2023-2024学年浙江省台州市六校联盟高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.选择题部分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.设函数，若，则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗∵，且，∴．故选：A．2.已知随机变量的分布列，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.3.若函数在处的导数等于，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.4.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含个基本事件，而20以内的孪生素数有共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为.故选：B.5.展开式中的系数为（）A.17 B.20 C.75 D.100〖答案〗A〖解析〗因为，因为的通项为：，令可得，令可得，所以展开式中的系数为：.故选：A.6.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设，由图可得，而，故，故选：C.7.已知，，，下列选项正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，即，又，，所以，故A错误；又，故B正确；，故D错误；，故C错误.故选：B8.把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意曲线C的〖解析〗式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.设离散型随机变量的分布列为012340.20.10.40.1若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A：由，解得，所以，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：ABC.10.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A：令，可得，故A正确；对于B：令，，所以，故B正确；对于C：，二项式的展开式的通项公式为，所以，故C错误；对于D：令，可得，所以，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，其中，则（）．A.不等式对恒成立B.若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是C.方程恰有3个实根D.若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为〖答案〗AD〖解析〗对于选项A，，当或时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以在出取得极小值，，在处取得极大值，，而时，恒有成立，所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确；对于B选项，若函数与直线有且只有两个交点，由A选项分析，函数的大致图象如下，由图知，当或时，函数与直线有且只有两个交点，故B错误；对于C选项，由，得，解得，令，和，而，由图象知，和分别有两解：综上，方程共有4个根，C错误；对于D选项，直线过原点，且，，记，，易判断，，不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．故选：AD非选择题部分三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.方程的解是__________.〖答案〗1或2〖解析〗由可得：或，则：或，解得：或或，当时，显然不符合题意；当时，则成立；当时，则成立；故或.故〖答案〗为：或.13.过原点的直线与相切，则切点的坐标是______.〖答案〗〖解析〗由题意设切点坐标为，由，得，故直线斜率为，则直线l的方程为，将代入，得，则切点的坐标为，故〖答案〗为：14.若函数在单调递增，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗函数的导数为，由题意，函数在上单调递增，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，则，，∵在上恒成立，∴在上恒成立，又∵的图象是开口向下的抛物线，∴，解得：.∴的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知函数在处取得极大值6.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值.解：（1），因为在处取得极大值6.所以，得此时，令可得：；令可得或，所以在上单调递减，在，上单调递增所以在处取得极大值，符合题意，所以.又，所以（2），所以列表如下：0123

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1极大值6极小值510由于，故时，.16.在的展开式中，（1）求二项式系数最大的项；（2）若第项是有理项，求的取值集合；（3）系数最大的项是第几项.解：（1），二项式系数最大的项为中间项，即第5项，所以.（2），当为整数时为有理项，即，则的取值集合为；（3）设第项的系数最大，则，所以，解得，故系数最大的项为第6项和第7项.17.某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男､女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答）（1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；（2）若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数；（3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数.解：（1）方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况：有一名组长和两名组长，故共有种．方法二（间接法）：至少有一名组长可以采用排除法，有种．（2）至多有2名女团员含有四种情况：有2名女团员，有1名女团员，没有女团员，故共有种（3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：第一类：女组长当选，有种，第二类：女组长不当选，男组长当选，有种，共有种.18.有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望；（2）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率.解：（1）由题意，的可能值为.所以的分布列为3456所以.（2）记“摸出球的结果是一红一白”为事件，“选择1号盒子”为事件，“选择2号盒子”为事件，则，，，由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为：.19.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点.（i）求取值范围；（ii）证明：解：（1）当时，，.显然，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增.（2）（i）由题设且，若，则在上恒成立，即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；故，又有两个极值点，则是的两个不同正根，所以，可得，即的取值范围是.（ii）由（i）且，不妨设，则，要证，需证，即，只需证，即，令，则证，由（1）可知当时，在上递增，又，故，即，综上，浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.选择题部分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.设函数，若，则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗∵，且，∴．故选：A．2.已知随机变量的分布列，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.3.若函数在处的导数等于，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.4.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含个基本事件，而20以内的孪生素数有共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为.故选：B.5.展开式中的系数为（）A.17 B.20 C.75 D.100〖答案〗A〖解析〗因为，因为的通项为：，令可得，令可得，所以展开式中的系数为：.故选：A.6.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设，由图可得，而，故，故选：C.7.已知，，，下列选项正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，即，又，，所以，故A错误；又，故B正确；，故D错误；，故C错误.故选：B8.把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意曲线C的〖解析〗式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.设离散型随机变量的分布列为012340.20.10.40.1若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A：由，解得，所以，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：ABC.10.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A：令，可得，故A正确；对于B：令，，所以，故B正确；对于C：，二项式的展开式的通项公式为，所以，故C错误；对于D：令，可得，所以，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，其中，则（）．A.不等式对恒成立B.若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是C.方程恰有3个实根D.若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为〖答案〗AD〖解析〗对于选项A，，当或时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以在出取得极小值，，在处取得极大值，，而时，恒有成立，所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确；对于B选项，若函数与直线有且只有两个交点，由A选项分析，函数的大致图象如下，由图知，当或时，函数与直线有且只有两个交点，故B错误；对于C选项，由，得，解得，令，和，而，由图象知，和分别有两解：综上，方程共有4个根，C错误；对于D选项，直线过原点，且，，记，，易判断，，不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．故选：AD非选择题部分三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.方程的解是__________.〖答案〗1或2〖解析〗由可得：或，则：或，解得：或或，当时，显然不符合题意；当时，则成立；当时，则成立；故或.故〖答案〗为：或.13.过原点的直线与相切，则切点的坐标是______.〖答案〗〖解析〗由题意设切点坐标为，由，得，故直线斜率为，则直线l的方程为，将代入，得，则切点的坐标为，故〖答案〗为：14.若函数在单调递增，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗函数的导数为，由题意，函数在上单调递增，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，则，，∵在上恒成立，∴在上恒成立，又∵的图象是开口向下的抛物线，∴，解得：.∴的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知函数在处取得极大值6.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值.解：（1），因为在处取得极大值6.所以，得此时，令可得：；令可得或，所以在上单调递减，在，上单调递增所以在处取得极大值，符合题意，所以.又，所以（2），所以列表如下：0123

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1极大值6极小值510由于，故时，.16.在的展开式中，（1）求二项式系数最大的项；（2）若第项是有理项，求的取值集合；（3）系数最大的项是第几项.解：（1），二项式系数最大的项为中间项，即第5项，所以.（2），当为整数时为有理项，即，则的取值集合为；（3）设第项的系数最大，则，所以，解得，故系数最大的项为第6项和第7项.17.某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男､女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答）（1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；（2）若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数；（3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数.解：（1）方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况：有一名组长和两名组长，故共