2024-2025学年新教材高中数学 第七章 复数 7.3 复数的三角表示（1）教案 新人教A版必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第七章复数7.3复数的三角表示（1）教案新人教A版必修第二册主备人备课成员教材分析本节课为人教A版必修第二册第七章第三节“复数的三角表示（1）”。学生在之前的学习中已经掌握了复数的基本概念和代数表示方法，本节课将引导学生学习复数的三角表示，即用角度来表示复数，进一步深化对复数概念的理解。本节课的内容与后续的三角函数、复数运算等有着密切的联系，是高中数学中重要的基础概念。

本节课的教学目标包括：理解复数的三角表示的概念，掌握复数在极坐标系下的表示方法，能够进行基本的复数三角表示的运算，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

教学重点：复数的三角表示的概念和表示方法，复数在极坐标系下的运算。

教学难点：复数三角表示的运算规则的理解和应用。核心素养目标本节课旨在提高学生的数学核心素养，主要包括逻辑推理、数学运算、直观想象和数学建模。通过学习复数的三角表示，学生能够培养逻辑推理能力，理解复数从代数表示到三角表示的转化过程。在复数的三角表示运算过程中，学生能够提升数学运算能力，熟练掌握三角表示的运算规则。同时，通过直观想象，学生能够将复数三角表示与几何图形相结合，形成直观的认识。最后，在数学建模的过程中，学生能够运用复数的三角表示解决实际问题，提升解决实际问题的能力。重点难点及解决办法重点：复数的三角表示的概念和表示方法，复数在极坐标系下的运算。

难点：复数三角表示的运算规则的理解和应用。

解决办法：

1.对于重点内容，通过多媒体演示和实物模型辅助教学，让学生直观地理解复数的三角表示，并借助数学软件进行实例操作，加深对概念和方法的理解。

2.对于难点，采用分步教学法，先从简单的三角表示运算入手，逐步过渡到复杂的运算问题。同时，设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握运算规则。

3.课堂上组织小组讨论，让学生互相交流思路和解题方法，教师巡回指导，针对学生的不同困惑进行针对性解答。

4.利用课后作业和辅导时间，对学习有困难的学生进行个别辅导，帮助其克服难点，提高学习效果。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考复数三角表示的必要性，激发学生的探究欲望。

2.案例分析法：选取典型的实例，让学生观察、分析和总结复数三角表示的方法和规律。

3.合作学习法：组织学生进行小组讨论，共同解决复数三角表示的运算问题，培养学生的团队协作能力。

教学手段：

1.多媒体教学：利用PPT、动画等多媒体资源，生动展示复数的三角表示，增强学生的直观感受。

2.数学软件辅助：运用数学软件进行实例演示和操作，让学生亲身体验复数三角表示的运用，提高学生的实践能力。

3.在线教学平台：利用在线教学平台，发布预习资料、课堂讲解、课后作业等，方便学生随时随地学习，提高学习效果。

4.实体模型：借助复数圆模型、极坐标系模型等实体模型，让学生直观地理解复数三角表示的概念。

5.互动式教学：通过课堂提问、小组讨论、抢答等互动环节，激发学生的学习兴趣，提高课堂氛围。

6.个性化辅导：针对学生的不同需求，提供个性化的辅导资源和学习计划，帮助学生克服学习难点。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕复数三角表示课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解复数三角表示的基本概念。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解复数三角表示课题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出复数三角表示课题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解复数三角表示的基本概念和方法，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、实际操作等活动，让学生在实践中掌握复数三角表示的运用。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、实际操作等活动，体验复数三角表示的应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解复数三角表示的基本概念。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握复数三角表示的运用。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解复数三角表示的基本概念和方法。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据复数三角表示课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与复数三角表示相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的复数三角表示知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）复数三角表示在工程中的应用：介绍复数三角表示在电路分析、信号处理等工程领域的应用，帮助学生了解复数三角表示的实际意义。

（2）复数游戏：通过数学游戏的方式，让学生在轻松愉快的氛围中学习复数三角表示，提高学生的学习兴趣。

（3）复数三角表示的数学史：介绍复数三角表示的起源和发展历程，让学生了解数学知识的演进过程，培养学生的文化素养。

（4）复数三角表示的练习题库：提供大量复数三角表示的练习题，涵盖各种难度和类型，帮助学生巩固知识点。

2.拓展建议：

（1）让学生利用网络资源，查找复数三角表示在工程中的应用案例，并进行分析和总结，提高学生的实际应用能力。

（2）组织学生进行复数游戏活动，如复数接龙、复数猜谜等，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手能力和思维能力。

（3）鼓励学生阅读关于复数三角表示的数学史资料，了解复数三角表示的起源和发展，培养学生的历史观念和文化素养。

（4）建议学生利用课余时间，完成复数三角表示的练习题库，检测自己的学习效果，提高学生的自主学习能力。

（5）引导学生关注复数三角表示的最新研究成果和学术动态，拓宽学生的知识视野，提高学生的学术素养。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了复数的三角表示，主要包括复数在极坐标系下的表示方法和复数的三角表示的运算规则。通过学习，我们知道了复数可以用角度来表示，进一步深化了对复数概念的理解。同时，我们也了解到了复数的三角表示在工程、数学史和实际应用等方面的广泛用途。

