工程力学-第五章

第五章空间力系CONTNET01空间汇交力系03空间力系的平衡条件和平衡方程02空间力对点之矩和力对轴之矩04重心01空间汇交力系5.1空间汇交力系空间力系是指各力的作用线在空间任意分布的力系。一般机械中的转轴以及工程中的空间桁架结构等都属于空间力系问题。与平面力系类似，空间力系也可分为空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系。其中，空间汇交力系是指各力虽不在同一平面内，但各力作用线均相交于一点的力系；空间平行力系是指空间力系中，各力的作用线都平行的力系；空间任意力系是指空间力系中，各力作用线任意分布的力系。与平面汇交力系类似，求空间汇交力系的合力时也可以采用几何法和解析法。其中，几何法是指用力多边形法则求合力的大小和方向的方法；解析法是指利用力在空间坐标轴上的投影来求合力的大小和方向的方法。5.1.1空间力的分解5.1.2力在空间直角坐标轴上的投影1．一次投影法正负号规定如下：如果力的起点投影到终点投影的连线方向与坐标轴的正向一致，则力F的投影取正值；反之取负值。5.1.2力在空间直角坐标轴上的投影2．二次投影法5.1.2力在空间直角坐标轴上的投影2．二次投影法5.1.3空间汇交力系的合成与平衡条件1．空间汇交力系的合成5.1.3空间汇交力系的合成与平衡条件1．空间汇交力系的合成5.1.3空间汇交力系的合成与平衡条件2．空间汇交力系平衡的方程因此，空间汇交力系平衡的充要条件为：该力系中所有各力在三个相互正交的坐标轴上投影的代数和分别为零。5.1.3空间汇交力系的合成与平衡条件02空间力对点之矩和力对轴之矩5.2.1力对点之矩对于空间力系，力对点之矩应该用矢量表示，且该矢量由力与矩心所构成平面的方位、力矩在该平面内的转向、力矩的大小这三个因素来决定。如图所示，设力F的作用线沿AB，O点为矩心，则力对这一点之矩可用矢量来表示，称为力矩矢，用MO（F）表示。力矩矢MO（F）的始端为O点，它的模（即大小）等于力F与力臂d的乘积，方位垂直于力F与矩心O所决定的平面，指向可用右手法则来确定。于是可得：5.2.1力对点之矩由以上定义可知，力矩矢MO（F）的大小和方向与矩心O的位置有关，即力矩矢MO（F）是一个定位矢量。力矩矢MO（F）还可以用另一种数学形式来表示。如图5-5所示，用r表示O点到力F作用点的矢径，则r与F的矢量积也是一个矢量。根据矢量积的定义，其大小等于三角形OAB面积的两倍，其方位垂直与r和F所决定的平面，指向也符合右手法则。可见矢量积与力矩矢MO（F）的大小相等，方向相同，于是有：即力矩矢MO（F）等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。5.2.2力对轴之矩在实践中我们知道，如果在推门时力的作用线与门的转轴z平行或相交，如图所示。显然，不论力多么大，门是不会转动的。在这种情况下，力与转轴共面，力对轴不产生转动效应，即力对轴的矩为零。5.2.2力对轴之矩如果推门时力F在垂直于转轴z的平面内，如图所示，此时就能把门推开。实践证明，力F越大，或其作用线与转轴间的垂直距离d越大，转动效果就越明显。因此，可以用力F的大小与距离d的乘积来度量力F对刚体绕定轴的转动效应，其转向可用正负号区分。5.2.2力对轴之矩在一般情况下，力F可能既不平行于z轴，又不与z轴相交，也不在垂直与z轴的平面内，如图所示。为了确定力F使门绕z轴转动的效应，可将力分解为两个分力Fz和Fxy。5.2.2力对轴之矩式中的正负号可以这样确定：从z轴的正向看去，若力使物体逆时针转动，取正号，如图所示；反之，取负号；也可以用右手螺旋法则来确定：即以右手四指表示力使物体绕z轴转动的方向，若拇指的指向与z轴的正向相同，取正号；反之取负号，如图所示。5.2.3空间力系的合力矩定理5.2.3空间力系的合力矩定理5.2.3空间力系的合力矩定理5.2.4力对点之矩与力对轴之矩的关系5.2.4力对点之矩与力对轴之矩的关系5.2.4力对点之矩与力对轴之矩的关系力对点之距矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴之矩。这就是力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系。5.2.4力对点之矩与力对轴之矩的关系例5-2如图所示，在正方体的顶角A和B处分别作用有力F1和F2，试求此二力对x，y，z轴之矩以及对坐标原点O之矩。5.2.4力对点之矩与力对轴之矩的关系5.2.4力对点之矩与力对轴之矩的关系03空间力系的平衡条件和平衡方程5.3.1空间力系的简化设刚体受到空间任意力系F1，F2，…，Fn的作用，如图所示。与空间任意力系一样，在刚体内任意取一点O作为简化中心，根据力的可传递性和力的平移定理，将图中各力移动到O点。力平移时会产生力偶，这样就得到一个作用于简化中心O点的空间汇交力系和一个附加的空间力偶系，如图所示。5.3.1空间力系的简化再将空间汇交力系和力偶系分别合成，最终可以得到一个作用于简化中心O点的合力和合力偶矩，如图所示。其中，合力称为主矢，后者称为主矩MO。它们的大小为：5.3.2空间任意力系的平衡条件和平衡方程研究刚体在空间力系作用下的平衡问题时，最多只能列6个独立的平衡方程，求解6个未知量。5.3.3空间汇交力系的平衡方程5.3.4空间平行力系的平衡方程5.3.5空间力系平衡方程的应用一般情况下，当刚体受到空间任意力系作用时，在每个约束处，其约束反力的未知量可能有1个到6个。约束类型光滑表面

