高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦基础巩固 新人教B版必修4

【成才之路】-学年高中数学3.1.1两角和与差的余弦基础巩固新人教B版必修4一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)[答案]A[解析]cos75°cos15°－sin435°sin15°＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15°＝cos75cos15°－sin75°sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则△ABC一定为()A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形[答案]D[解析]∵sinAsinB<cosAcosB，∴cosAcosB－sinAsinB>0，∴cos(A＋B)>0，∵A、B、C为三角形的内角，∴A＋B为锐角，∴C为钝角．3．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是()A．sin2x B．cos2yC．－cos2x D．－cos2y[答案]B[解析]原式＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y.4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．1[答案]D[解析]sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos(90°－15°)＋cos15°sin(90°＋15°)＝sin15°sin15°＋cos15°cos15°＝cos(15°－15°)＝cos0°＝1.5．sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)的值是()A．0 B．－eq\r(2)C．eq\r(2) D．2[答案]B[解析]原式＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)－\f(1,2)sin\f(π,12)))＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)cos\f(π,12)－sin\f(π,6)·sin\f(π,12)))＝－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝－2×eq\f(\r(2),2)＝－eq\r(2).6．△ABC中，cosA＝eq\f(3,5)，且cosB＝eq\f(5,13)，则cosC等于()A．－eq\f(33,65) B．eq\f(33,65)C．－eq\f(63,65) D．eq\f(63,65)[答案]B[解析]由cosA>0，cosB>0知A、B都是锐角，∴sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，∴cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)×\f(5,13)－\f(4,5)×\f(12,13)))＝eq\f(33,65).二、填空题7．若cosα＝eq\f(1,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，则cos(α＋eq\f(π,3))＝________.[答案]eq\f(1－6\r(2),10)[解析]∵cosα＝eq\f(1,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，∴sinα＝eq\f(2\r(6),5).∴cos(α＋eq\f(π,3))＝cosαcoseq\f(π,3)－sinαsineq\f(π,3)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)－eq\f(2\r(6),5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1－6\r(2),10).8．已知cosx－cosy＝eq\f(1,4)，sinx－siny＝eq\f(1,3)，则cos(x－y)＝________.[答案]eq\f(263,288)[解析]∵cosx－cosy＝eq\f(1,4)，sinx－siny＝eq\f(1,3)，∴cos2x－2cosxcosy＋cos2y＝eq\f(1,16)，sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝eq\f(1,9)，两式相加得2－2cos(x－y)＝eq\f(25,144)，∴cos(x－y)＝eq\f(263,288).三、解答题9．已知sinα＋sinβ＝sinγ，cosα＋cosβ＝cosγ.求证：cos(α－γ)＝eq\f(1,2).[解析]sinα＋sinβ＝sinγ⇒sinα－sinγ＝－sinβ①cosα＋cosβ＝cosγ⇒cosα－cosγ＝－cosβ②①2＋②2得2－2(cosαcosγ＋sinαsinγ)＝1，即得cos(α－γ)＝eq\f(1,2).一、选择题1．函数y＝cos2x－sin2x的最小正周期是()A．π B．eq\f(π,2)C．eq\f(π,4) D．2π[答案]A[解析]y＝cos2x－sin2x＝cosx·cosx－sinx·sinx＝cos2x，∴最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.2．在△ABC中，若tanA·tanB>1，则△ABC一定是()A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形[答案]C[解析]∵sinA·sinB>cosA·cosB，∴cosA·cosB－sinA·sinB<0，即cos(A＋B)<0，∵A、B、C为三角形的内角，∴A＋B为钝角，∴C为锐角．又∵tanA·tanB>1，∴tanA>0，tanB>0，∴A、B均为锐角，故△ABC为锐角三角形．3．在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x、y的大小关系为()A．x≤y B．x>yC．x<y D．x≥y[答案]B[解析]y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)，∵△ABC为锐角三角形，∴C为锐角，∵A＋B＝π－C，∴A＋B为钝角，∴cos(A＋B)<0，∴y<x.4．(·山东潍坊重点中学高一期末测试)函数f(x)＝sinx－cos(x＋eq\f(π,6))的值域为()A．[－2,2] B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．[－1,1] D．[－eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(3),2)][答案]B[解析]f(x)＝sinx－cos(x＋eq\f(π,6))＝sinx－cosxcoseq\f(π,6)＋sinxsineq\f(π,6)＝eq\f(3,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx)＝eq\r(3)sin(x－eq\f(π,6))∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]．二、填空题5．形如eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))的式子叫做行列式，其运算法则为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，则行列式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)sin\f(π,6),sin\f(π,3)cos\f(π,6)))的值是________．[答案]0[解析]eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)sin\f(π,6),sin\f(π,3)cos\f(π,6)))＝coseq\f(π,3)coseq\f(π,6)－sineq\f(π,3)sineq\f(π,6)＝cos(eq\f(π,3)＋eq\f(π,6))＝coseq\f(π,2)＝0.6．已知cos(α＋β)＝eq\f(1,3)，cos(α－β)＝eq\f(1,5)，则tanα·tanβ＝________.[答案]eq\f(1,4)[解析]∵cos(α＋β)＝eq\f(1,3)，∴cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(1,3)， ①∵cos(α－β)＝eq\f(1,5)，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(1,5)， ②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinαsinβ＝－\f(1,15),cosαcosβ＝\f(4,15)))，∴tanαtanβ＝eq\f(sinαsinβ,cosαcosβ)＝－eq\f(1,4).三、解答题7．已知cos(α－30°)＝eq\f(15,17)，30°<α<90°，求cosα的值．[解析]∵30°<α<90°，∴0°<α－30°<60°.∵cos(α－30°)＝eq\f(15,17)，∴sin(α－30°)＝eq\r(1－cos2α－30°)＝eq\f(8,17)，∴cosα＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝eq\f(15,17)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(8,17)×eq\f(1,2)＝eq\f(15\r(3)－8,34).8．已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，若向量a与b的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析]∵a·b＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝6cos(α－β)，∴|a|＝2，|b|＝3，又∵a与b的夹角为60°，∴cos60°＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(6cosα－β,2×3)＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝eq\f(1,2).9．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋eq\f(π,6))(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，eq\f(π,2)]，f(5α＋eq\f(5π,3))＝－eq\f(6,5)，f(5β－eq\f(5π,6))＝eq\f(16,17)，求cos(α＋β)的值．[解析](1)∵T＝10π＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(1,5).(2)由(1)得f(x)＝2cos(eq\f(1,5)x＋eq\f(π,6))，∵－eq\f(6,5)＝f(5α＋eq\f(5π,3))＝2cos[eq\f(1,5)(5α＋eq\f(5π,3))＋eq\f(π,6)]＝2cos(α＋eq\f(π,2))＝－2sinα，