当堂检测：

1.选择题：

（1）复数1的三角表示是（）。

A.1°

B.1rad

C.π°

D.πrad

（2）复数（3+4i）的三角表示是（）。

A.3+4i

B.3rad

C.4rad

D.5rad

2.填空题：

（1）复数1的三角表示是______。

（2）复数（3+4i）的模是______，辐角是______。

3.计算题：

（1）已知复数1的三角表示是1rad，求复数1的代数表示。

（2）已知复数（3+4i）的三角表示是3rad，求复数（3+4i）的代数表示。

4.应用题：

（1）已知电路中有一个电阻R和电容C，复数表示为R+jωL，其中ω=2πf，f为频率。求该电路的复数表示。

（2）某信号的复数表示为2∠30°，求该信号的振幅和频率。

答案解析：

1.选择题答案：

（1）B

（2）D

2.填空题答案：

（1）1

（2）5；30°

3.计算题答案：

（1）1

（2）3-4i

4.应用题答案：

（1）R+jωL

（2）振幅为2，频率为50Hz板书设计1.复数的三角表示的概念和表示方法

-复数的三角表示：复数可以用角度来表示，即复数z=a+bi可以表示为z=r∠θ（其中r为模，θ为辐角）

-复数的三角表示的运算规则：复数的三角表示与代数表示之间的转换，以及复数的三角表示的加减乘除运算规则

2.复数在极坐标系下的运算

-复数在极坐标系下的加法运算：两个复数相加，模相加，辐角相加

-复数在极坐标系下的减法运算：两个复数相减，模相减，辐角相加

-复数在极坐标系下的乘法运算：两个复数相乘，模相乘，辐角相加

-复数在极坐标系下的除法运算：两个复数相除，模相除，辐角相加

3.复数的三角表示的实际应用

-复数在电路分析中的应用：复数可以用来表示电路中的电阻、电容和电感等元件，便于进行电路分析

-复数在信号处理中的应用：复数可以用来表示信号的幅度和相位信息，便于进行信号处理重点题型整理1.复数的三角表示与代数表示的转换

（1）已知复数z=3+4i的代数表示，求其三角表示。

解：复数z=3+4i的模r=√(3^2+4^2)=5，辐角θ=arctan(4/3)=45°。所以，复数z=3+4i的三角表示为z=5∠45°。

（2）已知复数z=3∠60°的三角表示，求其代数表示。

解：复数z=3∠60°的模r=|3|=3，辐角θ=60°。所以，复数z=3∠60°的代数表示为z=3+0i。

2.复数的三角表示的加减运算

（1）已知复数z1=2∠30°和z2=3∠45°，求z1+z2和z1-z2。

解：复数z1和z2的模分别为r1=√2，r2=√3，辐角分别为θ1=30°，θ2=45°。

z1+z2的模r=r1+r2=√2+√3，辐角θ=θ1+θ2=30°+45°=75°。

z1-z2的模r=r1-r2=√2-√3，辐角θ=θ1-θ2=30°-45°=15°。

所以，z1+z2=2√6∠75°，z1-z2=√6∠15°。

3.复数的三角表示的乘除运算

（1）已知复数z1=2∠30°和z2=3∠45°，求z1*z2和z1/z2。

解：复数z1和z2的模分别为r1=√2，r2=√3，辐角分别为θ1=30°，θ2=45°。

z1*z2的模r=r1*r2=2*√3=√6，辐角θ=θ1+θ2=30°+45°=75°。

z1/z2的模r=r1/r2=√2/√3=√6/3，辐角θ=θ1-θ2=30°-45°=15°。

所以，z1*z2=2√6∠75°，z1/z2=√6∠15°。

4.复数三角表示的实际应用

（1）已知信号的复数表示为2∠45°，求该信号的振幅和频率。

解：信号的振幅为|2|=2，频率为ω=tan(θ/2)=tan(45°/2)=√2。

（2）已知电路中有一个电阻R和电容C，复数表示为R+jωL，其中ω=2πf，f为频率。求该电路的复数表示。

解：电路的复数表示为R+jωL，其中模r=√(R^2+(ωL)^2)，辐角θ=arctan(ωL/R)。

5.复数的三角表示的综合应用

（1）已知复数z1=2∠30°和z2=3∠45°，求复数z1*z2和z1/z2。

解：复数z1和z2的模分别为r1=√2，r2=√3，辐角分别为θ1=30°，θ2=45°。

z1*z2的模r=r1*r2=2*√3=√6，辐角θ=θ1+θ2=30°+45°=75°。

z1/z2的模r=r1/r2=√2/√3=√6/3，辐角θ=θ1-θ2=30°-45°=15°。

所以，z1*z2=2√6∠75°，z1/z2=√6∠15°。反思改进措施（一）教学特色创新

1.引入实际应用案例：在教学过程中，通过引入复数在电路分析、信号处理等领域的实际应用案例，帮助学生更好地理解复数的三角表示，提高学生的学习兴趣和主动性。

2.利用信息技术手段：充分利用多媒体教学资源，如PPT、动画等，形象生动地展示复数的三角表示，提高学生的直观感受，增强教学效果。

3.组织小组合作学习：通过小组合作学习的方式，让学生在小组内共同探讨复数的三角表示，互相交流学习心得，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

（二）存在主要问题

1.学生基础差异较大：在教学过程中，发现部分学生对复数的基本概念掌握不够牢固，导致学习复数的三角表示时感到困难。

2.教学方法单一：在教学过程中