高中数学 3.4 第2课时 直线与圆锥曲线的交点基础达标 北师大版选修2-1

【成才之路】-学年高中数学3.4第2课时直线与圆锥曲线的交点基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．eq\f(\r(30),3) D．eq\f(3,2)eq\r(6)[答案]C[解析]依题设弦端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝4，∴xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝－2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))，∴此弦斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,2y1＋y2)＝－eq\f(1,2)，∴此弦直线方程y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)代入x2＋2y2＝4，整理得3x2－6x＋1＝0，∴x1·x2＝eq\f(1,3)，x1＋x2＝2.∴|AB|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)·eq\r(1＋k2)＝eq\r(4－4×\f(1,3))·eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\f(\r(30),3).2．过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦点F作弦AB，若|AF|＝d1，|FB|＝d2，则eq\f(1,d1)＋eq\f(1,d2)的值为()A．eq\f(2b,a2) B．eq\f(2a,b2)C．eq\f(a＋b,b2) D．与AB的斜率有关[答案]B[解析](特例法)弦AB垂直于x轴时，将x＝c代入椭圆方程得y＝±eq\f(b2,a)，此时d1＝d2＝eq\f(b2,a)，则eq\f(1,d1)＋eq\f(1,d2)＝eq\f(2a,b2).弦AB在x轴上时，d1＝a＋c，d2＝a－c，∴eq\f(1,d1)＋eq\f(1,d2)＝eq\f(1,a＋c)＋eq\f(1,a－c)＝eq\f(2a,a2－c2)＝eq\f(2a,b2).3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是()A．(－eq\f(\r(15),3)，eq\f(\r(15),3)) B．(0，eq\f(\r(15),3))C．(－eq\f(\r(15),3)，0) D．(－eq\f(\r(15),3)，－1)[答案]D[分析]直线与双曲线右支交于不同两点，则由直线与双曲线消去y得到的方程组应有两正根，从而Δ>0，x1＋x2>0，x1x2>0，二次项系数≠0.[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2－y2＝6.))得(1－k2)x2－4kx－10＝0.由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝16k2＋401－k2>0，,\f(4k,1－k2)>0，,\f(10,k2－1)>0.))解得－eq\f(\r(15),3)<k<－1.二、填空题4．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为3eq\r(2)，则m的值为________．[答案]2[解析]设直线x＋y－m＝0与曲线y＝x2相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－m＝0,y＝x2))消去y得，x2＋x－m＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－1,x1x2＝－m)).|AB|＝eq\r(1＋－12)|x1－x2|＝eq\r(2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(1＋4m)＝3eq\r(2)∴eq\r(1＋4m)＝3，∴m＝2.5．(·安徽理)若F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．[答案]x2＋eq\f(3,2)y2＝1[解析]本题考查椭圆方程的求法．如图，由题意，|AF2|＝b2，又∵|AF2|＝3|BF1|，∴B点坐标(－eq\f(5,3)c，－eq\f(1,3)b2)，代入椭圆方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)c2＋\f(－\f(1,3)b22,b2)＝1，,b2＝1－c2))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c2＝\f(1,3)，,b2＝\f(2,3)))方程为x2＋eq\f(3,2)y2＝1.三、解答题6．设点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，动圆P经过点F且和直线y＝－eq\f(3,2)相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线w.(1)求曲线w的方程；(2)过点F作互相垂直的直线l1、l2，分别交曲线w于A、C和B、D两个点，求四边形ABCD面积的最小值．[解析](1)由抛物线的定义知点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，eq\f(p,2)＝eq\f(3,2)，即p＝3，∴w：x2＝6y.(2)设AC：y＝kx＋eq\f(3,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(3,2)k≠0,x2＝6y))⇒x2－6kx－9＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，易求|AC|＝6(k2＋1)，∵l1与l2互相垂直，∴以－eq\f(1,k)换k得|BD|＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1))，SABCD＝eq\f(1,2)|AC||BD|＝eq\f(1,2)×6(k2＋1)×6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1))＝18eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋k2＋\f(1,k2)))≥18(2＋2)＝72，当k＝±1时取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为72.一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若弦AB中点的横坐标为2，则k＝()A．2或－1 B．－1C．2 D．3[答案]C[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2,y2＝8x))联立消去y，得k2x2－4(k＋21)x＋4＝0.由韦达定理可得xA＋xB＝eq\f(4k＋2,k2).∵弦AB中点的横坐标为2，∴2＝eq\f(2k＋2,k2).∴k＝2或k＝－1.∵直线与抛物线相交于A、B两点，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0.∴k>－1.∴k＝－1应舍去．故选C.2．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(eq\r(7)，0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－eq\f(2,3)，则此双曲线的方程是()A．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1[答案]D[解析]设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，依题意c＝eq\r(7)，∴方程可化为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,7－a2)＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,7－a2)＝1,y＝x－1.))