=∠CAF=90°．直接用含k的代数式写出△AEF与△ACD之间的面积关系．

5．(2022•泰安六中二模)已知△ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE．

(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；

(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN

(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，如图3

①求证M为DE的中点；

②若DB=2，则BM=_______(直接写出结果)。

6．已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO，连接AD，BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．

(1)如图1，若A，O，C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，则△PMN的形状是___________．此时ADBC=___________．

(2)如图2，若A，O，C三点在同一直线上，且AOBO=23，证明△PMN∽△BAO，并计算ADBC的值；

(3)在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值．

7．(2022•毕节市)如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO=CO，∠BCA=∠CAD．

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD=2AB，BC=15，AC=16，求△EFG的周长．

微专题2角平分线的常用辅助线类型一根据角平分线的对称性构造辅助线情形1：向角两边作垂线已知角平分线上的点向角的边作垂线，构造对称型全等三角形(依据：角平分线性质定理)图示：1．(2022·北京·中考真题)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，若AC=2，DE=1则S△ACD=第1题图 第2题图 2．(2024•武威二模)如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：(1)PE=PF；(2)点P在∠COD的平分线上；(3)∠APB=90°-∠O，其中正确的有()

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个情形2：延长内垂线构等腰已知角平分线的垂线，延长垂线与角的边相交，构造等腰三角形(依据：ASA全等或等角的余角相等)图示：3．(2023秋•肥东县期末)如图，△ABC的面积为8cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为()

A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．第3题图 第4题图4．(2023秋•珠海校级期中)如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD．若AC=9，BC=5，则BD=_________．情形3：截取构全等已知角平分线，在角的另一边上截取相等线段，构造对称型全等三角形(依据：SAS全等)图示：5．(2023•苏州二模)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=2，AB=5，AD=3，则AC的长为_________．第5题图 第6题图 6．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且∠B+∠D=180°，若AB=9，EB=2，则AD=_________．类型二、作平行线构等腰情形1：内部作边的平行线在内作另一边的平行线，(“角平分”、“平行”、“等腰”知二求三模型)图示：7．(2023秋•庐阳区期末)如图，∠AOB=30°，OE平分∠AOB，EF∥OB，CE⊥OB于点C．若EC=6，则OF的长是()

A．6 B．9 C．63 D．12第7题图 第8题图 8．(2021秋•霸州市期末)如图，△ABC中，AB=5，BC=6，CA=10，点D，E分别在BC，CA上，DE∥AB，F为DE中点，AF平分∠BAC，则BD的长为()

A．32 B．65 C．85 D．2情形2：外部作角平分线的平行线在外作角平分线的平行线，构造等腰三角形。(“角平分”、“平行”、“等腰”知二求三模型)图示：基础巩固1．(2021•安徽模拟)如图，在△ABC中，AB=AD，E为BD中点，连接AE，∠BAD=∠CAE，若BD=32CD=6，则AB的长为()

A．62 B．37 C．3415 D

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2．(2023秋•越秀区校级期中)如图，AB=BE，∠DBC=12∠ABE，BD⊥AC，下列结论正确的有()

①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD=180°；③AC=2BE+CE；④AC=2CD-CE．

A．1个 B．2个 3．(2023•河曲县一模)如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=()

A．40° B．45° C．50° D．60°4．