五年制数学(第一册上)(第三章)

一、角的概念的推广二、弧度制§3.1

角的概念的推广弧度制一、角的概念的推广1.任意角

在平面内,角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.如图所示,射线的端点O称为角α的顶点,起始位置OA称为角α的始边,终止位置OB称为角α的终边.一、角的概念的推广

一条射线绕着它的端点在平面内旋转有两个相反的转向.习惯上,按逆时针方向旋转形成的角称为正角;按顺时针方向旋转形成的角称为负角;当射线没有旋转时,也把它看成一个角,称为零角.

角的概念经这样推广以后,它包括任意大小的正角、负角和零角,统称为任意角.一、角的概念的推广例1时钟的分针经过下列时间所转成的角是多少度:(1)10min;

(2)2h25min.

一、角的概念的推广一、角的概念的推广2.象限角

我们常在直角坐标系内研究角.使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,角的终边在第几象限,就称这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限,称为界限角.一、角的概念的推广例2下列每两个角都在第

象限的是(

)(A)-120°,-240°

(B)-120°,180°(C)-240°,180°(D)-240°,495°解在直角坐标系中,作出各已知角(图3-3).由图可知,-240°和495°是第Ⅱ象限的角,所以选(D).一、角的概念的推广３.终边相同的角

具有共同的始边和终边的角,称为终边相同的角.角α的终边绕其顶点按逆时针方向旋转n圈时,就形成n·360°+α的角;按顺时针方向旋转n圈时,就形成-n·360°+α的角.这些角与角α都有相同的终边.因此,所有与α角终边相同的角,连同α角在内,有无穷多个,它们可用下式来表示:k·360°+α,k∈Z.用集合可记作{β|β=k·360°+α,k∈Z}.一、角的概念的推广

例3在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定是哪个象限的角:(1)-150°;

(2)640°;

(3)-1650°.解(1)∵-150°=-360°+210°,∴角-150°与角210°的终边相同,它是第Ⅲ象限的角.(2)∵640°=360°+280°,∴角640°与角280°的终边相同,它是第Ⅳ象限的角.(3)∵-1650°=(-5)·360°+150°,∴角-1650°与角150°的终边相同,它是第Ⅱ象限的角.一、角的概念的推广一、角的概念的推广例4写出与下列各角终边相同的角的集合S,以及S中在-360°~720°范围内的角:(1)-25°; (2)363°14'.解(1)S={β|β=k·360°-25°,k∈Z}.S中在-360°~720°范围内的角是0×360°-25°=-25°;

1×360°-25°=335°;

2×360°-25°=695°一、角的概念的推广一、角的概念的推广(2)S={β|β=k·360°+363°14',k∈Z}.S中在-360°~720°范围内的角是-2×360°+363°14'=-356°46';

-1×360°+363°14'=3°14';0×360°+363°14'=363°14'.由终边相同的角和象限角的意义可以得出各象限角的范围(图3-4).学生练习练习一二、弧度制1.角度制与弧度制

二、弧度制

2.度与弧度的相互换算二、弧度制

二、弧度制n°0°30°45°60°90°180°270°360°rad0π2π二、弧度制

３.弧长公式二、弧度制

根据公式(3-1),弧长公式为l=|α|·r,(3-3)其中α的单位必须用弧度.二、弧度制

二、弧度制二、弧度制

例8自行车车轮的半径为0.33m,车轮行驶时每秒钟转过1.5圈,问自行车在5秒钟内前进了多少米(精确到0.1m).解车轮上任一点在5秒钟内转过的角为

|α|=5×1.5×2π=15π,

由公式(3-3)得

l=15π×0.33≈15.5(m).

答:自行车在5秒钟内前进了15.5m.二、弧度制学生练习练习二一、任意角三角函数二、象限角的三角函数值的符号§3.2任意角三角函数一、任意角三角函数的定义

在初中,我们已学过锐角三角函数,即如果α是直角三角形的一个锐角(图3-7),则

一、任意角三角函数的定义

一、任意角三角函数的定义

一、任意角三角函数的定义

当采用弧度制来度量角时,由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系,因此三角函数可以看成以实数为自变量的函数,其定义域归纳如下表(表3-1).三角函数定义域sinαcosα{α|α∈R}tanαsecαcotαcscα一、任意角三角函数的定义例1已知角α终边上的一点P(4,-3),求α的六个三角函数值(图3-9).

