高中数学 3.3 第2课时 函数的极值与导数练习 新人教A版选修1-1

【成才之路】-学年高中数学3.3第2课时函数的极值与导数练习新人教A版选修1-1一、选择题1．(·新课标Ⅱ文，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件[答案]C[解析]∵x＝x0是f(x)的极值点，∴f′(x)＝0，即q⇒p，而由f′(x0)＝0，不一定得到x0是极值点，故p⇒/q，故选C.2．函数f(x)＝x3－3x的极大值与极小值的和为()A．0 B．－2C．2 D．－1[答案]A[解析]f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0，得x>1或x<－1，令f′(x)<0，得－1<x<1，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减，∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝2，当x＝1时，f(x)取极小值f(1)＝－2，∴极大值与极小值的和为0.3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]A[解析]由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增、再减、再增、最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．4．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点[答案]D[解析]f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令f′(x)>0，得x>－1，令f′(x)<0，得x<－1，∴函数f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当x＝－1时，f(x)取得极小值．5．函数y＝ax3＋bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为0和eq\f(1,3)，则()A．a－2b＝0 B．2a－bC．2a＋b＝0 D．a＋2b[答案]D[解析]y′＝3ax2＋2bx由题设0和eq\f(1,3)是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴a＋2b＝0.6．(·陕西文，9)设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则()A．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点 B．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点[答案]D[解析]本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(1,x)(1－eq\f(2,x))，由f′(x)＝0可得x＝2.当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)递减，当x>2时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增．所以x＝2为极小值点．对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．二、填空题7．函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x取得极小值时，x的值是________．[答案]－1[解析]f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，令f′(x)>0得－1<x<2，令f′(x)<0，得x<－1或x>2，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．[答案]6[解析]f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0解得c＝2或6.当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值．9．函数y＝eq\f(2x,x2＋1)的极大值为________，极小值为________．[答案]1，－1[解析]y′＝eq\f(21＋x1－x,x2＋12)，令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.三、解答题10．设y＝f(x)为三次函数，且图象关于原点对称，当x＝eq\f(1,2)时，f(x)的极小值为－1，求出函数f(x)的解析式．[解析]设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，因为其图象关于原点对称，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，得ax3＋bx2＋cx＋d＝ax3－bx2＋cx－d，∴b＝0，d＝0，即f(x)＝ax3＋cx.由f′(x)＝3ax2＋c，依题意，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4)a＋c＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,8)a＋eq\f(c,2)＝－1，解之，得a＝4，c＝－3.故所求函数的解析式为f(x)＝4x3－3x.一、选择题11．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值[答案]C[解析]y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，∵－2<x<2，∴令y′>0得－2<x<－1，令y′<0得－1<x<2，∴函数在(－2，－1)上递增，在(－1,2)上递减，∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，f(x)无极小值．12．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋a在x＝±1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a、b、c的值为()A．a＝－1，b＝0，c＝－1 B．a＝eq\f(1,2)，b＝0，c＝－eq\f(3,2)C．a＝－3，b＝0，c＝－3 D．a＝3，b＝0，c＝3[答案]C[解析]∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴由题意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝0,f′－1＝0,f－1＝－1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋2b＋c＝0,3－2b＋c＝0,－1＋b－c＋a＝－1))，解得a＝－3，b＝0，c＝－3.13．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A．eq\f(4,27)，0 B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)[答案]A[解析]f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2p－q＝0,1－p－q＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2,q＝－1))，∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝eq\f(1,3)或x＝1，易得当x＝eq\f(1,3)时f(x)取极大值eq\f(4,27).当x＝1时f(x)取极小值0.14．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A．－1<a<2 B．－3<a<6C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a二、填空题15．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________.[答案]－eq\f(2,3)[解析]f′(x)＝eq\f(a,x)＋2bx＋1，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0,\f(a,2)＋4b＋1＝0))，∴a＝－eq\f(2,3).16．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．[答案](－2,2)[解析]f′(x)＝3x2－3，由3x2－3＝0得x＝1或－1，当x<－1，或x>1时，f′(x)>0，f(x)单调增；当－1<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调减．∴x＝－1时，f(x)取到极大值f(－1)＝2，x＝1时，f(x)取到极小值f(1)＝－2，∴欲使直线y＝a与函数f(x)的图象有相异的三个公共点，应有－2<a<2.三、解答题17．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数的递减区间；(2)求函数的极值．[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3