得，(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(－2a2,7－2a2).∵eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(2,3)，∴eq\f(－a2,7－2a2)＝－eq\f(2,3)，解得a2＝2.故所求双曲线方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1，故选D.3．直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m≥eq\r(2)或m≤－eq\r(2) B．－eq\r(2)≤m≤eq\r(2)且m≠0C．m∈R D．－eq\r(2)≤m≤eq\r(2)[答案]D[解析]由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝mx＋1,x2－y2＝1))消去y，整理得(1－m2)x2－2mx－2＝0，若直线与双曲线总有公共点，当m≠±1时，则Δ＝8－4m2≥0恒成立，当m＝±1时显然也适合题意，故m∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．4．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足yeq\o\al(2,0)＜4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与C()A．恰有一个公共点B．恰有两个公共点C．可能有一个公点，也可能有两个公共点D．没有公共点[答案]D[解析]联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0y＝2x＋x0，,y2＝4x，))整理得y2－2y0y＋4x0＝0.∵yeq\o\al(2,0)＜4x0，∴Δ＝4yeq\o\al(2,0)－16x0＜0，∴方程无解，即直线l与抛物线C无交点．5．(·陕西工大附中四模)F1、F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．eq\r(5) D．eq\r(7)[答案]D[解析]如图，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，∴|AB|＝|BF1|－|AF1|＝|BF1|－|AF1|＋|AF2|－|BF2|＝(|BF1|－|BF2|)＋(|AF2|－|AF1|)＝4∴|BF2|＝4a，|BF1|＝6在△BF1F2中，∠ABF2由余弦定理，|BF1|2＋|BF2|2－|F1F2|2＝2|BF1|·|BF2∴36a2＋16a2－4c2＝24a2，∴7a∵e>1，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(7)，故选D.二、填空题6．已知直线l过点P(0,2)且与椭圆x2＋2y2＝2只有一个公共点，则直线l的方程为________．[答案]y＝eq\f(\r(6),2)x＋2或y＝－eq\f(\r(6),2)x＋2[解析]当直线l斜率不存在时，方程为x＝0，与椭圆x2＋2y2＝2有两个公共点，舍去；当直线l斜率存在时，设方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得x2＋2(kx＋2)2＝2，整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，由Δ＝64k2－4×6×(2k2＋1)＝0，解得k＝±eq\f(\r(6),2)，故直线l方程为y＝eq\f(\r(6),2)x＋2或y＝－eq\f(\r(6),2)x＋2.7．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2(O为原点)，则k1·k2的值为________．[答案]－eq\f(1,2)[解析]设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)，∴xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝2， ①xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝2， ②①－②得：k1＝－eq\f(x0,2y0).∴k1·eq\f(y0,x0)＝－eq\f(1,2)，即k1·k2＝－eq\f(1,2).三、解答题8．在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．[分析]设B，C两点关于直线y＝kx＋3对称，则直线BC的方程为x＝－ky＋m.由B，C两点关于直线y＝kx＋3对称可得m与k的关系式，而由直线BC与抛物线有两交点即可求得k的取值范围．[解析]设抛物线y2＝4x上的B，C两点关于直线y＝kx＋3对称，则直线BC的方程为x＝－ky＋m(k≠0)，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m＝0.设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点M(x0，y0)，则y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝－2k，则x0＝2k2＋m.∵点M(x0，y0)在直线y＝kx＋3上，∴－2k＝k(2k2＋m)＋3.∴m＝－eq\f(2k3＋2k＋3,k).②又∵直线BC与抛物线交于不同的两点，∴方程①中，Δ＝16k2＋16m把②式代入化简，得eq\f(k3＋2k＋3,k)<0，即eq\f(k＋1k2－k＋3,k)<0，解得－1<k<0，即k的取值范围是(－1,0)．9．(·天津文)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切与点M，|MF2|＝2eq\r(2).求椭圆的方程．[解析](1)如图所示，由椭圆的几何性质|AB|＝eq\r(a2＋b2)，而|AB|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|，∴a2＋b2＝eq\f(3,4)×4c2＝3c2.又b2＝a2－c2，∴2a2＝4c2，即e2＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(\r(2),2).(2)由(1)设椭圆方程eq\f(x2,2c2)＋eq\f(y2,c2)＝1.设P(x1，y1)，B(0，c)，F1(－c,0)，F2(c,0)，∵P是异于顶点的点，∴x1≠0，y≠0.以PB为直径的圆过F1，即PF1⊥BF1，∴eq\f(y1,c1＋c)·eq\f(c,c)＝－1，∴y1＝－(x1＋c)．设PB中点D(eq\f(x1,2)，eq\f(y1＋c,2))，即D为(eq\f(x1,2)，eq\f(－x1,2))．由题意得|DF2|2＝|DM|2＋|MF2|2，∵|DM|＝|DB|＝r，∴|DF2|2＝(eq\f(x1,2)－c)2＋eq\f(x\o\al(2,1),4)，|MF2|2＝8，|DM|2＝eq\f(x\o\al(2,1),4)＋(c＋eq\f(x1,2))2，即(eq\f(x1,2)－c)2＋eq\f(x\o\al(2,1),4)＝8＋eq\f(x\o\al(2,1),4)＋(c＋eq\f(x1,2))2.整理得cx1＝－4①又P(x1，－(x1＋c))在椭圆上，∴xeq\o\al(2,1)＋2(x1＋c)2＝2c2整理得3xeq\o\al(2,1)＋4cx1＝0②∵x1≠0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x1＋4c＝0,cx1＝－4))，解之得c2＝3，∴所求椭圆方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1.10.已知抛物线C1：x2＝y，圆C2：x2＋(y－4)2＝1的圆心为点M.(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A、B两点，若过M、P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.[解析](1)由题意可知，抛物线的准线方程为y＝－eq\f(1,4)，所以圆心M(0,4)到准线的距离是eq\f(17,4).(2)设P(x0，xeq\o\al(2,0))，A(x1，xeq\o\al(2,1))，B(x2，xeq\o