一、任意角三角函数的定义一、任意角三角函数的定义

一、任意角三角函数的定义一、任意角三角函数的定义一些常用特殊角的三角函数值列表如下(表3-2).αradα°函数0π2π0°30°45°60°90°180°270°360°sinα010-10cosα10-101tanα01不存在0不存在0cotα不存在10不存在0不存在一、任意角三角函数的定义

解(1)原式=5×1+4×1-3×(-1)+2×(-1)-0=10;

(2)原式=2×0-10×1+5×(-1)+4×0+10×1=-5.一、任意角三角函数的定义学生练习练习一二、象限角的三角函数值的符号

根据三角函数的定义可知,三角函数值的符号由各象限内点的坐标符号唯一确定.由此得到三角函数值在各象限的符号,如图所示.

概括为:正弦、余割一、二正,余弦、正割一、四正,正切、余切一、三正.二、象限角的三角函数值的符号

二、象限角的三角函数值的符号二、象限角的三角函数值的符号例5根据下列条件,确定角α所在的象限:(1)sinα<0且tanα>0;

(2)tanα·cosα<0.

二、象限角的三角函数值的符号学生练习练习二布置作业§3.3同角三角函数的关系根据三角函数的定义,同角三角函数间有如下关系式:

§3.3同角三角函数的关系

§3.3同角三角函数的关系

§3.3同角三角函数的关系§3.3同角三角函数的关系

§3.3同角三角函数的关系§3.3同角三角函数的关系

§3.3同角三角函数的关系学生练习练习一§3.3同角三角函数的关系例4化简sin2α·tanα+cos2α·cotα+2sinα·cosα.

§3.3同角三角函数的关系§3.3同角三角函数的关系

解原式=cscα·|cscα|+cotα·|cotα|.∵当90°<α<180°时,cscα>0,cotα<0,∴原式=csc2α-cot2α=1.§3.3同角三角函数的关系§3.3同角三角函数的关系

§3.3同角三角函数的关系§3.3同角三角函数的关系

§3.3同角三角函数的关系学生练习练习二布置作业§3.4诱导公式一、单位圆二、诱导公式一、单位圆

在直角坐标系中,以原点为圆心、1个单位长度为半径的圆称为单位圆.

学生练习练习一二、诱导公式1.k·2π+α(k∈Z)与α的三角函数的关系

因为k·2π+α与α角的终边相同,根据任意角的三角函数的定义,它们的三角函数值相等,即sin(2kπ+α)=sinα;

cos(2kπ+α)=cosα;

tan(2kπ+α)=tanα;

cot(2kπ+α)=cotα

(k∈Z).二、诱导公式

二、诱导公式

二、诱导公式2.-α与α的三角函数关系

二、诱导公式这样,得到-α与α的三角函数关系式:sin(-α)=-sinα;

cos(-α)=cosα;

tan(-α)=-tanα;

cot(-α)=-cotα.

由公式还可得到,余弦函数是偶函数,而正弦、正切与余切函数是奇函数.二、诱导公式

二、诱导公式二、诱导公式3.π+α与α的三角函数关系

如图3-14所示,设α为一任意角,它的终边与单位圆相交于点M(x,y),角π+α的终边与单位圆相交于点M1,容易看出,点M与M1关于原点对称,所以点M1的坐标是(-x,-y).

根据正弦、余弦在单位圆上的表示,可得sin(π+α)=-y=-sinα,cos(π+α)=-x=-cosα.于是

tan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα.二、诱导公式这样,得到π+α与α的三角函数关系式:sin(π+α)=-sinα;

cos(π+α)=-cosα;

tan(π+α)=tanα;

cot(π+α)=cotα.二、诱导公式

二、诱导公式二、诱导公式

二、诱导公式学生练习练习二二、诱导公式4.π-α,2π-α与α的三角函数关系因为π-α=π+(-α),所以sin(π-α)=sinα;

cos(π-α)=-cosα;

tan(π-α)=-tanα;

cot(π-α)=-cotα.由于2π-α与-α角的终边相同,可得2π-α与α的三角函数关系式:sin(2π-α)=-sinα;

cos(2π-α)=cosα;

tan(2π-α)=-tanα;

cot(2π-α)=-cotα.二、诱导公式

二、诱导公式学生练习练习三二、诱导公式

我们把这些公式都称为诱导公式,其中角α是使公式有意义的任意角.它们的共同特点是:(1)公式右端三角函数前的符号与左端的角(把α看成锐角)所在象限的三角函数值的符号相同;(2)公式左、右两端的三角函数的名称相同.

上述两个特点,可以概括为:符号看象限,函数名不变.利用诱导公式求任意角的三角函数值,一般可按下面步骤进行:二、诱导公式

二、诱导公式二、诱导公式

二、诱导公式学生练习练习四布置作业一、正弦函数y=sinx的图象和性质二、余弦函数y=cosx的图象和性质§3.5

正弦函数、余弦函数的图像和性质一、正弦函数y=sinx的图象和性质1.图象利用描点法作出y=sinx在区间[0,2π]上的图象.取自变量x从0到2π的一些值,求出函数y的对应值,并列表如下:x0π2πy00.50.8710.870.50-0.5-0.87-1-0.87-0.50一、正弦函数y=sinx的图象和性质

因为终边相同的角的三角函数值相等,即sin(2kπ+x)=sinx,k∈Z,所以把y=sinx在区间[0,2π]上的图象分别向左、向右平移2π,4π,6π,…就得到y=sinx,x∈R的图象(图3-16).

