高中数学 2.2 第2课时演绎推理同步测试 新人教B版选修2-2

【成才之路】-学年高中数学2.2第2课时演绎推理同步测试新人教B版选修2-2一、选择题1．设a、b、c都是正数，则三个数a＋eq\f(1,b)、b＋eq\f(1,c)、c＋eq\f(1,a)()A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2[答案]C[解析]a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)＋c＋eq\f(1,c)≥2＋2＋2＝6.故选C.2．异面直线在同一个平面的射影不可能是()A．两条平行直线 B．两条相交直线C．一点与一直线 D．同一条直线[答案]D[解析]举反例的方法如图正方体ABCD－A1B1C1D1A1A与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BA1与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BCBA1与C1D1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD，故排除A.故选D.3．已知x、y∈R，且x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有()A．最小值eq\f(3,4)，而无最大值B．最小值1，而无最大值C．最小值eq\f(1,2)和最大值1D．最大值1和最小值eq\f(3,4)[答案]D[解析]设x＝cosα，y＝sinα，则(1－xy)(1＋xy)＝(1－sinαcosα)(1＋sinαcosα)＝1－sin2αcos2α＝1－eq\f(1,4)sin22α∈[eq\f(3,4)，1]．4．(·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”A．a2＝b2 B．a2<b2C．a2≤b2 D．a2<b2，且a2＝b2[答案]C5．(·浙江余姚中学高二期中)用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数[答案]B[解析]“至少有一个”的对立面是“一个都没有”．6．“M不是N的子集”的充分必要条件是()A．若x∈M则x∉NB．若x∈N则x∈MC．存在x1∈M⇒x1∈N，又存在x2∈M⇒x2∉ND．存在x0∈M⇒x0∉N[答案]D[解析]按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M但x0∉N.选D.7．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.故选C.8．(·华池一中高二期中)用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数[答案]D[解析]“自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D.二、填空题9．设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2).用反证法证明此题时应假设____________________．[答案]|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于eq\f(1,2)10．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列．求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：反设p为奇数，则________均为奇数． ①因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________________________________ ②＝________________________________ ③＝0.[答案]①a1－1，a2－2，…，a7－7②(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)③(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)11．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．[答案]eq\f(1,3)[解析]假设a、b、c都小于eq\f(1,3)，则a＋b＋c<1.故a、b、c中至少有一个数不小于eq\f(1,3).三、解答题12．设a，b，c均为奇数，求证：方程ax2＋bx＋c＝0无整数根．[证明]假设方程有整数根x＝x0，x0∈Z，则axeq\o\al(2,0)＋bx0＋c＝0，c＝－(axeq\o\al(2,0)＋bx0)．①若x0为偶数，则axeq\o\al(2,0)与bx0均为偶数，所以axeq\o\al(2,0)＋bx0为偶数，从而c为偶数，与题设矛盾．②若x0为奇数，则axeq\o\al(2,0)、bx0均为奇数，所以axeq\o\al(2,0)＋bx0为偶数，从而c为偶数，与题设矛盾．综上所述，方程ax2＋bx＋c＝0没有整数根.一、选择题1．实数a，b，c不全为0的含义是()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0[答案]D[解析]“不全为0”即“至少有一个不为0”．2．(·山东理，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案]A[解析]本题考查命题的非的写法．至少有一个实根的否定为：没有实根．反证法的假设为原命题的否定．3．已知x>0，y>0，x＋y≤4，则有()A.eq\f(1,x＋y)≤eq\f(1,4) B．eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥1C.eq\r(xy)≥2 D．eq\f(1,xy)≥1[答案]B[解析]由x>0，y>0，x＋y≤4得eq\f(1,x＋y)≥eq\f(1,4)，A错；x＋y≥2eq\r(xy)，∴eq\r(xy)≤2，C错；xy≤4，∴eq\f(1,xy)≥eq\f(1,4)，D错．4．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为：an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是()A．0个 B．1个C．2个 D．无穷多个[答案]A[解析]假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n∈N*，使得an＝bn，但若a>b，n∈N*，恒有a·n>b·n，从而an＋2>bn＋1恒成立．∴不存在n∈N*，使得an＝bn.故应选A.二、填空题5．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．[答案]存在一个三角形，其外角至多有一个钝角6．用反证法证明命题“如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是________．[答案]假设CD与EF不平行7．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为__________________．[答案]假设a、b都不能被5整除三、解答题8．若x>0，y>0，且x＋y>2，求证eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一个成立．[解析]假设都不成立，即有eq\f(1＋x,y)≥2且eq\f(1＋y,x)≥2.∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，∴2＋(x＋y)≥2(x＋y)，∴x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾．∴假设不成立，原命题成立，即eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一个成立．9．求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.[证明]假设bc＝0.(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0；则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0；但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两个非零实根矛盾．综上所述，可知bc≠0.10．已知：非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：eq\f(1,a)、eq\f(1,b)、eq\f(1,c)不可能成等差数列．[解析]假设eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列．则eq\f(2,b)＝e