1.1.1空间向量及其线性运算课件高二上学期数学人教A版选择性

空间向量及其线性运算知识点一

空间向量及有关概念大小方向有向线段名称定义表示空间向量在空间,具有

和

的量

①几何表示法:空间向量用

表示;

②字母表示法:用字母a,b,c,…表示,若向量的起点是A,终点是B,也可记作;③图形表示法:大小长度|a|

名称定义表示向量的模(长度)空间向量a的

,也就是表示向量a的有向线段AB的

或

零向量长度为

的向量

单位向量模为

的向量

相反向量与向量a

相等而方向

的向量

向量a的相反向量是

001长度相反-a重合方向相等向量名称定义表示共线(平行)向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或

,那么这些向量叫作共线向量或平行向量

相等向量

相同且模相等的向量叫作相等向量.

在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或

规定:零向量与任意向量

,即对于任意向量a,都有

.

平行0∥a

√×√

[解析]

模为1的向量称为单位向量,显然单位向量不唯一.[解析]

向量是一个“量”,而不是一个“数”,所以不能比较大小.(4)若向量a与b都是单位向量,则a=b. (

)(5)在空间中,互为相反向量的两个向量必共线. (

)×√[解析]

向量a与b都是单位向量,其模相等,但是其方向不一定相同,所以a与b不一定相等.[解析]

模相等,且方向相反的向量为相反向量,显然,互为相反向量的两个向量必共线.知识点二

空间向量的线性运算1.空间向量的自由性任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量,这样任意两个

的运算就可以转化为

的运算.

空间向量平面向量2.空间向量的线性运算和三角形平行四边形b+aa+(b+c)运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量

的运算

法则

法则

(1)加法交换律:a+b=

;

(2)加法结合律:(a+b)+c=

相反向量三角形a+(-b)运算定义法则(或几何意义)运算律减法减去一个向量相当于加上这个向量的

法则

a-b=

向量数乘运算λa|λ||a|相同运算定义法则(或几何意义)运算律数乘实数λ与向量a的积是一个

,这种运算叫作向量的

,记作

(1)|λa|=

.

(2)当λ>0时,λa与a的方向

;当λ<0时,λa与a的方向

;当λ=0时,λa=

(1)对向量加法的分配律:λ(a+b)=

;

(2)对实数加法的分配律:(λ+μ)a=

相反0λa+λbλa+μa

√√

体对角线3.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同?平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗?解:因为任意两个空间向量都可以通过平移转化到同一个平面内,所以任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同.平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用.知识点三

空间向量共线与共面的充要条件1.空间两向量共线的充要条件对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使

.

2.空间直线的确定(1)直线的方向向量的定义在直线l上取

,把与向量a

的非零向量称为直线l的方向向量.

(2)空间直线的确定空间直线可以由其上一点和它的

确定.

a=λb非零向量a平行方向向量

平行重合

平行于平面α在平面α内共面向量p=xa+yb图1-1-1

√×√[解析]

若p=xa+yb,则p与a,b一定共面.[解析]

当a,b共线,而p与a,b不共线时,p=xa+yb是不成立的.

×

2.一条直线的方向向量有多少个?解:根据直线方向向量的定义可知,一条直线有无数个方向向量.1.空间向量的概念(1)两向量的关系:空间向量是具有大小和方向的量,两个向量之间只有等与不等之分,但不能比较大小,向量的模能比较大小.(2)有向线段与向量:向量可用有向线段来表示,但是有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法.(3)相等向量:方向相同且模相等的向量叫作相等向量.(4)向量的平移:任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成为同一个平面内的两个向量.2.空间向量的数乘运算(1)含义:λa是实数λ与向量a的数乘运算.(2)λ的作用:λ的正负影响着向量λa的方向,λ的绝对值影响着向量λa的长度.(3)a的作用:向量λa与向量a一定是共线向量.3.共线向量(1)类比理解:空间共线向量与平面共线向量的定义从本质上是一样的,平面共线向量的结论在空间共线向量中仍然成立.(2)共线向量与直线平行的区别:直线平行一般不包括两直线重合的情况,若a,b是两个共线向量,即a∥b,则说明表示向量a,b的有向线段所在直线既可以是同一条直线,也可以是两条平行直线.(3)方向向量的个数:直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量.一条直线的方向向量有无数个,它们的方向相同或相反.4.共面向量对共面向量的两点说明(1)对共面向量的理解:共面向量是指与同一个平面平行的向量,可将共面向量平移到同一个平面内.(2)由向量的“自由性”可知,空间任意的两个向量都是共面的.

探究点一

空间向量的有关概念及应用D

[解析](1)A中,若向量a,b平行,则a,b所在的直线平行或重合,故A错误;B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等,而方向不确定,故B错误;C中,向量作为矢量不能比较大小,故C错误.故选D.

8

CD

[素养小结]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点:(1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向.(2)注意点:①零向量不是没有方向,它的方向是任意的.②单位向量方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1.③两个向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,而且方向相同.若两个向量的模相等,方向相反,则它们为相反向量.探究点二

空间向量的线性运算

C

图1-1-4

ABD

图1-1-5

图1-1-6

[素养小结]空间向量线性运算的技巧:(1)向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量的方向,必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果.(3)利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量.探究点三

空间向量的共线、共面问题

A

(2)若非零空间向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为

.

1.空间向量的运算类似于平面向量的运算.向量加法运算的技巧是“首尾相接”,结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点;向量减法运算的技巧是“起点相同”,结果为减向量的终点指向被减向量的终点.

2.在利用空间向量解决三点共线问题时,通常先通过线性运算表示两个向量,然后通过判断两个向量是否共线得到结论.例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N在AC上,且AN∶NC=2∶1,E为BM的中点