正弦函数y=sinx,x∈R的图象称为正弦曲线.一、正弦函数y=sinx的图象和性质

一、正弦函数y=sinx的图象和性质例1用“五点法”作出函数y=1-sinx在[0,2π]上的图象.解列表:x0π2πy=sinx010-10y=1-sinx10121描点作图(图3-17).一、正弦函数y=sinx的图象和性质2.主要性质(1)周期性:由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx可知,正弦函数的值是按照一定的规律不断重复出现的,这是正弦函数的一个重要性质,称为周期性.

一般地,对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域D内的任一个值时,都有x+T∈D,并且f(x+T)=f(x)

成立,那么就把函数y=f(x)称为周期函数,常数T称为这个函数的周期.因此,对于正弦函数sinx,x∈R来说,2π,4π,…,-2π,-4π,…都是它的周期,而2π是这个函数的最小正周期.

今后我们研究函数的周期,一般都是指最小正周期.因此,正弦函数y=sinx的周期是2π.一、正弦函数y=sinx的图象和性质

x↗0↗↗π↗sinx-1↗0↗1↘0↘-1

一、正弦函数y=sinx的图象和性质

一、正弦函数y=sinx的图象和性质

例2

x取何值时,函数y=5sinx+2取得最大值和最小值?最大值和最小值各是多少?

一、正弦函数y=sinx的图象和性质例3已知2sinx=4-a,求a的取值范围.一、正弦函数y=sinx的图象和性质

一、正弦函数y=sinx的图象和性质

一、正弦函数y=sinx的图象和性质

一、正弦函数y=sinx的图象和性质

例5求函数f(x)=sin2x的周期.

一、正弦函数y=sinx的图象和性质

一、正弦函数y=sinx的图象和性质学生练习一

二、余弦函数y=cosx的图象和性质1.图象

用描点法先作出y=cosx在区间[0,2π]上的图象.列表:x0π2πy10.870.50-0.5-0.87-1-0.87-0.500.50.871描点作图,得函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象(图3-18).二、余弦函数y=cosx的图象和性质

二、余弦函数y=cosx的图象和性质例6用“五点法”作出函数y=-cosx在[0,2π]上的图象.解列表:x0π2πy=cosx10-101y=-cosx-1010-1描点作图(图3-20).二、余弦函数y=cosx的图象和性质2.主要性质(1)周期性:由cos(x+2kπ)=cosx表明,余弦函数是周期函数,且它的最小正周期是2π.因此,余弦函数的周期是2π.(2)奇偶性:余弦曲线是关于y轴对称的,所以y=cosx是偶函数.(3)单调性:由余弦曲线(图3-19)可以看出,函数在[-π,π]的一个周期内的变化情况如下表所示:二、余弦函数y=cosx的图象和性质x-π↗↗0↗↗πcosx-1↗0↗1↘0↘-1

根据余弦函数的周期性可知,y=cosx在区间((2k-1)π,2kπ)内单调递增,在区间(2kπ,(2k+1)π)内单调递减,其中k∈Z.(4)有界性:因为|cosx|≤1,所以函数y=cosx也是有界的.

当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;当x=(2k+1)π(k∈Z)时,ymin=-1.二、余弦函数y=cosx的图象和性质

二、余弦函数y=cosx的图象和性质

二、余弦函数y=cosx的图象和性质

二、余弦函数y=cosx的图象和性质学生练习二

布置作业一、函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象二、函数y=sinωx(ω>0且ω≠1)的图象三、函数y=sin(x+φ)的图象四、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象§3.6

正弦型函数的图象及应用一、函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象

x0π2πy=sinx010-10y=2sinx020-20000一、函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象

二、函数y=sinωx(ω>0且ω≠1)的图象

2x0π2πx0πy=sin2x010-10

0π2πx0π2π3π4π010-10二、函数y=sinωx(ω>0且ω≠1)的图象描点作图

三、函数y=sin(x+φ)的图象

0π2πx010-100π2πx010-10三、函数y=sin(x+φ)的图象三、函数y=sin(x+φ)的图象

学生练习

四、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象

综上所述,可知函数y=Asinx,y=sinωx和y=sin(x+φ)的图象可以由正弦曲线y=sinx分别经过振幅、周期的变换以及起点的平移而得到.如果把这些步骤综合起来,就能得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象.四、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象

四、函数y=