滚动支座约束力未知量5.3.5空间力系平衡方程的应用约束类型径向轴承圆柱铰链约束力未知量5.3.5空间力系平衡方程的应用约束类型球形铰链止推轴承约束力未知量5.3.5空间力系平衡方程的应用约束类型导向轴承约束力未知量5.3.5空间力系平衡方程的应用约束类型导轨约束力未知量5.3.5空间力系平衡方程的应用约束类型空间的固定端支座约束力未知量5.3.5空间力系平衡方程的应用求解空间力系平衡问题的基本方法和步骤与平面力系问题相同，即：（1）确定研究对象，取分离体，画受力图。（2）确定力系类型，列出平衡方程。（3）代入已知条件，求解未知量。5.3.5空间力系平衡方程的应用5.3.5空间力系平衡方程的应用5.3.5空间力系平衡方程的应用5.3.5空间力系平衡方程的应用04重心地球上的任何物体都要受到地球的引力作用，如果把物体看作是由许多微小部分组成的，则所有这些微小部分受到的地球引力就组成一个汇交于地球中心的空间汇交力系。但由于物体的尺寸远比地球的半径小得多，所以这个空间汇交力系可以近似地视为空间平行力系。此力系的合力就是物体的重力。由试验可知，无论物体怎样放置，其重力的作用线始终通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为物体的重心。物体重心所在的位置，与该物体在空间的位置无关。5.4.1重心及其坐标1．重心的概念设有一个物体，如图所示，将它分成许多微小单元，每个微小单元所受的重力分别用Gi来表示，各质点在空间中的坐标分别为（xi，yi，zi），物体的重心以C来表示，重心坐标为（xC，yC，zC）。5.4.1重心及其坐标2．重心的坐标公式5.4.1重心及其坐标2．重心的坐标公式5.4.1重心及其坐标3．质心称为物体的质心（物体质量中心）坐标公式。5.4.1重心及其坐标4．形心5.4.1重心及其坐标4．形心由上式所确定的C点称为薄板的形心或平面图形的形心。5.4.2求重心的几种常用方法当均质物体具有对称面、对称轴或对称中心时，该物体的重心或形心显然必在这个对称面、对称轴或对称中心上。1．简单几何形状物体的重心图形重心位置5.4.2求重心的几种常用方法1．简单几何形状物体的重心图形重心位置5.4.2求重心的几种常用方法1．简单几何形状物体的重心图形重心位置5.4.2求重心的几种常用方法1．简单几何形状物体的重心图形重心位置5.4.2求重心的几种常用方法1．简单几何形状物体的重心图形重心位置5.4.2求重心的几种常用方法1．简单几何形状物体的重心图形重心位置5.4.2求重心的几种常用方法1．简单几何形状物体的重心图形重心位置5.4.2求重心的几种常用方法1．简单几何形状物体的重心图形重心位置5.4.2求重心的几种常用方法2．组合法工程中有些物体虽然形状比较复杂，但往往是由一些简单形体组合而成的，这样的形体习惯上称为组合形体。对于组合形体，往往可以不经过积分运算，而用一些简单的方法求得重心的坐标。常用的方法有分割法和负面积（或负体积）法。（1）分割法有些形状比较复杂的平面图形往往是由几个简单的平面图形组合而成的，每个简单的平面图形的形心位置可以根据对称性或查表确定，整个图像的形心坐标可以用式求得。这种求形心的方法称为分割法。3.4物体系的平衡、静定和静不定问题例5-5如图所示为一个Z型截面，求该截面的重心坐标（单位为mm）。5.4.2求重心的几种常用方法2．组合法（2）负面积（或负体积）法如果图形可以看作是从一个简单（或有规则的）图形中挖去另一个简单（或有规则的）图形而成的，则可把挖去部分的面积（或体积）取为负值，仍然应用式求。这种求形心的方法称为负面积（或负体积）法。5.4.2求重心的几种常用方法例5-6如图所示为空心截面，试求该截面的重心坐标。5.4.2求重心的几种常用方法3．实验法（1）悬挂法如果需确定薄板或具有对称面的薄板状零件的重心，可先将薄板用细绳悬挂于任意一点A，如图所示。根据二力平衡条件，重心必落在过悬挂点的铅直线上，于是可在板上画出该线AA′；然后再将该板悬挂于另一点B，同样可画出一条直线BB′，这两条直线的交点C就是该板的重心，如图所示。5.4.2求重心的几种常用方法3．实验法（2）称重法形