2.1坐标法课件高二上学期数学人教B版选择性

第二章平面解析几何2.1坐标法人教B版

数学

选择性必修第一册课程标准1.理解实数与数轴上的点的一一对应关系;2.掌握数轴上两点形成的向量的坐标及两点间的距离公式、中点坐标公式;3.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式;4.理解坐标法的意义,并会用坐标法解决简单的平面几何问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1数轴上的基本公式(1)数轴的定义给定了

、

与

的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.

(2)数轴上的基本公式①如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1,记作A(x1)),且B(x2),则向量

的坐标为

;A,B两点之间的距离公式|AB|=||=|x2-x1|.

②若A(x1),B(x2),M(x)为数轴上线段AB的中点,则可得到数轴上的中点坐标公式x=

.

原点

单位长度正方向x2-x1过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)如果数轴上两个向量相等,那么这两个向量的坐标相等.(

)√-822知识点2平面直角坐标系中的基本公式(1)平面直角坐标系中两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式

(2)平面直角坐标系内的中点坐标公式设平面内两点A(x1,y1),B(x2,y2),若线段AB的中点为M(x,y),则x=

,y=

.

(3)坐标法通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算等解决问题,这种解决问题的方法称为坐标法.名师点睛

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)用坐标法证明矩形的对角线等长时,可以将矩形两条相邻的边所在的直线分别作为x轴和y轴建立平面直角坐标系.(

)2.已知线段AB的端点A(3,4)及中点O(0,3),则点B的坐标为(

)B√3.[北师大版教材习题]求下列两点间的距离:(1)A(-3,2),B(0,3);(2)C(-1,3),D(2,7).重难探究·能力素养全提升探究点一数轴上的坐标运算【例1】

已知数轴上两点A(a),B(5),分别求出满足下列条件时a的取值.(1)两点间距离为5;(2)两点间距离大于5;(3)两点间距离小于3.解

数轴上两点A,B之间的距离为|AB|=|5-a|.(1)根据题意得|5-a|=5,解得a=0或a=10.(2)根据题意得|5-a|>5,即5-a>5或5-a<-5,故a<0或a>10.(3)根据题意得|5-a|<3,即-3<5-a<3,故2<a<8.变式训练1|x-1|+|x+2|的最小值为

.

3解析

|x-1|可以看作数轴上点x与1之间的距离,|x+2|=|x-(-2)|可以看作数轴上点x与-2之间的距离.所以|x-1|+|x+2|就表示数轴上点x与1和-2之间的距离之和.借助于数轴可以看出,当x位于-2,1之间(包括-2,1)时,x与-2,1之间的距离之和最小,最小值为3.探究点二平面直角坐标系中公式的应用角度1.平面直角坐标系中两点之间距离公式的应用【例2】

[北师大版教材例题]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:y=2x+b上的两点,若|x2-x1|=3,求|AB|.解

因为A(x1,y1),B(x2,y2)在直线l上,所以y1=2x1+b,y2=2x2+b.由已知|x2-x1|=3,得|y2-y1|=|(2x2+b)-(2x1+b)|=2|x2-x1|=6.根据两点间的距离规律方法

1.点A(x1,y1)与点B(x2,y2)之间的距离公式还可以变形为|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2,O为原点时,|OA|=.2.在涉及求平方和的最小值的问题时,可通过两点之间距离公式的形式进行构造变形,利用动点到定点的最小距离求解.变式训练2已知A(1,3),B(5,2),点P在x轴上,则|AP|+|PB|的最小值为(

)B角度2.平面直角坐标系内中点坐标公式的应用【例3】

已知△ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.解

设点C的坐标为(x,y),边AC的中点为D,BC的中点为E,则

规律方法

1.平面内中点坐标公式的认识从公式上看,根据方程思想,可以知二求一,即只要知道公式两边的任意两个量,就可以求出第三个量从图象上看,只要知道任意两个点,就可以求出第三个点2.对本题而言,讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是解题的关键.变式训练3已知A(x,5)关于C(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点P(x,y)到原点O的距离是(

)D解析

因为C为AB的中点,探究点三坐标法在平面几何图形中的应用【例4】

已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|=|BC|.证明

如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).变式探究本例中条件不变,试用坐标法证明:|AB|2+|AC|2=|BC|2.证明

如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点距离公式得|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2,|BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.规律方法

1.建立平面直角坐标系的常见技巧(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上.(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,那么考虑其作为坐标轴.(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴.2.“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练123456789101112131.[探究点一]已知A,B都是数轴上的点,A(3),B(-2),则

的坐标为(

)A.17 B.1

C.-1 D.-17B123456789101112132.[探究点二(角度2)]已知点P(1,2),Q(3,0),则线段PQ的中点为(

)A.(4,2) B.(2,1) C.(2,4) D.(1,2)B123456789101112133.[探究点二(角度2)]点P(2,-1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为(

)A.(1,5) B.(4,9) C.(5,3) D.(9,4)B123456789101112134.[探究点二(角度2)]已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点坐标不是(

)A.(9,-4) B.(1,8) C.(-3,0) D.(1,-3)D解析

设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论.x=9,y=-4,即(9,-4);(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);(3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选D.123456789101112135.[探究点二(角度1)]在平面直角坐标系中,若点(2,b)到原点的距离不小于5,则实数b的取值范围是

.

123456789101112136.[探究点二]已知点A(2,1),B(-2,3),C(0,1),则△ABC中,BC边上的中线长为

.

123456789101112137.[探究点三]用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.证明

以线段BC的中点为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(a,b),C(c,0)(c>0),则B(-c,0).又E,F的纵坐标相同,所以EF∥BC.综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.B级关键能力提升练123456789101112138.已知P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),则|PQ|的最大值为(

)B∵cos(α-β)∈[-1,1],∴|PQ|∈[0,2].故选B.123456789101112139.(多选题)下列说法中,不正确的有(

)A.任何一条直线都有唯一的倾斜角B.任何一条直线都能找出方向向量C.任何一条直线都有唯一的斜率D.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大CD1234567891011121310.使得|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为

.

(-∞,4]解析

在数轴上,设点A(x),B(3),C(-1),则|x-3|+|x+1|=|AB|+|AC|的最小值为|BC|=4,所以使|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为(-∞,4].1234567891011121311.在平面直角坐标系xOy中,x轴上的动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为

.

5解析

如图,设点A(0,1)关于x轴的对称点为A'(0,-1),则AR=A'R,所以AR+BR=A'R+BR≥A'B,所以动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为A'B的长.因为|A'B|=